2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：9 对数与对数函数 Word版含解析

课时作业9 对数与对数函数
一、选择题
1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( C ) A ．[1,2]
B ．[1,2)
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，＋∞ 解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
log 3(2x －1)≥log 313，
x >12，解得x ≥2
3.
2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)
＝1，则f (x )＝( A )
A ．log 2x B.12x C ．log 12
x
D ．2x －2
解析：由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .
3．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )
解析：由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，
则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足． 4．(2019·惠州市调研)若a ＝20.5
，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则
( D )
A ．b >c >a
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．a >b >c
解析：依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5 <1,2>1，得c <0，故a >b >c ，故选D.
5．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( A )
A ．[1,2)
B ．[1,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴
为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨
⎪⎧
2－a >0，
a ≥1，
解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．
6．(2019·洛阳市第一次联考)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D )
A ．c >b >a
B ．b >c >a
C ．a >c >b
D ．a >b >c
解析：因为a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，因为log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.
7．(2019·贵阳市摸底考试)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大
振幅是5级地震的最大振幅的( D )
A ．10倍
B ．20倍
C ．50倍
D ．100倍
解析：根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg10M ＝lg(A 0·10M )，所以A ＝
A 0·10M ，则A 0
×107
A 0×105
＝100.故选D.
二、填空题
8．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1.则a ＝－7.
解析：由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.
9．若log a 3
4<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．
解析：若a >1，则log a 34<0，不等式log a 3
4<1一定成立；若0<a <1，则log a 34<1＝log a a ，根据对数函数性质可得a <34，又a >0，故0<a <34.所以a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．
10．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是13.
解析：由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，即x ∈[1,3]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]．y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3，令log 3x ＝t,0≤t ≤1，则y ＝(t ＋3)2－3，当t ＝log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.
三、解答题
11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x .
(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.
解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x )．因为函数f (x )
是
偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝错误!
(2)因为f (4)＝log 12
4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>
－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x < 5.即不等式的解集为(－5，5)．
12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的值域． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨
⎪⎧
1＋x >0，
3－x >0，
得x ∈(－1,3)，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.
又f (0)＝log 23，f (32)＝log 2154，log 23<log 2154，∴函数f (x )在[0，3
2]上的最小值是f (0)＝log 23.故函数f (x )在区间[0，3
2]上的值域为[log 23,2]．
13．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( B ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab
D ．ab <0<a ＋b
解析：由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1
b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1
b <1，得0<a ＋b ab <1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0.
14．(2019·成都诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( C )
A ．f (log 27)<f (－5)<f (6)
B ．f (log 27)<f (6)<f (－5)
C ．f (－5)<f (log 27)<f (6)
D ．f (－5)<f (6)<f (log 27)
解析：f (x ＋2)＋f (x )＝0⇒f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．
又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，
所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 27
4<1， f (log 27)＋f (log 27－2)＝0⇒f (log 27)＝－f (log 27－2) ＝－f (log 274)＝－log 2(log 274＋1)＝－log 2(log 27
2)， 又1<log 272<2，所以0<log 2(log 27
2)<1， 所以－1<－log 2(log 27
2)<0， 所以f (－5)<f (log 27)<f (6)．
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．若A (a ，b )，B (e ，c )(其中e 为自然对数的底数)是f (x )＝ln x 图象上不同的两点，则下列各点一定在f (x )图象上的是( A )
A ．(a e ，b ＋1)
B ．(a ＋e ，b ＋1)
C ．(a ＋e ，b )
D ．(a e ，b )
解析：∵A(a，b)，B(e，c)是f(x)＝ln x图象上不同的两个点，
∴ln a＝b，lne＝1＝c，∴b＋1＝b＋c＝ln a＋lne＝ln(a e)，∴(a e，b＋1)在f(x)图象上，故选A.
16．(2019·湖北八校联考)已知π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数，则(B)
A．πe<3e B．πlog3e>3logπe
C．3e－2π<3πe－2D．logπe>log3e
解析：对于A，∵函数y＝x e是(0，＋∞)上的增函数，且π>3，
∴πe>3e，A错误；对于B，πlog3e>3logπe⇔
π
ln3>
3
lnπ⇔πlnπ>3ln3⇔ππ>33，
B正确；对于C,3e－2π<3πe－2⇔3e－3<πe－3，而函数y＝x e－3是(0，＋∞)
上的减函数，C错误；对于D，logπe>log3e⇔1
lnπ>1
ln3⇔lnπ<ln3，而函数y＝ln x是(0，＋∞)上的增函数，D错误．综上，故选B.。