生物统计学答案第三章

第三章 几种常见的概率分布律
3.1 有4对相互独立的等位基因自由组合，问有3个显性基因和5个隐性基因的组合有多少种？每种的概率是多少？这一类型总的概率是多少？
答：代入二项分布概率函数，这里φ=1/2。

()75218.02565621562121!5!3!838
3
5
==⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛=p
结论：共有56种，每种的概率为0.003 906 25(1/256 )，这一类型总的概率为 0.218
75。

3.2 5对相互独立的等位基因间自由组合，表型共有多少种？它们的比如何？ 答：（1）
5
4322345
5
414143541431041431041435434143⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
表型共有1+5+10+10+5+1 = 32种。

（2）
()()()()()()6
976000.0024114165
014.0024
1354143589
087.002419
104143107
263.0024127
104143105
395.0024181
5414353
237.002412434355
43
2
2
3
4
5
541322314==⎪⎭⎫
⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫
⎝⎛=隐隐显隐显隐显隐显显P P P P P P 它们的比为：243∶81(×5)∶27(×10)∶9(×10)∶3(×5)∶1 。

3.3 在辐射育种实验中，已知经过处理的单株至少发生一个有利突变的概率是φ，群体中至少出现一株有利突变单株的概率为P a ，问为了至少得到一株有利突变的单株，群体n 应多大？
答： 已知φ为单株至少发生一个有利突变的概率，则1―φ为单株不发生一个有利突变的概率为：
()()()
()()φφφ--=
-=--=-1lg 1lg 1lg 1lg 11a a a
n P n P n P
3.4 根据以往的经验，用一般的方法治疗某疾病，其死亡率为40%，治愈率为60%。

今用一种新药治疗染上该病的5名患者，这5人均治愈了，问该项新药是否显著地优于一般疗法？（提示：计算一般疗法5人均治愈的概率，习惯上当P （5人均治愈）> 0.05时，则认为差异不显著；当P （5人均治愈）< 0.05时，则认为差异显著）。

答：设P （治愈）=φ= 0.60，则5人均治愈的概率为： P = p 5 = (0.60)5 = 0.077 76
P >0.05
所以该药物并不优于一般疗法。

3.5 给一组雌雄等量的实验动物服用一种药物，然后对存活的动物分成5只为一组，进行抽样试验。

试验结果表明，5只均为雄性的频率为1 / 243，问该药物对雌雄的致死作用是否一致？
答：设p 为处理后雄性动物存活的概率，则
313
124315
5=
==
p p
因此，对雄性动物的致死率高于对雌性动物的致死率。

3.6 把成年椿象放在−8.5℃下冷冻15分钟，然后在100个各含10只椿象的样本中计算死虫数，得到以下结果：
死虫数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 样本数
4
21
28
22
14
8
2
1
100
计算理论频数，并与实际频数做一比较。

答：先计算死虫数C ：
C = 0×4+1×21+2×28+3×22+4×14+5×8+6×2+7×1 = 258 死虫率 φ= 258 / 1 000 = 0.258 活虫率 1 –φ= 0.742
展开二项式（0.742 + 0.258）10 得到以下结果：
0.050 59+0.175 90+0.275 22+0.255 19+0.155 28+0.064 79+0.018 774 +3.730 2×10-3+4.863 8×10-4+3.758 2×10-5+1.307×10-6
将以上各频率乘以100得到理论频数，并将实际数与理论数列成下表。

死虫数 实际数 理论数 偏差 0 4 5.1 -1.1 1 21 17.2 3.8 2 28 27.5 0.5 3 22 25.5 -3.5 4 14 15.5 -1.5 5 8 6.5 1.5 6 2 1.9 0.1 7 1 0.4 0.6 8 0 0 0 9 0 0 0 10
3.7 人类染色体一半来自父亲，一半来自母亲。

在减数分裂时，46条染色体随机分配到两极，若不考虑染色体内重组，父亲的22条常染色体重新聚集在一极的概率是多少？12条父亲染色体和11条母亲染色体被分配到同一极的概率又是多少？常染色体的组合共有多少种？从上述的计算可以看出变异的广泛性，若再考虑染色体内重组，新组合染色体的数目就更惊人了。

答：（1）P （父亲22条常染色体重新聚集于同一极） = 7
22
10
38.221-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛
（2）P （12条父亲染色体和11条母亲染色体被分配到同一极）
= 2161.06083888078
35212121!12!11!2312
11==
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
（3）共有222 = 4 194 304种。

3.8 生男生女的概率各为1/2，问在一个医院中，连续出生30名男孩及30名性别交错的新生儿的概率各为多少？
答：P （连续出生30名男孩）=1030
102313.98247410731121-⨯==
⎪⎭⎫
⎝⎛ P （30名性别交错不同者）=9
30
106862.19128705361212-⨯==⎪⎭⎫
⎝⎛
3.9 在显性基因频率很低时，出现显性性状的个体一般为杂合子。

一名女子是蓬发者（显性性状），在她的全部六名孩子中，（1）其中第一名孩子，（2）其中第一和第二名孩子，（3）全部六名孩子，（4）任何一名曾孙（或曾孙女）中，发生蓬发的概率是多少？
答： 设：P （子女蓬发）= φ= 1/2 P （子女非蓬发）= 1 – φ= 1/2
则（1）P （其中第一名子女蓬发）=(1/2)(1/2)5 = 0.015 625 （2）P （只有第一和第二名孩子蓬发）= (1/2)2(1/2)4 = 0.015 625 （3）P （全部六名子女）= (1/2)6 = 0.015 625
（4）P （任何一名曾孙蓬发）= P （任何一名儿子蓬发）P （任何一名孙子蓬发|蓬发的儿子）P （任何一名曾孙蓬发|蓬发的孙子）
=(1/2×1/2) (1/2×1/2) (1/2×1/2) = 0.015 625
3.10 在数量性状遗传中，F 1的性状介于双亲之间，F 2的性状向双亲方向分离。

这是一个二项分布问题，根据二项展开式，计算控制某性状的基因个数，假设出现亲本性状的频率为a 。

答：设：P （正效应基因频率）= p 则
3.11 计算μ = 0.1，0.2，1，2，5时，泊松分布的γ1和γ2，绘制概率分布图并做比较。

p
a
n a p n a p n lg lg lg lg =
==
答：泊松分布的概率函数：
()μμE y y p y
!=
将μ = 0.1，0.2，1，2，5分别代入上式。

（1）μ =0.1时
y p (y )
0 0.904 8 1 0.090 48 2 0.004 524 3 0.000 150 8 4
0.000 003 77 101
.01
1
3162.31
.01
1
21==
=
==
=μ
γμ
γ
（2）μ =0.2时
y p (y )
0 0.818 7 1 0.163 7 2 0.016 39 3 0.001 092 4
0.000 054 58 52
.0111236.22
.01
1
21==
=
==
=μ
γμ
γ
（3）μ = 1时
y p (y ) 0 0.367 9 1 0.367 9 2 0.183 9 3 0.061 31 4 0.015 33 5 0.003 066 6 0.000 510 9 11
11
11
111
1
21===
===
=μγμ
γ
（4）μ = 2时
y
p (y )
y p (y ) 0 0.135 3 6 0.012 03 1 0.270 7
7
0.003 437
2 0.270 7 8 0.000 859
3 3 0.180
4 9 0.000 190 9 4 0.090 22 10 0.000 038 19 5
0.036 09
（5）μ = 5时
y p (y )
y p (y ) 0 0.006 738 9 0.036 27 1 0.033 69 10 0.018 13 2 0.084 22 11 0.008 424 3 0.140 4 12 0.003 434 4 0.175 5 13 0.001 321 5 0.175 5 14 0.000 471 7 6 0.146 2 15 0.000 157 2 7 0.104 4 16 0.000 049 14 8
0.065 28
可见，随着μ的增大泊松分布越来越接
近于“正态”的。

3.12 随机变量Y 服从正态分布N (5,42)，求P (Y ≤0)，P (Y ≤10)，P (0≤Y ≤15)，P (Y ≥5)，P (Y ≥15)的值。

答：
()()()()()()()()()()()21
006.05.24515155
.05.010********
888.065105.079993.025.15.2450451515065
105.025.1450035
894.025.1451010=-=⎪⎭⎫
⎝⎛--=≥=-=-=⎪⎭⎫
⎝⎛--=≥=-=--=⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=≤==⎪⎭⎫
⎝⎛-=≤φφφφφφφφφφφφY P Y P Y P Y P Y P
5.02
1
11707.02414.112
1
121==μ=
γ===
μ
=γ2.05
1
1
7442.02361.215
11
21==
=
===
=μ
γμ
γ
或者使用SAS 程序计算，结果见下表：
OBS MU SIGMA Y1 LOWERP Y2 UPPERP MIDP
1 5 4 10 0.89435 . . .
2 5 4 0 0.10565 . . .
3 5
4 0 0.1056
5 15 0.00621 0.88814 4 5 4 . . 5 0.50000 . 5 5 4 . . 15 0.00621 .
3.13 已知随机变量Y 服从正态分布N (0,52)，求y 0 分别使得P (Y ≤y 0)=0.025， P (Y ≤
y 0)=0.01， P (Y ≤y 0)=0.95及 P (Y ≥y 0)=0.90。

答：
()()()()415.6283.15090
.050190
.0225.8645.15095
.05095.063.11326.25
01
.05001.08
.996.15
025
.050025.00000000000000000-=-=-=⎪⎭⎫
⎝⎛--=≥==-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=≤-=-=-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=≤-=-=-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=≤y y y y Y P y y y y Y P y y y y Y P y y y y Y P φφφφ
3.14 细菌突变率是指单位时间（细菌分裂次数）内，突变事件出现的频率。

然而根据以上定义直接计算突变率是很困难的。

例如，向一试管中接种一定量的细菌，振荡培养后铺平板。

在平板上发现8个突变菌落。

这8个突变细菌究竟是8个独立的突变事件呢，还是一个突变细胞的8个子细胞是很难确定的。

但是有一点是可以肯定的，即，没有发现突变细胞的平皿一定没有突变事件出现。

向20支试管中分别接种2×107 个大肠杆菌，振荡培养后铺平板，同时接种T 1噬菌体。

结果在9个平皿中出现数量不等的抗T 1噬菌体菌落。

11个平皿上没有出现。

已知平皿上突变菌落数服从泊松分布并且细胞分裂次数近似等于铺平板时的细胞数。

利用泊松分布概率函数计算抗T 1突变率。

答：已知接种细胞数为n ，n 即可认为是细胞分裂次数。

若每一次细胞分裂的突变率为u ，那么每一试管中平均有un 次突变事件发生（μ）。

从泊松分布概率函数可知，无突变发生的概率f (0)=E -un 。

实验结果无突变的平皿数为11个，即f (0)=11/20=0.55。

解下式
55.0=-un E
即可求出突变率u 。

已知n =0.2×108，代入上式得到u =3×10-8。

3.15 一种新的血栓溶解药t -pA ，据说它能消除心脏病发作。

在一次检测中的7名检测对象，年龄都在50岁以上，并有心脏病发作史。

他们以这种新药治疗后，6人的血栓得到溶解，1人血栓没有溶解。

假设t -pA 溶解血栓是无效的，并假设，不用药物在短时间内心脏患者血栓自己溶解的概率φ是很小的，如φ=0.1。

设y 为7名心脏患者中血栓在短时间内可以自动溶解的患者数。

问：（1）若药物是无效的，7名心脏患者中的6名血栓自动溶解的概率是多少？ （2）Y ≥6是否为一稀有事件，你认为药物是否有效？
答：（1） ф= 0.1 1－ф=0.9 n=7 y =6，
()()()()()3006000.09.01.0!1!6!
79.01.06161
6
6
7
===C p
（2）
()()1000000.01.077
7
7==C p P (Y ≥6) = 0.000 006 3+0.000 000 1 = 6.4×10-6。

结论：在不用药的情况下，7名病人中6名患者的血栓自动溶解的事件是一个小概率事
件，因此药物有效。

3.16 一农药商声称，用他的农药喷洒玉米后，90%的玉米植株中不再有活的玉米螟。

为了验证这种说法，喷药后随机抽出25株玉米，发现7株中仍有活的玉米螟。

（1）若农药商的说法是正确的，在25株玉米中包含7株和7株以上有活玉米螟的概率是多少？
（2）在25株玉米中有7株有活玉米螟，你是否认为农药有效率达不到90%？ 答：（1）
()()
()()()()()()()()()()()()()()009.09.01.09.01.09.01.09.01.09.01.09.01.09.01.016171966252055252144252233
2523222524125250025=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++-=≤-=≥C C C C C C C Y P Y P
（2） 是
3.17 设计一实验用来检验号称心灵感应者是否有特异功能(ESP)。

将5张卡片洗匀随机抽出一张，不准心灵感应者看，让他判断是哪一张。

实验共重复20次，记录正确判断次数（假设20次重复间是随机的）。

假设心灵感应者是猜的，没有ESP ，那么
（1）每次得到正确结果的概率是什么？ （2）在20次重复中，期望正确判断数是多少？ （3）正确判断6次和6次上的概率是多少？
（4）假设心灵感应者在20次重复中判断正确6次，是否可以证明心灵感应者不是猜的，而是真正的ESP ？
答：（1）p = 1/5。

（2）E (Y ) = np = 20×1/5 = 4。

（3）
()196.054515451620
202014
6
620=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛=≥C C Y P
（4）不能。

因为在猜想的情况下，20次重复中判断正确6次的概率为0.196，将近20%，已不是小概率事件，非心灵感应者有可能得到这样的结果。

3.18 据一个生化制药厂报告，在流水线上每8小时的一个班中，破碎的安瓿瓶数服从泊松分布，μ=1.5。

问：
（1）夜班破碎2个瓶子的概率是多少 ？ （2）在夜班打碎2个以下的概率是多少？ （3）在早班破碎2个以上的概率是多少？
（4）在一天连续三班都没有破碎的概率（假设三班间是独立的）？
答：（1）()251.0!25.125
.12
=E =p
（2）()()558.0335.0223.0!15.1!05.1105.11
5
.10=+=E +E =+p p
（3）()()()()191.001212=---=>p p p x P
（4）记A 为每个班没有破碎的事件，则
()()[]011.0223.0033
===p AAA P。