中考数学培优专题复习圆的综合练习题附答案解析

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附答案解析

一、圆的综合

1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．

【解析】

【分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．

【详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，

故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=1

OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

2

而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣

3

劣弧MA的长为：6044 1803

ππ

⨯

=；

②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3

劣弧MA的长为：12048 1803

ππ

⨯

=；

③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，

3

优弧MA的长为：240416 1803

ππ

⨯

=；

④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；

优弧MA的长为：300420 1803

ππ

⨯

=；

综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620

,,,

3333

ππππ

对应的M点坐

标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．

2．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出

60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=︒，

又∵OC BE P ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，

∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒， 而OE CD ⊥， ∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

3．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．

【答案】画图见解析.

【解析】

【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.

【详解】解：画图如下：

【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD

，∶DE=4∶1，求DE的长．

【答案】(1)见解析5

【解析】

分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．

详解：（1）连接OD．

∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．

∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．

（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB=52．

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．

又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，

∴△ADC～△ACE，∴AC

AD =

AE

AC

，∴AC2=AD•AE．

设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，

∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．

点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．

5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝1

2

，求AB和FC的长．

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ，

40

3 CF