河间市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

河间市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 己知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x+2，那么不等式2f （x ）﹣1＜0的解集是（ ）
A ．
B ．或
C ．
D ．
或
2． 已知函数()e sin x
f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828
=为自然对数的底数．当[0,
]2
x π
∈时，
函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．2
(,e )π
-∞ D ．2
(,e ]π-∞
【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 3． 设命题p ：，则
p 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
（ ）
5． 函数f （x ）=x 3
﹣3x 2
+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
6． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13
B ．15
C ．12
D ．11
7． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--
表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
8． 已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
9． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1
若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
11．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（）0
﹣（1﹣0.5﹣2
）÷
的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若全集
，集合
，则。

14．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．
15．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y e
=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
C 2：
交于A ，B 两点，C 1与C 2的
C ，
D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则
= ．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
18．已知双曲线x 2﹣y 2=1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为 ． 三、解答题
19．已知函数3()1
x
f x x =
+，[]2,5x ∈． （1）判断()f x 的单调性并且证明； （2）求()f x 在区间[]2,5上的最大值和最小值．
20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，若存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a ，b ，使得{S n }成等比数列？若存在，求出常数a ，b 的值，若不存在，请说明理由．
21．已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．
22．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．
（1）若M是AB的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．
23．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
24．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i（m∈R）
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
河间市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：因为y=f （x ）为奇函数，所以当x ＞0时，﹣x ＜0， 根据题意得：f （﹣x ）=﹣f （x ）=﹣x+2，即f （x ）=x ﹣2， 当x ＜0时，f （x ）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x ＜﹣3，
解得x ＜﹣，则原不等式的解集为x ＜﹣； 当x ≥0时，f （x ）=x ﹣2，
代入所求的不等式得：2（x ﹣2）﹣1＜0，即2x ＜5，
解得x ＜，则原不等式的解集为0≤x ＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x ＜﹣或0≤x ＜}． 故选B
2． 【答案】B
【解析】由题意设()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2
x π∈时恒成立，而
'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c o s 0x
h x x =≥，所以()h x 在[0,]2
π上递
增，所以21()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2
π
上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2
e k π
≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2
π
上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π
<<时，()g x '为一个递增
函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02
g k π
π
=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，
当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上
所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．
3． 【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p 为：。

故答案为：A 4． 【答案】D
【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
5．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
6．【答案】A
【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，
∵双曲线上一点P到左焦点的距离为5，
∴|x﹣5|=2×4
∵x＞0，∴x=13
故选A．
7．【答案】B
【解析】
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 8． 【答案】A
【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x ≤1，即p ：﹣3≤x ≤1， 若p 是q 的充分不必要条件， 则a ≥1， 故选：A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9. 即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C. 10．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 11．【答案】A
【解析】解：因为直线x=和x=
是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin （
+φ）与sin （
+φ）分别是最大值与最小值，0＜
φ＜π，
所以φ=．
故选A ．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
12．【答案】D
【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣
）÷
=1﹣（1﹣4）×
=1﹣（﹣3）×
=1+
=． 故选：D ．
【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．
二、填空题
13．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵，∴
{|0＜＜1｝。

14．【答案】
．
【解析】解：点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离为d=，
∵mn ﹣m ﹣n=3，
∴（m ﹣1）（n ﹣1）=4，（m ﹣1＞0，n ﹣1＞0），
∴（m ﹣1）+（n ﹣1）≥2，
∴m+n ≥6，
则d=≥3
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
15．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()
21()0f x x e
f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2）
考点：函数单调区间
16．【答案】．
【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据，得x C=，∴b=2a；
由AB过C2的焦点，得A（c，），即A（c，4a），
∵A（c，4a）在C1上，
∴16a2=2pc，
又c=a，
∴a=，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．【答案】56 27
【解析】
18．【答案】．
【解析】解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】
试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()
()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]
2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5
(5)2
f =.
试题解析：
在[]2,5上任取两个数12x x <，则有
12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=
++0<， 所以()f x 在[]2,5上是增函数．
所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==， 当5x =时，max 5()(5)2
f x f ==. 考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，
存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *
都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a ）b=b ﹣a 2，∴a 2=ab=aa 1， 当n ≥2时，（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1，（1﹣a ）S n+1=b ﹣a n+1， 两式作差，得：a n+2=a •a n+1，n ≥2， ∴{a n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，
∴
．
（Ⅱ）当a=1时，S n =na 1=nb ，不合题意， 当a ≠1
时，，
若
，即
，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{S n}成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣
；
若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．
若p∨q为真，￢p为真，
则p为假命题，q为真命题．
∴．
∴实数m的取值范围是或．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
24．【答案】
【解析】解：（1）z为实数⇔m2+2m﹣3=0，解得：m=﹣3或m=1；
（2）z为纯虚数⇔，解得：m=0；
（3）z所对应的点在第四象限⇔，解得：﹣3＜m＜0．。