四川省巴中市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题含解析

四川省巴中市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,2]-
C ．{1}
D ．{1,0,1,2}-
【答案】C 【解析】 【分析】
解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】
由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则ω的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-
<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，结合已知，即可求得答案.
【详解】
Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-
<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象
∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，
∴由12
42
4
32k k π
πωϕππ
ππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+
⎪⎩()12,k k ∈Z ，
得
()123
k k π
ωπ=-，()12,k k ∈Z ，
即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，
∴3ω=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
3．已知实数x ，y 满足约束条件220
2202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则22
x y +的取值范围是（ ）
A ．25,225⎡⎤
⎢⎥⎣ B ．4,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,8
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得2
2x y +的取值范围.
【详解】
由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而2
2x
y +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是
可行域内的点到原点距离的最小值，此时2
2
2
2
45
OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+===
⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行
域内的点到原点距离的最大值，此时2
2
2
2
228x y +=+=.所以2
2
x
y
+的取值范围是4,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 4．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．8
3
B．4C．
16
3
D．
20
3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
∴该几何体的体积为
1120 2228111
323
V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，
故选：D.
【点睛】
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于
5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③
C ．②③
D ．①②
【答案】C 【解析】 【分析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
6．已知斜率为2-的直线与双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．3 C D 【答案】B 【解析】 【分析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【详解】
4OM y k x =
=-，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得
1212121222
()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，
∴2121221212()()AB
y y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭
，228,3b e a ∴=∴==．
故选：B ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
7．已知集合{
}{}
3,*,2,*n
M x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095
【答案】D 【解析】 【分析】
确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n
中有多少
项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】
35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n
有三项3，9，27，{}2n 有
32项，所以123353231
(3927322210952)
c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的
前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n
中的．
8．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A
．5
-
B
．5
-
C
．
5
D ．25
-
【答案】A
设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依
题有OA OB ⊥,则90αβo
=+，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β
因为点()1,2A 在角β的终边上，所以22
25
sin 12β=
=
+依题有OA OB ⊥,则90αβo
=+，
所以25
cos cos(90)sin 5
αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
9．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r
，则（ ）
A ．a r
∥b r
B ．a r
⊥b r
C ．a r
∥(a b -r
r
)
D ．a r
⊥( a b -r
r
)
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】
∵向量a =r
（1，﹣2），b =r
（3，﹣1），∴a r
和b r
的坐标对应不成比例，故a r
、b r
不平行，故排除A ；
显然，a r •b =r 3+2≠0，故a r 、b r
不垂直，故排除B ；
∴a b -=r
r
（﹣2，﹣1），显然，a r
和a b -r
r
的坐标对应不成比例，故a r
和a b -r
r
不平行，故排除C ； ∴a r
•（a b -r
r
）＝﹣2+2＝0，故 a r
⊥（a b -r
r
），故D 正确，
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
10．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且
||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22
1255
x y +=
B ．22
13616
x y +=
C ．22
13010x y +=
D ．22
14525
x y +=
【答案】B 【解析】
由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．
在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()
2
222PF 4548FF -=
-='，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣
=16，
所以椭圆的方程为22
13616
x y +=．
故选B ．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 11．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
给出，其中I 为声强（单位：2
W/m ）.1
60dB L =，275dB L =，那么1
2
I I
=（ ） A ．4
510 B ．4
510-
C ．32
-
D ．3
210-
【答案】D 【解析】 【分析】
由1210110I L g -⎛⎫
= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12
I I 的值. 【详解】
∵1210110I L g -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
∴(
)()12
10lg lg1010lg 12L I I -=-=+，
∴lg 1210
L
I =
-， 当160L =时，1160
lg 121261010L I =
-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275
lg 1212 4.51010
L I =
-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴
3
6 1.5
124.5210101010
I I ----===， 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ
，且cos θ=心率为（ ） A
B
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】
解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈
又cos θ=
sin θ=tan 2θ=，2b a =
，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知不等式2x x a ++≤的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 ；若不等式
22
131
11a a x x x x a
+--+-+++≥
对任意实数a 恒成立，则实数x 的取值范围是___
【答案】2,(,2][1,)a x ≥∈-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】
利用绝对值的几何意义，确定出2x x ++的最小值，然后根据题意即可得到a 的取值范围
化简不等式2
2
131
11a a x x x x a
+--+-+++≥，求出
131
a a a
+--的最大值，然后求出结果
【详解】
2x x ++Q 的最小值为2，则要使不等式的解集不是空集，则有2a ≥
化简不等式22
13111a a x x x x a +--+-+++≥有 22?14101311403
2123a a a a a a a a a
⎧-+≤-⎪⎪
--<<⎪+--⎪=⎨<<⎪⎪
⎪-≥⎪⎩；；；；，
即2
2
114x x x x +-+++≥
而222
1122?221111222x x x x x x x x x ⎧---+≤≥⎪⎪+-+++=⎨
---+⎪<<⎪⎩
；； 当2224x x +≥时满足题意，解得2x ≤-或1x ≥ 所以答案为][()
,21,x ∈-∞-⋃+∞ 【点睛】
本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简
14．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.
【答案】,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
构造函数()()cos 2
x
g x f x =-
，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22
x x
f x f x --
=--+
， 令()()cos 2
x
g x f x =-
，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣
⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022
x x
f x f x f x f x πππ+++≤⇒+-
+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2
x π
≥-
，则x 的取值范围
为,2π⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 15．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
【答案】
116
【解析】
初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；
运行第一次：1
013
11,2,322
T xdx n n =+=+
==<⎰成立； 运行第二次：1
2
033111,3,32236
T x dx n n =+=+==<⎰不成立；
输出T 的值：
11
.6结束 所以答案应填：11
.6
考点：1、程序框图；2、定积分.
16．已知数列{}n a 为正项等比数列，36927a a a =，则21062610a a a a a a ++的最小值为________. 【答案】27 【解析】 【分析】
利用等比数列的性质求得6a ，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得. 【详解】
由等比数列的性质可知63a =，则2109a a =，
21062610210693399627a a a a a a a a a ∴++=++≥+=+=.
当且仅当2103a a ==时取得最小值. 故答案为：27. 【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21122
n n a S n n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若25n a
n n b a =-，求数列{}n b 中最小的项.
【答案】（1）n a n =；（2）7-. 【解析】 【分析】
（1）由21122n n a S n n -=-可得出()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+，两式作差可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）求得25n
n b n =-，利用数列的单调性的定义判断数列{}n b 的单调性，由此可求得数列{}n b 的最小
项的值. 【详解】
（1）对任意的n *∈N ，由21122n n a S n n -=-得()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+， 两式相减得n a n =，
因此，数列{}n a 的通项公式为n a n =；
（2）由（1）得25n
n b n =-，则()()
1
12
512525n n n
n n b b n n ++⎡⎤-=-+--=-⎣⎦
. 当2n ≤时，10n n b b +-<，即1n n b b +<，123b b b ∴>>； 当3n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +>，345b b b ∴<<<L .
所以，数列{}n b 的最小项为3
32537b =-⨯=-.
【点睛】 本题考查利用
n
S 与
n
a 的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力
与计算能力，属于中等题.
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点3(1,)2且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面
积为（1）求椭圆C 的标准方程：
（2）设A 是椭圆的左顶点，过右焦点F 的直线1l ，与椭圆交于P ，Q ，直线AP ，AQ 与直线2:4l x = 交于M ，N ，线段MN 的中点为E. ①求证：EF PQ ⊥；
②记PQE V ，PME △，ONE V 的面积分别为1S 、2S 、3S ，求证：
1
23
S S S +为定值.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】
（1
）解方程222221914a b bc a b c ⎧+=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
即可；
（2）①设直线1:1l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将E 点的坐标用m 表示，证明1EF PQ k k ⋅=-即可；②分别用m 表示PQE V ，PME △，ONE V 的面积即可. 【详解】
（1
）222221914a b bc a b c ⎧+=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解之得：2224,3,1a b c ===
的标准方程为：22
143
x y +=
（2）①()2,0A -，()1,0F ， 设直线1:1l x my =+
代入椭圆方程：2
2
2
2
3(1)412(34)690my y m y my ++=⇒++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，
122634m
y y m -+=
+，12
2934
y y m -=+ 直线11:(2)2y AP y x x =
++，直线2
2:(2)2
y AQ y x x =++ 1
16(4,
)2
y M x +，226(4,
)2y N x + 121212121166()3222233E M N y y y y y y y x x my my ⎛⎫⎛⎫
=+=+=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
()()22121222
212122291822334343391839
9
3434
m
m
my y y y m m m m m y y m y y m m --+++++=⨯=⨯--+++++++ 363336
m m -=⨯=-
(4,3)E m -，33
EF m
k m -==-，1PQ k m =，1EF PQ k k ⋅=-，EF PC ⊥.
②
()22121||34
m PQ m +=
=
+，||EF =
(212
1811||||234m S PQ EF m +==+ ()231212111
44||8224
S S ME x NE x MN x x +=
-+-=-- ()()212
1221211666664433
34M N y y m y y m y y my my m ⎡⎤
=--+=-+⎢⎥+++⎣⎦
()21222121211083934
y y m m y y m y y m -+=⨯++++
)2
2222111083434
34
m m m m m ++==+++ 所以
1231
2
S e S S ==+.
【点睛】
本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题. 19．已知函数()()2
2ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）.
（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；
（2）若存在[]
1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）1a ≥- 【解析】 【分析】
（1）分类讨论a 的值，利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数分别得出2a ≤，22a e <<，2a e ≥时，()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）()()()2
22'22x a x a a f x x a x x
-++=-++=()()21x a x x --=
，[]1,x e ∈. 当
12
a
≤即2a ≤时，[]1,x e ∈，()'0f x ≥，此时，()f x 在[]1,e 上单调递增；
当12a e <
<即22a e <<时，1,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在,2a e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；
当
2
a
e ≥即2a e ≥时，[]1,x e ∈，()'0
f x ≤，此时，()f x 在[]1,e 上单调递减； （2）当2a ≤时，因为()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f a =--，所以12a -≤≤ 当22a e <<时，()f x 在1,
2a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调递减，在,2a e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增 所以()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫
=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因为22a e <<，所以0ln
12a <<，311242
a e <+<+. 所以ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫
=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以22a e <<. 当2a e ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减 所以()f x 的最小值为()()2
2f e e a e a =-++
因为2221
e e a e e -≥>-，所以()0
f e <，所以2a e ≥，综上，1a ≥-.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题. 20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面
PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.
（1）求证:OE P 平面PAB ； （2）求证:CD PA ⊥.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行； （2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】
（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点， 又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，
又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ； （2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， 所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，
PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，
所以，CD PA ⊥. 【点睛】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明. 21．已知()13f x x x =+++. （1）解不等式()6f x <；
（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值. 【答案】（1）()5,1-；（2）4
9
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解. （2）利用柯西不等式可求222a b c ++的最小值. 【详解】
（1）()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪
=-<<-⎨⎪--≤-⎩
，
由()6f x <得1246x x ≥-⎧⎨+<⎩或3126x -<<-⎧⎨<⎩
或3
246x x ≤-⎧⎨--<⎩，
解得()5,1x ∈-.
（2）()()()()242410f a f b c a b c ++=++++=， 所以222a b c ++=， 由柯西不等式(
)()
()2
222
222123
1
23112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得：
()(
)
()2
2
2222222122a
b c a b c ++++≥++
所以(
)
()2
22
2
9224a b c
a b c ++≥++=，
即222
4
9a b c ++≥
（当且仅当429
a b c ===时取“=”）. 所以222a b c ++的最小值为4
9
. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.
22．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数； （2）将y 表示为x 的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
【答案】（1）153x =，众数为150；（2）8048008000
x y -⎧=⎨⎩ ()
()100160160200x x ≤<≤≤；（3）0.90
【解析】 【分析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数；（2）
由已知条件推导出当100160x 剟
时，50(160)?30804800y x x x =--=-，当160200x <…时，160508000y =⨯=，由此能将y 表示为x 的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元
的概率． 【详解】
（1）由直方图可估计需求量x 的众数为150 ， 由直方图可知[)100120，
的频率为：200.0050=0.10⨯ 由直方图可知[)120140，
的频率为：200.010=0.20⨯ 由直方图可知[)140160，
的频率为：200.0150=0.30⨯ 由直方图可知[)160180，
的频率为：200.0125=0.25⨯ 由直方图可知
[]180200，
的频率为：200.0075=0.15⨯ ∴估计需求量x 的平均数为：
0.101100.201300.301500.251700.15190153=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x
（2）当100160≤<x 时，5030(160)804800=--=-y x x x 当160200≤≤x 时，50160=8000=⨯y
∴8048008000x y -⎧=⎨⎩
100160160200（）（）≤<≤≤x x
（3）由（2）知 当160200≤≤x 时，50160=8000>4800=⨯y 当100160≤<x 时，8048004800=-≥y x 得120160≤<x ∴开学季利润不少于4800元的需求量为120200≤≤x
由频率分布直方图可所求概率0.200.300.250.150.90=+++=P 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
23．对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意. 【详解】
（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2． （2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<， 则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，
考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=， 若d c c -=，则考虑,b c ，
2c b c c d <+<=Q ，c b S ∴-∈，则c b b -=，
{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；
若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，
{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．
（3）记1009n =，则21S n =+，
首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，
而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，
2
n M
x ∴=
， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，
由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，
以此类推：()1i x im i n =≤≤，
22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，
故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。