武威市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
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武威市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知命题p :∃x ∈R ,cosx ≥a ,下列a 的取值能使“¬p ”是真命题的是( ) A .﹣1 B .0 C .1
D .2
2. 设命题p :,则
p 为( )
A .
B .
C .
D .
3. 将函数f (x )=sin2x 的图象向右平移个单位,得到函数y=g (x )的图象,则它的一个对称中心是( )
A .
B .
C .
D .
4. 复数i i -+3)1(2
的值是( )
A .i 4341+-
B .i 4341-
C .i 5351+-
D .i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则,突出复数知识中的基本运算,属于容易题.
5. 如图,已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4,点E ,F 分别是线段AB ,C 1D 1上的动点,点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点,且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离,则当点P 运动时,PE 的最小值是( )
A .5
B .4
C .4
D .2
6. 函数f (x )=lnx ﹣的零点所在的大致区间是( )
A .(1,2)
B .(2,3)
C .(1,)
D .(e ,+∞)
7. 已知圆C :x 2
+y 2
﹣2x=1,直线l :y=k (x ﹣1)+1,则l 与C 的位置关系是( ) A .一定相离 B .一定相切
C .相交且一定不过圆心
D .相交且可能过圆心
8. 设βα,是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A .若α⊥l ,βα⊥,则β⊂l
B .若α//l , βα//,则β⊂l
C .若α⊥l ,βα//,则β⊥l
D .若α//l ,βα⊥,则β⊥l
9. 设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b]上的两个函数,若函数y=f (x )﹣g (x )在x ∈[a ,b]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b]上是“关联函数”,区间[a ,b]称为“关联区间”.若f (x )=x 2
﹣3x+4
与g (x )=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为( )
A .(﹣,﹣2]
B .[﹣1,0]
C .(﹣∞,﹣2]
D .(﹣,+∞)
10.已知集合M={0,1,2},则下列关系式正确的是( ) A .{0}∈M B .{0}∉M C .0∈M
D .0⊆M
11.已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+,且()g x ,()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数, 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立,则实数的取值范围是( )
A .(-∞
B .(-∞
C .
D .)+∞ 12.棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A .π4 B .π6 C .π8 D .π10
二、填空题
13.给出下列命题:
(1)命题p :;菱形的对角线互相垂直平分,命题q :菱形的对角线相等;则p ∨q 是假命题
(2)命题“若x 2
﹣4x+3=0,则x=3”的逆否命题为真命题 (3)“1<x <3”是“x 2
﹣4x+3<0”的必要不充分条件
(4)若命题p :∀x ∈R ,x 2
+4x+5≠0,则¬p :
.
其中叙述正确的是 .(填上所有正确命题的序号)
14.如图,在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中,点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点,若1AP 平行于平面
AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
15.直线l :
(t 为参数)与圆C :
(θ为参数)相交所得的弦长的取值范围
是 .
16.递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1,(n ∈N *,n >1),其前n 项和为S n ,a 2+a 8=6,a 4a 6=8,则S 10= .
17.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA 1=,M 为A 1B 1的中点,则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为( )
A.B.C.D.
18.某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须在D的前面完成(不一定相邻),其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种.(用数字作答)
三、解答题
19.(本小题满分12分)在多面体ABCDEFG中,四边形ABCD与CDEF均为正方形,CF⊥平面ABCD,
==.
BG⊥平面ABCD,且24
AB BG BH
(1)求证:平面AGH⊥平面EFG;
--的大小的余弦值.
(2)求二面角D FG E
20.等差数列{a n}的前n项和为S n.a3=2,S8=22.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
21.(本小题满分12分)已知12,F F 分别是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点,(1,2
P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列.
(1)求椭圆C 的标准方程;、
(2)已知动直线l 过点F ,且与椭圆C 交于A B 、两点,试问x 轴上是否存在定点Q ,使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a n ﹣,数列{b n }中,b 1=1,点P (b n ,b n +1)在直线x ﹣y+2=0上.
(1)求数列{a n },{b n }的通项a n 和b n ; (2)设c n =a n •b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .
23.(本小题满分13分)
椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点
M ,
点M 在x 轴的上方.当0m =时,1||MF =
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点, 12//MF NF ,且1212
3MF F NF F S S ∆∆=,求直线l 的方程.
24.已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ,求实数x 、y 的值.
武威市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D
【解析】解:命题p :∃x ∈R ,cosx ≥a ,则a ≤1. 下列a 的取值能使“¬p ”是真命题的是a=2. 故选;D .
2. 【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题,p 为:。
故答案为:A 3. 【答案】D
【解析】解:函数y=sin2x 的图象向右平移个单位,则函数变为y=sin[2(x ﹣
)]=sin (2x ﹣
);
考察选项不难发现: 当x=时,sin (2×
﹣
)=0;
∴(
,0)就是函数的一个对称中心坐标.
故选:D .
【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理能力,常考题型.
4. 【答案】C
【解析】i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+.
5. 【答案】 D
【解析】解:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴, 建立空间直角坐标系,
设AE=a ,D 1F=b ,0≤a ≤4,0≤b ≤4,P (x ,y ,4),0≤x ≤4,0≤y ≤4,
则F (0,b ,4),E (4,a ,0),
=(﹣x ,b ﹣y ,0),
∵点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离,
∴当E 、F 分别是AB 、C 1D 1上的中点,P 为正方形A 1B 1C 1D 1时, PE 取最小值,
此时,P (2,2,4),E (4,2,0),
∴|PE|min =
=2
.
故选:D.
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识.
6.【答案】B
【解析】解:函数的定义域为:(0,+∞),有函数在定义域上是递增函数,所以函数只有唯一一个零点.
又∵f(2)﹣ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0
∴f(2)•f(3)<0,
∴函数f(x)=lnx﹣的零点所在的大致区间是(2,3).
故选:B.
7.【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程,找出圆心C坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,与r比较大小即可得到结果.
【解答】解:圆C方程化为标准方程得:(x﹣1)2+y2=2,
∴圆心C(1,0),半径r=,
∵≥>1,
∴圆心到直线l的距离d=<=r,且圆心(1,0)不在直线l上,
∴直线l与圆相交且一定不过圆心.
故选C
8.【答案】C111]
【解析】
考
点:线线,线面,面面的位置关系
9. 【答案】A
【解析】解:∵f (x )=x 2
﹣3x+4与g (x )=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,
故函数y=h (x )=f (x )﹣g (x )=x 2
﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,
故有
,即
,解得﹣<m ≤﹣2,
故选A . 【点评】本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于
基础题.
10.【答案】C
【解析】解:对于A 、B ,是两个集合的关系,不能用元素与集合的关系表示,所以不正确; 对于C ,0是集合中的一个元素,表述正确.
对于D ,是元素与集合的关系,错用集合的关系,所以不正确. 故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系,集合与集合的关系,考查基本知识的应用
11.【答案】B 【解析】
试题分析:因为函数()x
F x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函
数,()()()()()()(],,,,0,222
x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式
()()20g x ah x -≥恒成立, 即
22022
x
x
x
x
e e e e
a --+--≥恒成立, ()2
222x
x x
x
x x x x e e e e a e e e e -----++∴≤=-- ()2
x x x x e e e e
--=-++, 设x x t e e -=-,则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,220t e e -∴<≤-, 此时不等
式2t t +
≥当且仅当2
t t
=,即t =, 取等号,a ∴≤故选B. 考点:1、函数奇偶性的性质;2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立(max ()a f x ≥即可);②数形结合;③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立;④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
12.【答案】B 【解析】
考
点:球与几何体
二、填空题
13.【答案】 (4)
【解析】解:(1)命题p :菱形的对角线互相垂直平分,为真命题.命题q :菱形的对角线相等为假命题;则p ∨q 是真命题,故(1)错误,
(2)命题“若x 2
﹣4x+3=0,则x=3或x=1”,即原命题为假命题,则命题的逆否命题为假命题,故(2)错误,
(3)由x 2﹣4x+3<0得1<x <3,则“1<x <3”是“x 2
﹣4x+3<0”的充要条件,故(3)错误,
(4)若命题p :∀x ∈R ,x 2
+4x+5≠0,则¬p :
.正确,
故答案为:(4)
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及复合命题的真假关系,四种命题,充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定,知识点较多,属于中档题.
14.【答案】4⎡⎢⎣
⎦ 【解析】
考点:点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题,其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质,三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,同时考查了学生空间想象能力的训练,试题有一定的难度,属于中档试题.
15.【答案】[4,16].
【解析】解:直线l:(t为参数),
化为普通方程是=,
即y=tanα•x+1;
圆C的参数方程(θ为参数),
化为普通方程是(x﹣2)2+(y﹣1)2=64;
画出图形,如图所示;
∵直线过定点(0,1),
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16,
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4,16].
故答案为:[4,16].
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题,解题时先把参数方程化为普通方程,再画出图形,数形结合,容易解答本题.
16.【答案】35.
【解析】解:∵2a n=a n﹣1+a n+1,(n∈N*,n>1),
∴数列{a n}为等差数列,
又a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3,
又a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8,
∴d2=1,解得:d=1或d=﹣1(舍去)
∴a n=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2.
∴a1=﹣1,
∴S10=10a1+=35.
故答案为:35.
【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{a n}为等差数列,并求得a n=2n﹣1是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.
17.【答案】
【解析】解:法1:取A1C1的中点D,连接DM,
则DM∥C1B1,
在在直三棱柱中,∠ACB=90°,
∴DM⊥平面AA1C1C,
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角,
则DM=,AD===,
则tan∠MAD=.
法2:以C1点坐标原点,C1A1,C1B1,C1C分别为X,Y,Z轴正方向建立空间坐标系,
则∵AC=BC=1,侧棱AA
=,M为A1B1的中点,
1
∴=(﹣,,﹣),=(0,﹣1,0)为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ,
则sinθ=||=
则tanθ=
故选:A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中利用定义法以及建立坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.
18.【答案】24
【解析】解:由题意,B与C必须相邻,利用捆绑法,可得=48种方法,
因为A必须在D的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种,
故答案为:24.
【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.
三、解答题
19.【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力,以及转化的思想、方程思想.
∵GH∈平面AGH,∴平面AGH⊥平面EFG.……………………………5分
20.【答案】
【解析】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3=2,S8=22.
∴,
解得,
∴{a n}的通项公式为a n=1+(n﹣1)=.
(2)∵b n===﹣,
∴T n=2+…+
=2
=.
21.【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.
下面证明54m =
时,7
16
QA QB ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率为0时,结论成立;
当直线l 的斜率不为0时,设直线l 的方程为1x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,
由1x ty =+及2
212
x y +=,得22(2)210t y ty ++-=, 所以0∆>,∴12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++. 111x ty =+,221x ty =+,
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2
(1)t +121211()416
y y t y y -++=
222
222
11212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++.
综上所述,在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立. 22.【答案】
【解析】解:(1)∵S n
=a n
﹣, ∴当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1
=a n
﹣
﹣,
即a n =3a n ﹣1,. ∵a 1=S 1
=
﹣,∴a 1=3.
∴数列{a n }是等比数列,∴a n =3n
. ∵点P (b n ,b n+1)在直线x ﹣y+2=0上, ∴b n+1﹣b n =2,
即数列{b n }是等差数列,又b 1=1,∴b n =2n ﹣1.
(2)∵c n =a n •b n =(2n ﹣1)•3n
,
∵T n =1×3+3×32+5×33+…+(2n ﹣3)3n ﹣1+(2n ﹣1)3n
, ∴3T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n ﹣3)3n +(2n ﹣1)3n+1
, 两式相减得:﹣2T n =3+2×(32+33+34+…+3n )﹣(2n ﹣1)3n+1
,
=﹣6﹣2(n ﹣1)3n+1,
∴T n =3+(n ﹣1)3n+1
.
23.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由直线:1l x my =-经过点1F 得1c =,
当0m =时,直线l 与x
轴垂直,21||2
b MF a ==
,
由2
1
c b a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩
解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2212x y +=. (4分) (Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ,120,0y y >>,由12//MF NF 知121211
22
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===.
联立方程22
1
1
2
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得22
(2)210m y my +--=
,解得y =
∴1y =
,同样可求得2y =, (11分)
由1
23y y =得123y y =3=,解得1m =, 直线l 的方程为10x y -+=. (13分) 24.【答案】
【解析】解:由复数相等的条件,得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
解得
或
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题.。