2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3.1 精品

6
33
所以 在第一象限;
3
②当k=3m+1,m∈Z时,
5 6
m
2＜ ＜ 3
所m 以2, m在 Z第, 二象限3 ;
③当k=3m+2,m∈Z时,
3 m 2＜＜5 m 2, m Z，
2
33
所以 在第四象限.综上, 在第一、二或四象限.
3
3
【规律方法】 1.终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方 法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后 通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
【母题变式】1.本例题(1)中,若把第二象限改为第三
象限,则结果如何?
【解析】由角α终边在第三象限,可知π+2kπ<α<
3+2kπ,k∈Z,
2
所以 k＜＜3 k, k Z.
2
24
①当k=2m,m∈Z时 , 2m＜＜3 2m, m Z,
2
24
此时 在第二象限;
2
②当k=2m+1,m∈Z时,
2.各象限角三角函数值符号的记忆口诀:一全正,二正
弦,三正切,四余弦.
3.任意角三角函数的定义
设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O
的距离为r,则sinα= y ,cosα= x ,tanα= y (x≠0).
r
r
x
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修4P10习题1.1A组T10改编)单位圆中,200°的圆
3 2m＜＜7 2m, m Z,
2
24
此时, 在第四象限.
2
综上可知, 在第二或第四象限.
2
2.在本例题(1)中,条件不变,求 的终边所在的位置.
3
【解析】由于角α的终边在第二象限,
所以 +k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,
2
所以 k 2＜＜ k 2, k Z，
63 3 33
①当k=3m,m∈Z时, m 2＜＜ m 2, m Z，
【解析】选C.①- 3是 第三象限角,故①错误.
4
② 4 从，而
3
3
是第4三象限角,故②正确.
3
③-400° =-360°-40°,从而③正确.④-315°=
-360°+45°,从而④正确.
3.设θ是第三象限角,且 |cos | cos ，则 是( )
2
22
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
长三个量中的任意两个.
易错提醒:要把角的单位统一为弧度,否则就会出错.
【变式训练】(2016·太原模拟)已知2弧度的圆心角所
对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是 ( )
A.2
B.sin2
C. 2
sin 1
D.2 sin1
【解析】选C.如图:∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于
C,
并延长1OC交弧AB于D.则∠AOD=∠BOD=1弧度,
当k=2m,m∈Z时 , m 2 m 2, m Z，
4
22
所以 在第一象限;
2
当k=2m+1,m∈Z时5, m 2 3 m 2, m Z，
4
22
所以 在第三象限.综上, 的终边在第一或三象限.
2
2
(2)因为-2 015°=-6×360°+145°, 所以145°与-2 015°终边相同,又终边相同的两个角相 差360°的整数倍, 所以在0°～360°中只有145°与-2 015°终边相同, 所以与-2 015°终边相同的最小正角是145°. 答案:145°
D.7cm
【解题导引】(1)直接利用弧长公式即可计算求解. (2)首先根据扇形的弧长与半径的关系,建立等式,然后 根据面积公式转化成关于R的二次函数,通过解二次函 数最值求结果.
【规范解答】(1)选D.扇形的弧长为l,圆心角大小为
α= 5,半径为r=8cm,
3
则 l r 5 8 40 cm.
C.tan 1 3
B.cos Hale Waihona Puke 3 10 10D.tan 3
【解析】选D.根据三角函数的定义, r 10，sin 10 ，
10
cos 3 10 ，所tan以 ta1n，α=3错误.
10
3
4.(2014·全国卷Ⅰ)若tanα>0,则 ( )
A.sinα>0
B.cosα>0
C.sin2α>0
则
2r l
1 2
rl
6， 解得
2，
r l
1，或 4
r l
2， 2.
从而 l 4 4或 l 2 1.
r1
r2
2.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10, (1)求弦AB所对的圆心角α的大小. (2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10, 所以△AOB为等边三角形. 因此弦AB所对的圆心角α= .
2
考向二 扇形弧长、面积公式的应用
【典例2】(1)在半径为8cm的圆中, 5 的圆心角所对的
3
弧长是 ( )
A. 400 cm 3
C. 200 cm 3
B. 20 cm 3
D. 40 cm 3
(2)已知一扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大
时,半径R的值为 ( )
A.4cm
B.5cm
C.6cm
心角所对的弧长为 ( )
A.10π
B.9π
C. 9 10
D.10 9
【解析】选D.单位圆的半径r=1,200°的弧度数是
200 10 , 180 9
由弧度数的定义得
10 l ,所以l 10 .
9r
9
2.(必修4P15练习T6改编)若角θ满足tanθ>0,sinθ<0,
则角θ所在的象限是 ( )
7
所以 2 k 2, k Z，
37 3
设 [0，2)，
3
所以 2 ，2 1 2 ，2 2 2 ，
37 7
37
3
所以所求的角为 2 ，20 ，34 .
7 21 21
【加固训练】 1.(2016·枣庄模拟)若角α与β的终边相同,则角αβ的终边 ( ) A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上 C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上
是
.
【解题导引】(1)根据象限角及不等式的性质求解.
(2)将-2 015°写成k·360°+α(k∈Z,0°<α<360°)的形
式,进而确定最小正角.
【规范解答】(1)选C.由角α的终边在第二象限,
所以 +k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,
2
所以 k 2 k 2, k Z，
42 2 22
1
面积公式:S=__2_l _r _=
1 2
r2.
3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则sinα=_y_,cosα=_x_,tanα=_xy_(_x__0_) .
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何 表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分 别叫做角α的_正__弦__线、_余__弦__线和_正__切__线.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.由tanθ>0知,θ是一、三象限角,由 sinθ<0知,θ是三、四象限角或终边在y轴负半轴上, 故θ是第三象限角.
感悟考题 试一试 3.(2016·临沂模拟)已知角α的终边经过点M(-3,-1), 则下列结论不正确的是 ( )
A.sin 10 10
2
且AC= AB=1A,O AC 1 ，
sinAOC sin 1
在Rt△A1 OC中,
sin 1
2. sin 1
即r= ,从而弧AB的长为l=α·r=
【加固训练】
1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧
度数是 ( )
A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
【解析】选C.设此扇形的半径为r,弧长为l,
3
3
(2)选B.因为l=20-2R,
所以S=1
2
lR
= 1(20-2R)·R=-R2+10R=-(R-5)2+25,
2
所以当半径R=5cm时,扇形的面积最大,为25cm2.
【规律方法】弧度制下有关弧长面积问题的解题策略 (1)熟练掌握两个公式:l=α·r,S= 1 l·r.
2
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧
第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的
三角函数
【知识梳理】 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、 负角、零角. ①正角:按_逆__时__针__方向旋转形成的角; ②负角:按_顺__时__针__方向旋转形成的角;
③零角:如果一条射线_没__有__作__任__何__旋__转__,我们称它形成 了一个零角. (2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为: _{_β__|_β__=_α__+_2_k_π__,_k_∈__Z_}_.
【解析】选A.由于角α与β的终边相同, 所以α=k·360°+β(k∈Z),从而α-β=k·360° (k∈Z),此时角α-β的终边在x轴正半轴上.
2.给出下列命题:
① 3 是第二象限角;② 4 是第三象限角;
4
3
③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中
正确的命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D.1
【解析】选C.由题意知 m 2 , 5m2=4m2+36,
9 m2 5
且m>0,所以m=6.
考向一 象限角及终边相同的角
【典例1】(1)已知角α的终边在第二象限,则 的终边
2
在第
象限 ( )
A.一或二
B.二或三
C.一或三
D.二或四
(2)(2016·济宁模拟)与-2 015°终边相同的最小正角
3
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得
10
1 50
l r 10 3
3 ,S扇形 2 r l
. 3
又S
AOB
1 2
OA
OB
sin
3
25
3.
所以弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50(
3
3 ). 2
考向三 三角函数的定义
【考情快递】
命题方向
命题视角
主要考查根据三角函数定义求角的三角函 三角函数定 数值,判断三角函数的符号或已知三角函 义的应用 数值求参数,属容易题
D.第四象限角
【解析】选B.由于θ是第三象限角,所以
2k ＜＜2k 3 (k Z)，k ＜＜k 3 (k Z)；
2
22
4
又|cos | c所os以，cos ≤0,从 而
2
2
2
2k 2k 3 (k Z)，
22
2
综上可知2k ＜＜2(kk∈ 3Z),
22
4
即 是第二象限角.
上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴.
③选答:出现数字m的区域,即为 所在的象限.
k
易错提醒:判断终边所在象限要注意分类讨论.
【变式训练】若角β的终边与 6 π的终边相同,求在区
7
间[0，2π)内终边与 的终边相同的角.
3
【解析】因为角β的终边与 π6 的终边相同,
7
所以 6 k 2, k Z,
4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=_s_i_n_α__, cos(α+k·2π)=_c_o_s_α__, tan(α+k·2π)=_t_a_n_α__(其中k∈Z), 即终边相同的角的同一三角函数的值相等.
【特别提醒】 1.终边相同的角与对称性拓展 (1)β,α终边相同⇔β=α+2kπ,k∈Z. (2)β,α终边关于x轴对称⇔β=-α+2kπ,k∈Z. (3)β,α终边关于y轴对称⇔β=π-α+2kπ,k∈Z. (4)β,α终边关于原点对称⇔β=π+α+2kπ,k∈Z.
2.确定 (k∈N*)的终边位置的方法
k
(1)讨论法
①用终边相同角的形式表示出角α的范围.
②写出 的范围.
k
③根据k的可能取值讨论确定 的终边所在位置.
k
(2)等分象限角的方法
已知角α是第m(m=1,2,3,4)象限角,求 是第几象限角.
k
①等分:将每个象限分成k等份.
②标注:从x轴正半轴开始,按照逆时针方向顺次循环标
D.cos2α>0
【解析】选C.由tanα>0可得:kπ<α<kπ+ (k∈Z),
2
故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),正确的结论只有sin2α>0.
5.(2016·滨州模拟)在平面直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα= 2 5，则m= ( )
5
A.-6或1
B.-1或6
C.6
2.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于_半__径__长__的弧所对的圆心角.
l
(2)角α的弧度数公式:|α|=__r _.
(3)角度与弧度的换算: 360°=_2_π__rad,1°=__18_0_rad,1rad=(_1_80_)°≈57°18′.
(4)扇形的弧长及面积公式:
弧长公式:l=_α__·__r_.
三角函数线 主要考查根据三角函数线求解含有三角函
的应用
数的定义域、解不等式、比较大小等问题
【考题例析】
命题方向1:三角函数定义的应用
【典例3】(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中,