【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：2.3.4平面与平面垂直的性质(含答案解析)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
A级基础巩固
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是()
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．
答案：D
2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是()
A．①②B．③④
C．①④D．②③
解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()
A．a∥γB．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
答案：D
4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．相交或平行
解析：由线面垂直的性质可得．
答案：B
5.如图所示，三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解析：因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
又因为平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，
所以PD⊥平面ABC.
答案：B
二、填空题
6．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；
②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．
解析：逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．
答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确的个数为________．
解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．
答案：4
8．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC.因为二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，
所以AC⊥β.
又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.
答案： 2
三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD 折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，
所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.
因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
所以AB⊥平面EBD.
因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.
10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD.
证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，
所以BC∥平面PDA.
(2)取CD的中点H，连接PH.
因为PD＝PC，
所以PH⊥CD.
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH⊂平面PDC.
所以PH⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，
所以PH⊥BC.
因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，
所以BC⊥平面PDC.
又PD⊂平面PDC，
所以BC⊥PD.
B级能力提升
1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有()
A．①与②B．①与③
C．②与③D．③与④
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.
答案：B
2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时
CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM 的最小值为27. 答案：27
3．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；
(2)求证：AD ⊥PB.
证明：(1)如图所示，设AC∩BE ＝O ，连接OF ，EC.
由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12
AD ，AD ∥BC ， 所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，
因此，四边形ABCE 为菱形，
所以O 为AC 的中点．
又F 为PC 的中点，
因为，在△PAC 中，可得AP ∥OF.
又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，
所以AP ∥平面BEF.
(2)由题意，知ED ∥BC ，ED ＝BC ，
所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD.
又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE.
因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC.
又AP∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ，
所以BE ⊥平面PAC.。