八年级上册轴对称填空选择单元综合测试(Word版 含答案)

八年级上册轴对称填空选择单元综合测试（Word 版 含答案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.
①ABD ACE ∆≅∆
②45ACE DBC ∠+∠=︒
③BD CE ⊥
④180EAB DBC ∠+∠=︒
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，
即：∠BAD=∠CAE ，
∵AB=AC ，AE=AD ，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；
∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD ⊥CE ，故③正确；
∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴∠BAE+∠DAC=180°，
∵∠ADB=∠E=45°，
∴DAC DBC ∠=∠，
∴180EAB DBC ∠+∠=︒，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．
2．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长
为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______
【答案】3
【解析】
【分析】
连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．
【详解】
如图：连接BE ，
DE ⊥AB ，
090BDE ∴∠=， 在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，
BE BE BD BC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，
DE CE ∴=,
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，
△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，
∴BC=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.
3．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于
Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.
【答案】7
【解析】
试题解析：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB CA
BAE ACD
AE CD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为7.
4．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7
【解析】
【分析】
连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.
【详解】
如图，连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，
∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线
∴BD=CD
在△BDE 和△CDA 中
BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ）
∴BE=CA=4
在△ABE 中，AB+BE>AE ，且AB ﹣BE ＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE ＜14
∴3＜AD ＜7
故答案为3＜AD ＜7
【点睛】
本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
5．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④CO 平分∠AOE ；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有
__．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③④⑤
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】
①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，
同理可得出∠AOE=120°，
∵D，O，C，E四点共圆，
∴∠OCD=∠OED，
∴∠OAC=∠OCD，
∴∠DCE=∠AOC=60°，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．
6．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．
【答案】16或12．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在
△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．
【详解】
∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．
∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．
②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG
+EG=BC=12．
故答案为：16或12．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线7．如图，在ABC中，ACB90,CA CB
上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为
______．
【答案】25 2
【解析】
【分析】
作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明
∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.
【详解】
作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，
∵MN是CD的垂直平分线，
∴MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，
∴∠AMC=2∠ADC，
∵∠BED=2∠ADC，
∴∠AMC=∠BED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，
∴∠ACM=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACM，
∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∵AF=2，FD=7，
∴AC=FC-AF=7-2=5，
∴S△ABC=1
2
×5×5=
25
2
.
故答案为：25 2
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.
8．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 o，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.
【答案】5
2
或
13
2
【解析】
解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，
∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积
=1
2
CE•CF=
3
2
，∴△DEF的面积=1
2
×2×2﹣
3
2
=
5
2
．
②E'在AC延长线
上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=22
∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，
∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'（SAS），∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即
∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×222=13，∴S△E'DF'=1
2
DE'2=
13 2．故答案为
13
2
或
5
2
．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE ≌△CDF 和△CDE ≌△BCF 是解题的关键．
9．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
53
【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得
,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定
理得222CE CF EF +=，设,DE EF x == 则3CE x =-，
则()2
2231,x x -+=由此即可解决问题．
详解：90BAC AB AC ∠==，，
∴45B ACB ∠=∠=，
把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图,则
△ABD ≌△ACF ,
,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF =∠=∠∠=∠=
∵45DAE ∠=，
∴45BAD CAE ∠+∠=，
∴45,
CAF CAE ∠+∠=
即45,EAF ∠=
∴∠EAD =∠EAF ，
在△ADE 和△AFE 中
AE AE EAD EAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△AFE ，
∴DE =FE ，
∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，
∴222CE CF EF +=，
Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，
∴224BC AB AC =+=，
∵1BD =，
设,DE EF x == 则3CE x =-，
则有()22231,x x -+=
解得：5.3x =
∴5.3
DE = 故答案为5
.3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
10．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝2，CO ＝3，则两平行线间AB 、CD 的距离等于________．
【答案】4
【解析】
试题解析：如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
0=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），
∴AC=AF ，
∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF ，
在△ACD 与△AFD 中，
AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），
∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×
12×2×2=4． 故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．
12．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若
21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A ．①，②都正确
B ．①，②都错误
C ．①错误，②正确
D ．①正确，②错误 【答案】A
【解析】
【分析】
根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．
【详解】 解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，
1122B C B C ∴=，
∴△111A B C ≅△222()A B C SSS ，
∴①正确；
②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，
∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+，
∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C
∴1122A D A D =，
在△111A B D 和△222A B D 中
1122121122
==A D A D A A A C A C =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，
∴ △111A B D ≅△222A B D （SAS ）
∴12=D D ∠∠，
∵1111B D B C =，2222B D B C =
∴1111=D D C B ∠∠，2222=D D C B ∠∠，
又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B C D D C B ∠∠+∠，
∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，
在△111A B C 和△222A B C 中
111222121122
===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），
∴②正确；
综上所述：①，②都正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．
13．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ）
A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D
B ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D
C ．∠A=∠
D ，∠B=∠
E ，∠C=∠F
D ．AC=DF ，BC=D
E ，∠C=∠D
【答案】D
【解析】
根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断：
A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判断全等；
B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D，不符合“ASA”定理，不能判断全等；
C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ，“AAA”不能判定全等；
不符合“SAS”定理，不对应，不能判断全等；
D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判断全等；
故选：D．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．五对B．四对C．三对D．二对
【答案】A
【解析】
如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；
④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；
∴图中共有5对全等三角形.故选A.
15．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）
A．30°B．60°C．80 °D．50°
【答案】B
【解析】
试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB +∠DBE =90°，
∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°，
∴3∠DBE =90°，
∴∠DBE =30°，
∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°．
故选B ．
16．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）
A ．3:4
B ．3:5
C ．4:5
D ．2:3
【答案】B
【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=
12×32×3：12×32
×5=3：5．
故选：B ．
点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
17．如图所示，在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且
:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )
A ．70
B ．45
C ．60
D ．48
【答案】D
【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x ，则∠BAD=7x ，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可
知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°
+42°=48°. 故选：D.
点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.
18．已知OD 平分∠MON，点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合)，且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为（ ）
A ．∠OAB+∠BCO=180°
B ．∠OAB=∠BCO
C ．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠B CO
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
19．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：
①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形
2
3ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=1
2
CAB
∠，∠ABE=
1
2
ABC
∠
∴∠BAD+∠ABE=111
+=()45 222
CAB ABC CAB ABC
∠∠∠+∠=︒
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；
在△APH与△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；
连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD ∥EP ，
∴EPH EPD S S =
∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S S
S S =+++四边形 ()ABP AEP EPH
PBD S S S S =+++ ABP APH PBD
S S S =++ ABP FPD PBD S
S S =++ ABP FBP S S =+
2ABP S =
故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．
20．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：
①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，
∴AP BQ =．
在ACP △和ABQ △中，
60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩
， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．
则AQC CPB ∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．
∴60AMP B ∠=∠=︒．
则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．
∵APM ∠不一定等于60︒．
∴AP AM ≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
21．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）
A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】
解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，
∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；
△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，
虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，
∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．
22．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，
PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；
③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）
A．②③④B．①②C．①④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得
△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.
【详解】
解:如图
连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,
AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,
△APR≌△APS.
AS=AR,
又QP/AR,
∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，
∠1=∠3,
AQ=PQ,
没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,
没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.
所以B选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.
23．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【解析】
∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：A B=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故选：B．
点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．
24．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=
12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩
， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
25．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ，则下列结论不正确的是
A ．BF =DF
B ．∠1=∠EFD
C ．BF >EF
D ．FD ∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余角的性质得到∠C =∠ABE ，∠EBC =∠BAC ．根据SAS 推出△ABF ≌△ADF ，根据全等三角形的性质得到BF =DF ，故A 正确；由全等三角形的性质得到∠ABE =∠ADF ，等量代换得到∠ADF =∠C ，根据平行线的判定得到DF ∥BC ，故D 正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF ，等量代换得到BF ＞EF ；故C 正确；根据平行线的性质得到
∠EFD =∠EBC =∠BAC =2∠1，故B 错误．
【详解】
∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠C +∠BAC =∠ABE +∠BAC =90°，∴∠C =∠ABE ．同
理：∠EBC =∠BAC ．
在△ABF 与△ADF 中，∵12AD AB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABF ≌△ADF ，∴BF =DF ，故A 正确， ∵△ABF ≌△ADF ，∴∠ABE =∠ADF ，∴∠ADF =∠C ，∴DF ∥BC ，故D 正确；
∵∠FED =90°，∴DF ＞EF ，∴BF ＞EF ；故C 正确；
∵DF ∥BC ，∴∠EFD =∠EBC ．∵∠EBC =∠BAC =∠BAC =2∠1，∴∠EFD =2∠1，故B 错误． 故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF ≌△ADF 是解题的关键．
26．下列命题中的假命题是（ ）
A ．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等
B ．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等
C ．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等
D ．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.
【详解】
解：A 、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
B 、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
C 、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
D 、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，
故答案为D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.
27．如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【解析】
【分析】
作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】
如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
BAO NBE
AOB BNE
AB BE
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE
，
在△BPF 与△NPE 中，
FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），
∴BP=NP=
12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12
×8=4， 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
28．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 相交于点O ，给出四个条件：①OB=OC ；②∠EBO=∠DCO ；③∠BEO=∠CDO ；④BE=CD ．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．6种
【答案】C
【解析】
【分析】 ①②：求出OBC=∠OCB ，推出∠ACB=∠ABC 即可的等腰三角形；①③：证
△EBO ≌△DCO ，得出∠EBO=∠DCO ，求出∠ACB=∠ABC 即可；②④：证
△EBO ≌△DCO ，推出OB=OC ，求出∠ABC=∠ACB 即可；③④：证△EBO ≌△DCO ，推出∠EBO=∠DCO ，OB=OC ，求出∠OBC=∠OCB ，推出∠ACB=∠ABC 即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ，
∵∠EBO=∠DCO ，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB ，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC OB OC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
29．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634
AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③⑤
C ．①②④⑤
D ．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；
643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；
如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，
∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，
∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO ′，
∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，
∴△OBO ′是等边三角形，
∴OO ′＝OB ＝4．
故结论②正确；
∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，
∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
23134464324
AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；
如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．
易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，
则231934363244
AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
30．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
试题解析：如图，
过E 作EQ ⊥AB 于Q ， ∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ， ∴CE=EQ ，
∵∠ACB=90°，AC=BC ， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵EQ ⊥AB ，
∴∠EQA=∠EQB=90°， 由勾股定理得：AC=AQ ， ∴∠QEB=45°=∠CBA ， ∴EQ=BQ ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE ， ∴③正确；
作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，
∵∠CAD=12
∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ， ∴∠DBC=∠CAD ， 在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BC
ACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ， ∴CN=CD ，AN=BD ， ∵∠ACN+∠NCE=90°， ∴∠NCB+∠BCD=90°， ∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ， ∴AN=CN ，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°， ∴CN=NE ，
∴CD=AN=EN=
12AE ， ∵AN=BD ，
∴BD=12
AE ， ∴①正确，②正确；
过D 作DH ⊥AB 于H ，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA ，
∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在△DCF 和△DBH 中
90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，
∴BH=CF ，
由勾股定理得：AF=AH ， ∴
2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF +++++++====， ∴AC+AB=2AF ，
AC+AB=2AC+2CF ，
AB-AC=2CF ，
∵AC=CB ，
∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．
故选D。