河南省2017-2018学年高二下学期九校联考数学(文)(含解析)

河南省2017-2018学年高二下学期九校联考
数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题得,所以复数z对应的点为（2，-1），所以复数z对应的点在第四象限.故选D.
2. 已知复数满足，其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设复数，由题得
所以复数z的虚部为故选D.
3. “对数函数是非奇非偶函数，是对数函数，因此是非奇非偶函数”，以上推理（）
A. 结论正确
B. 大前提错误
C. 小前提错误
D. 推理形式错误
【答案】C
【解析】本命题的小前提是是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为
不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如的才是对数函数.故选C.
4. 在利用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（）
A. 假设是有理数
B. 假设是有理数
C. 假设或是有理数
D. 假设是有理数
【答案】D
【解析】由于反证法假设时，是对整个命题的否定，所以命题“是无理数”是命题“是无理数”，即假设是有理数，故选D.
5. 若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】联立方程得消去y化简得，
由题得
故该椭圆离心率的取值范围是，故选B.
6. 已知，则是为纯虚数的（）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】先考虑充分性，当x+y=0时，不一定为纯虚数，因为x-y=0时，它是实数.所以是非充分条件.
再考虑必要性，当为纯虚数时，则有x+y=0且x-y≠0,所以必要性成立.
故选C.
7. 在平面几何里有射影定理：设三角形的两边，是点在边上的射影，则
.拓展到空间，在四面体中，平面，点是点在平面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知在平面几何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，
则AB2=BD•BC，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，
则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．
故选A．
点睛：类比推理在几何里面是有一般规律的. 由点类比到线，由线类比到面，由面类比到体，一步一步由低级向高级在转化.本题中，类比到空间，线段的关系就要类比到面积的关系,就是这个原理.
8. 下列说法正确的是（）
A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 函数的最小值为
D. 若，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】D
【解析】对于选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以选项A错误.
对于选项B，命题“，”的否定是“，”，所以选项B错误.
对于选项C，不能利用基本不等式求最小值，因为取等的条件不成立. 只能这样：设
所以函数在上是增函数，所以t=3时函数取最小值所以选项C错误.
对于选项D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分条件，所以
“”是“”的必要不充分条件，所以选项D正确.
故选D.
9. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得
故选A.........................
10. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得在区间上恒成立，所以，
设故选A.
11. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点M作抛物线准线的垂线，垂直为N，则=-1=|PA|+|PF|-1，当A,P,F三点共线时，|PA|+|PF|最小=|AF|=所以的最小值是
.故选B.
点睛：在圆锥曲线里面，我们只要看到焦半径就要联想到圆锥曲线的定义，看是否能够利用圆锥曲线的定义解题，这是一个基本的规律.本题就是利用了这个规律解题，看到点到准线的距离马上联想到转化成点到焦点的距离.
12. 已知函数的定义域为，是的导函数，且满足，则不等式
的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设
所以函数在上是减函数，因为，所以
（x+1），
故选B.
点睛：本题的关键是观察和联想.一是看到要联想到商的导数，从而构造函数.二是看到联想到前面的单调性，想到在不等式的两边同时乘以(x+1). 数学里的观察和联想是一种比较重要的能力，在平时的学习中要注意培养.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，则__________．
【答案】6
【解析】由题得，
所以故填6.
14. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的右支上，则__________．
【答案】
【解析】∵双曲线中，a=3，b=
∴c==4，
∴A、C恰好是双曲线的左右焦点，焦距|AC|=8
根据双曲线的定义，得||AB|﹣|CB||=2a=6，
∵顶点B在双曲线的右支上，
∴|AB|﹣|CB|=6，
△ABC中，根据正弦定理，得
故.
15. 给出下列说法：
①线性回归方程必过点；
②相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；
③相关指数越接近，表明回归的效果越好；
④在一个列联表中，由计算得的观测值，则有以上的把握认为这两个变量之间没有关系；
⑤设有一个线性回归方程，则变量增加一个单位时，平均增加个单位.
其中正确的说法有__________（填序号）．
【答案】①③
【解析】对于②，应该是相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱.所以它是错误的.对于④，应该是有以上的把握认为这两个变量之间有关系.对于⑤，应该是变量增加一个单位时，平均减少个单位.故填①③.
16. 观察下列的数表：
…… ……
设是该数表第行第列的数，则__________．
【答案】4980
【解析】第一行有1个偶数，第二行有2个偶数，第三行有个偶数，所以第行有个偶数，所以前n行共有个偶数，所以前n行最后一个偶数是
所以第10行最后一个是2046，第10行有512个偶数，所以2018在第498个，所以m=10,n=498,所以4980，故填4980.
点睛：本题归纳主要是先要发现第n行有个偶数，再就是要计算出前n行一共有个偶数，最后确定m和n就容易了.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列为公差不为零的等差数列，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）.（2）．
【解析】试题分析：
(1)由题意可得数列的公差为，则数列的通项公式是；
(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.
试题解析：
（1）设数列的公差为
由，且，，成等差数列，得，
即，
得，
得，解得或（舍去）.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以
.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 某机构为研究患肺癌是否与吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，但可以确定的是调查的不吸烟的人数与吸烟的人数相同，吸烟患肺癌的人数占吸烟总人数的，不吸烟的人数中，患肺癌的人数与不患肺癌的人数之比为.
（1）若吸烟不患肺癌的有人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行调查，求这人都是吸烟患肺癌的概率；
（2）若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少为多少？
附：，其中.
【答案】（1）．（2）20人．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先计算出吸烟患肺癌的有16人，吸烟不患肺癌的有4人，再利用古典概型的概率公式求出这人都是吸烟患肺癌的概率.(2)第（2）问，设吸烟的人数为，列出2×2列联表，再利用卡方公式计算求出x的范围，即得吸烟的人数至少为多少. 试题解析：
（1）设吸烟的人数为，依题意有，所以，吸烟的有20人，故吸烟患肺癌的有16人，吸烟不患肺癌的有4人．
由题意得不吸烟的有20人，其中不吸烟患肺癌的有4人，不吸烟不患肺癌的有16人．
用分层抽样的方法从患肺癌的人中抽取5人，则应从吸烟患肺癌的人中抽取4人，分别记为
，从不吸烟患肺癌的人中抽取1人，记为．
从这5人中随机抽取2人，所有可能的结果有共10种，
其中这2人都是吸烟患肺癌的结果共有6种，
所以这2人都是吸烟患肺癌的概率．（或）
（2）设吸烟的人数为，由题意可得列联表如下：
由表得，的观测值，
由题意得，解得，
因为为整数且为5的倍数，所以的最小值为20，即吸烟的人数至少有20人．
19. 设命题关于的不等式，；命题关于的一元二次方程
的一根大于零，另一根小于零；命题的解集. （1）若为值命题，为假命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.（2）．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先化简命题p、q和r，再由题得，一真一假，最后求出实数a的范围.(2)第（2）问，先写出和，再根据是的必要不充分条件列出不等式，即得实数的取值范围.
试题解析：
对于命题：，解得或，
对于命题：只需，解得，
对于命题：关于的不等式的解集为．
（1）若为真命题，为假命题，
则，一真一假，
当真假时，解得；
当假真时，解得，
综上可知，实数的取值范围是或.
（2）若是的必要不充分条件，则，所以，
所以或或，
所以解得．
综上，实数的取值范围是．
20. 已知圆的圆心为，，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线交曲线于，两点，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用定义法确定点P的轨迹是椭圆，再求椭圆的标准方程. (2)第（2）问，先求出关于直线斜率k的表达式，再求函数的取值范围.
试题解析：
（1）连结，由于是线段的垂直平分线，所以，
所以，所以点的轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，故其方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，，
，所以．
②当直线的斜率存在时，设：，代入消去得
，
设，则，
因为，
所以
因为，所以，所以，
综上可知，的取值范围是．
点睛：本题关键是第（2）问，首先要想到函数的思想，先求出关于直线斜率k的表
达式，再求函数的取值范围.函数的思想是高中数学里的一个重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.
21. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求切点坐标，最后写出切线的点斜式方程. (2)第（2）问，先求出的表达式
，再换元求函数的值域,即得的取值范围.
试题解析：
（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
则函数有两个极值点，等价于解得.
所以
令，则，
设，则，
所以在上单调递减，
又当时，，当时，，
所以的值域为
故的取值范围是．
点睛：本题的难点在第（2）问，首先要想到函数的思想，先求出的表达式
，再换元利用导数求函数的值域,即得的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且曲线，交于，
两点.
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）设点，求的值.
【答案】（1）；.（2）16．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用极坐标的公式求曲线，的直角坐标方程. (2)第（2）问，先写出直线的参数方程，再代入抛物线方程，利用直线参数方程t的几何意义求
的值.
试题解析：
（1）曲线的直角坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为.
（2）因为曲线的直角坐标方程为，
所以曲线的参数方程为为参数，
将其代入得，所以，所以．
23. 已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）．（2）．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用零点分类讨论法解绝对值不等式. (2)第（2）问，先化简，再分离参数得到对任意的恒成立，再求a的取值范围.
试题解析：
（1）当时，由可得，
所以当时，不等式转化为，无解，
当时，不等式转化为，解得，
当时，不等式转化为，解得，
综上可知，不等式的解集为．
（2）当时，恒成立，即，
故，即对任意的恒成立，
所以．。