2017年高考仿真卷

2017年高考仿真卷•理科数学试卷(五)含答案
2017高考仿真卷·理科数学(五)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的值为()
A.0
B.1
C.2
D.0或2
2.若复数是实数,则实数m=()
A. B.1 C. D.2
3.(3x-y)(x+2y)5的展开式中,x4y2的系数为()
A.110
B.120
C.130
D.150
4.利用随机数表法对一个容量为500,编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第4列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下图,读出的第3个数是()
A.584
B.114
C.311
D.146
5.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD 分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A',若四面体A'EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为()
A. B. C. D.
6.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为()
A.2
B.3
C.2
D.3
7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()
A.S≤?
B.S≤?
C.S≤?
D.S≤?
8.已知实数x,y满足则z=4x+6y+3的取值范围为()
A.[17,48]
B.[17,49]
C.[19,48]
D.[19,49]
9.已知等比数列{a n}各项为正数,a3,a5,-a4成等差数列.若S n为数列{a n}的前n项和,则=()
A.2
B.
C.
D.
10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为()
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.12
B.18
C.24
D.30
12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,则实数a的取值范围是()
A.[-3,-1]
B.[-2,0]
C.[-5,-1]
D.[-2,1]
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前40项和为.
14.若向量a,b满足:a=(-,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|=.
15.观察下列式子f1(x,y)=,f2(x,y)=,f3(x,y)=,f4(x,y)=,…,根据以上事实,由归纳推理可得,当n∈N*时,f n(x,y)=.
16.已知数列{a n}的通项公式为a n=-n+p,数列{b n}的通项公式为b n=3n-4,设C n=在数列{c n}中,c n>c4(n∈N*),则实数p的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)试求ω的值,并求出函数的单调增区间.
(2)先列表,再作出函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象.
18.
(本小题满分12分)M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”. (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?
(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的均值.
19.
(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠ABC=120°,P A=PD,E为PB的中点.
(1)证明:PD∥平面ACE;
(2)若点P在平面ABCD的射影在AD上,且BD与平面ACE所成的角为,求PB的长.
20.(本小题满分12分)已知A(0,1),B(0,-1)是椭圆+y2=1的两个顶点,过其右焦点F的直线l与椭圆交于C,D两点,与y轴交于P点(异于A,B两点),直线AC与直线BD交于Q点.
(1)当|CD|=时,求直线l的方程;
(2)求证:为定值.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知A(2,π),B,圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.点F为圆C上的任意一点.
(1)写出圆C的参数方程;
(2)求△ABF的面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|,
(1)解不等式f(x)<2;
(2)若∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学(五)
1.D解析当m=0时,显然满足集合{x|mx2-4x+2=0}有且只有一个元素,
当m≠0时,由集合{x|mx2-4x+2=0}有且只有一个元素,可得判别式Δ=16-8m=0,解得m=2, 所以实数m的值为0或2.故选D.
2.B解析i,
∵复数是实数,=0,解得m=1.故选B.
3.A解析因为(x+2y)5展开式的通项为T r+1=x5-r(2y)r,
故分别令r=2,r=1,可得(3x-y)(x+2y)5展开式中x4y2的项,
(3x-y)(x+2y)5展开式中x4y2的系数为322-2=110.故选A.
4.C解析最先读到的1个编号是238,向右读下一个数是977,977大于499,故舍去,
再下一个数是584,舍去,再下一个数是160,再下一个数是744,舍去,再下一个数是998,舍去,再下一个数是311.所以读出的第3个数是311.故选C.
5.B解析由题意可知△A'EF是等腰直角三角形,且A'D⊥平面A'EF.
三棱锥的底面A'EF扩展为边长为1的正方形,
然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球,
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为
所以球的半径为故选B.
6.A解析∵双曲线方程为x2-y2=1,
∴a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得|F1F2|=2
∵PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8.
又P为双曲线x2-y2=1上一点,
∴||PF1|-|PF2||=2a=2.
∴(|PF1|-|PF2|)2=4.
∴(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=12.
∴|PF1|+|PF2|的值为2故选A.
7.B解析模拟执行程序框图,k的值依次为0,2,4,6,8,
因此S=(此时k=6),可填S?.故选B.
8.B解析由z=4x+6y+3得y=-x+,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.
平移直线y=-x+,
由图象知当直线y=-x+经过点B时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大;
当直线y=-x+经过点A时,直线的截距最小,此时z最小.
由即B(4,5),此时z=4×4+6×5+3=49;
由即A(2,1),此时z=4×2+6×1+3=17.
因此17≤z≤49,
即z=4x+6y+3的取值范围为[17,49].故选B.
9.C解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0,q≠1),∵a3,a5,-a4成等差数列,∴2a1q4=a1q2-a1q3.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2+q-1=0,解得q=或q=-1(舍去).
=1+故选C.
10.B解析如图所示,在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,
由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-2×10×8=36,所以|AF|=6,∠BF A=90°.
设F'为椭圆的右焦点,连接BF', AF'.
根据对称性可得四边形AFBF'是矩形.
∴|BF'|=6,|FF'|=10.
∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5.
∴e=故选B.
11.C解析由三视图知该几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图所示.
三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,
所以几何体的体积V=3×4×5-3×4×3=30-6=24.故选C.
12.B解析由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)且在[1,+∞)上是增函数,可得出函数图象关于直线x=1对称,且函数在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察选项知1,0不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项.
当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)图象特征可得出|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x恒成立,由此排除A,C 两个选项.
当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)图象特征可得出|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x恒成立,由此排除D选项.综上可知,B选项是正确的.
13.3 240解析由a n+1+(-1)n a n=2n-1,
得a2k+1+a2k=4k-1,a2k-a2k-1=4k-3,a2k+2-a2k+1=4k+1,其中k∈N*.
可得a2k+1+a2k-1=2,a2k+a2k+2=8k,其中k∈N*.
故S40=2×20+8(1+3+…+39)=40+8=3 240.
14解析∵a=(-,1),∴|a|=2.
由(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,
得(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,
即|a|2+2a·b=0, ①
|b|2+a·b=0, ②
①-②×2得|a|2=2|b|2,则|b|=
15解析所给的函数式分子x的系数为奇数,而分母是由两部分的和组成,第一部分y的系数为3n,y的次数为n,第二部分为2n+2n-1,故f n(x,y)=
16.(4,7)解析∵a n-b n=-n+p-3n-4,∴a n-b n随着n变大而变小,
又a n=-n+p随着n变大而变小,b n=3n-4随着n变大而变大,
∴①若c4=a4,
则解得5≤p<7;
②若c4=b4,
则解得4<p<5.
综上,可知p的取值范围是(4,7).
17.解(1)∵点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴-=kπ,k∈Z.∴ω=-3k+,k∈Z.
∵0<ω<1,∴当k=0时,可得ω=
∴f(x)=2sin,令2kπ-<x+<2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,
∴函数的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π],
作图如下:
18.解(1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为,
根据茎叶图,有“甲部门”人选10人,“乙部门”人选10人,
所以选中的“甲部门”人选有10=4人,“乙部门”人选有10=4人,
用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”,则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”,则P(A)=1-P()=1-=1-
因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是
(2)依据题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=
因此,X的分布列如下:
所以X的均值E(X)=0+1+2+3
19.(1)证明连接BD交AC于点F,连接EF.
因为四边形ABCD是菱形,所以F是线段BD的中点.
因为E是线段PB的中点,所以EF∥PD.
因为PD⊄平面ACE,EF⊂平面ACE,所以PD∥平面ACE.
(2)解设AD中点为O,连接PO.
因为P A=PD,所以PO⊥AD.
因为点P在平面ABCD的射影在AD上,
所以PO⊥平面ABCD.
因为菱形ABCD中,∠ABC=120°,
所以△ABD为等边三角形.
所以BO⊥AD.
以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设OP=λ(λ>0),
则A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),E=(-1,-,0),=(-3,,0),
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),
则
可取n=,
所以cos<,n>=
因为BD与平面ACE所成角为,
所以sin=|cos<,n>|,
即,解得λ=
所以PB=
20.(1)解∵由题设条件可知,直线l的斜率一定存在,F(1,0),
设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0且k≠±1).
由消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
∴|CD|=
由已知,得,
解得k=±
故直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1),
即x-y-1=0或x+y-1=0.
(2)证明由C(x1,y1),D(x2,y2),A(0,1),B(0,-1),得直线AC的方程为y=x+1,直线BD的方程为y=x-1,
联立两条直线方程并消去x,得,
∴y Q=
由(1),知y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,
∴x1y2+x2y1+x1-x2=kx1(x2-1)+kx2(x1-1)+x1-x2
=2kx1x2-k(x1+x2)+x1-x2
=2k-k+x1-x2
=-+x1-x2,
x1y2-x2y1+x1+x2
=kx1(x2-1)-kx2(x1-1)+x1+x2
=k(x2-x1)+x1+x2=k(x2-x1)+=-k
∴y Q=-,则Q
又P(0,-k),=(0,-k)=1.
故为定值.
21.(1)证明f'(x)=m(e mx-1)+2x.
若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0,f'(x)>0.
若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0,f'(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.
所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是
即①
设函数g(t)=e t-t-e+1,
则g'(t)=e t-1.
当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.
当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;
当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.
综上,m的取值范围是[-1,1].
22.解(1)圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0,化为直角坐标方程为x2+y2-6x+8y+21=0,
配方为(x-3)2+(y+4)2=4,可得圆心C(3,-4),r=2.
故圆C的参数方程为(α为参数).
(2)A(2,π),B,分别化为直角坐标为A(-2,0),B(0,2).
可得|AB|=2,直线AB的方程为=1,即x-y+2=0.
因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时,△ABF的面积取得最大值.
求出圆心C到直线AB的距离d=
所以△ABF的面积的最大值S=2=9+2
23.解(1)当x≥2时,f(x)=x-2-x-1=-3<2,成立,
当-1<x<2时,f(x)=2-x-x-1=1-2x<2,解得-<x<2,
当x≤-1时,f(x)=2-x+x+1=3<2不成立.
故原不等式的解集是
(2)f(x)=
故f(x)的最小值是-3.
若∀x∈R,使得f(x)≥t2-t恒成立,
即有f(x)min≥t2-t,
即有t2-t≤-3,解得t≤2.
故实数t的取值范围为。