第五章 裂项综合(讲义)

第五章 裂项综合（讲义）
➢ 知识点睛
1. 整数裂项
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。

如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。

而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。

通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

现举例说明：
例如：
109433221⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯
()3121032121⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯
()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯
()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯
……
那么，原式()31109811109321432210321⨯
⨯⨯-⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= ()31
21011109⨯
⨯⨯-⨯⨯= 330
= 因此可以得知：
()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+L 2. 分数裂项
(1) “裂差”型运算
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b =-⨯- (2) “裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯
➢ 精讲精练
【板块一】整数裂项初步
经典例题1
观察下列规律，在括号内填入适当的数，使下述三个式子“左边相加=右边相加”。

（1）()()[]2103213
121⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ （2）()()[]32323
132⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ （3）()()[]43433
143⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯
算一算：87766554433221⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
练一练
计算：122334989999100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L
经典例题2
计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
（2）355717191921⨯+⨯++⨯+⨯L
（3）7169706864534231⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ
练一练
计算：25+588113235⨯⨯+⨯++⨯L
【板块二】分数裂项综合
经典例题3
（1）
11111223341920
++++⨯⨯⨯⨯L
（2）11111111612203042567290
+
++++++
（3）15111929415571891092612203042567290110++
+++++++
练一练 11111011111212135960
++++⨯⨯⨯⨯L
经典例题4
（1）
3245671 255771111161622222929 ++++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（2）11111 4464880120 ++++
⨯
（3）264264264264264 488121216124128128132 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
L
【板块三】整数裂项进阶
经典例题5
(1)观察下列规律，在括号内填入适当的数。

4
132104321321⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯）（ []4
1）（）（）（）（）（）（）（）（432⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ ）
（）（）54326543（543⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯
（2）计算：12323434591011101112⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L
经典例题6
计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L
练一练
计算：123234345131415+141516⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⨯⨯L
经典例题7
计算：12+3456789798⨯⨯+⨯+⨯++⨯L
经典例题8
计算：13573579579119799101103⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L
【参考答案】
【板块一】整数裂项初步
经典例题1：（2）4、1
（3）5、2
算一算：168
练一练：333300
经典例题2：（1）720
（2）1527
（3）116725
练一练：4730
【板块二】分数裂项综合
经典例题3：（1）20
19 （2）5
2
（3）111
9
练一练：121
经典例题4：（1）21
（2）31
（3）16
【板块三】整数裂项进阶
经典例题5：（1）2×3×4×5-1×2×3×4、
41 （2）4290
经典例题6：19503
练一练：14280
经典例题7：159250
经典例题8：1048950105。