安徽省亳州市2018届高三数学上学期期末考试质量检测试题 文(含解析)
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【答案】（1）见解析（2）
..................
试题解析：
（1）当 时， ，当 时， 显然成立；
当 时， ；
令 ， ，则 ，
可得 ， ， 减； ， ， 增；
故 时， ，
综上，任意 都有 ，得证.
（2）函数定义域为 ，令 ，若 有两个极值点，则 有两个变号零点，且 ，
当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单增， 至多有一个零点，此时 不存在两个极值点；
所以 平面
又因为 平面 ，平面 平面
所以 .
19.某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为 ，据此制作的频率分布直方图如图所示.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用直方图估算花卉植株高度的中位数；
（3）若样本容量为32，现准备从高度在 的植株中继续抽取2颗做进一步调查，求抽取植株来自同一组的概率.
当 时，令 ，可得 ，且 ，
，即函数 在 单减，在 单增，
若条件成立，则必有 ，此时 ，
下证： 时，函数 有两个零点
由于 ，故 ，即 在 有唯一零点，记为 ；
易得 时， ，且 ，
令 ，则 ，由（1）可得大于0恒成立，从而 ，
即 ，故 在 有唯一零点，记为 ，
从而， ， ； ， ； ，
综上，函数 有两个极值点时， .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ，
所以添加条件为 ，故选C。
9.已知某五面体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为直角梯形，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】 ，故选A。
10.设 为正实数，且满足 ，下列说法正确的是（）
2.已知为虚数单位，复数满足 ，则复数在复平面内对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】 ，所以在第三象限，故选C。
3.在边长为2的正方形中随机取一点，则该点来自正方形的内切圆及其内部的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选D。
4.平面向量 满足 ， ， ，下列说法正确的是（）
故 的面积的最大值为 .
点睛：本题考查解三角形。本题中由条件可知，首先利用正弦定理边化角，得到角C。求面积的最值一般的，利用余弦定理得到边的关系，再利用基本不等式解决最值问题。也可以利用正弦定理转化为角进行求解最值。
18.如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 直线，求证：直线 .
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
当 时， ，令 ，
则 ，所以 在 单调递减，且 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，且 ，
所以 在 单调递减， 单调递增， ，
所以得到大致图象如下：
由图知，若有三个零点，则 ，且 ，得取值范围是 ，
故选A。
点睛：本题考查导数的应用。在含参的零点个数问题中，我们常用方法是分参，利用数形结合的方法，转化为两函数图象的交点个数问题。具体函数通过求导，判断单调性，得到函数的大致图象，解得答案。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知， ，
，故选B。
7.在三棱锥 中， ，则点 在平面 的射影一定在（）
A. 边的中线上B. 边的高线上
C. 边的中垂线上D. 的平分线上
【答案】C
【解析】由 可知，它们的投影长度相等，则点 的投影是底面的外心，即在 边的中垂线上，故选C。
8.执行如图的程序框图，若输出的 ，则图中①处可填的条件是（）
亳州市2017-2018学年度第一学期期末高三质量检测
数学试卷（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则下图阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，所以阴影部分为 ，故选C。
A. 的最大值为 B. 的最小值为2
C. 的最小值为4D. 的最大值为
【答案】B
【解析】 ，
，得 ，
故选B。
点睛：本题考查基本不等式的应用。求 的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则 ；求 的最值，是基本不等式的公式直接应用，得 。
11.已知双曲线 过点 ，过左焦点 的直线与双曲线的左支交于 两点，右焦点为 ，若 ，且 ，则 的面积为（）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 （为参数， ）.
（1）求曲线 的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若曲线 上的动点 到直线的最大距离为 ，求 的值.
试题解析：
（1）由条件易知 在抛物线 上， ，
故 ，即抛物线的方程为 ；
（2）易知直线斜率必存在，设 ， ， ，
①，
联立 得 即 ，
由 得 ，
且 ②， ③，
由①②③得 ，即直线 .
21.已知函数 ，其中为自然对数的底数.
（1）求证：当 时，对任意 都有 ；
（2）若函数 有两个极值点，求实数的取值范围.
高度在 的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 .
20.已知抛物线 的焦点为 ，点 满足 .
（1）求抛物线的方程；
（2）过点 的直线交抛物线于点 ，当 时，求直线的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）利用抛物线的几何定义，得 ；（2）设 ，联立 ，当 时，得 ，即直线 。
15.若函数 是偶函数，则 __________．
【答案】
【解析】由题可知，有 ，则 ，得 。
16.已知正项数列 的前 项和为 ，且 为 和 的等差中项，则 __________．
【答案】
【解析】 ，则由公式 可知， ，
，又 ，得 ，则 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在 中，内角 所对的边为 ，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得 ；（2）由余弦定理和基本不等式得 ，所以面积的最大值为 。
试题解析：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）由正弦定理和 可得：
因为 为三角形内角，故 ， ，
∵ ，∴
（2）由条件， ，故 ，即 ，
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由题证明 ， ，所以 平面 ，故 ；（2） 平面 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
试题解析：
（1）证明：取线段 的中点 ，连接
在直角梯形 中，由条件易得 ，
又因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 平面 ，且
所以 平面 ，故
（2）解：由条件可知在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，
A.16B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ，所以 ，设 ，则 ，
所以 是以 为直角的等腰直角三角形，
则 ，则 ，故选A。
点睛：本题考查双曲线的几何性质。本题中，由双曲线的几何性质， ，
设 ，则 ，通过示意图我们可知 是以 为直角的等腰直角三角形，利用几何方法解题即可。
12.已知函数 ，若 有三个零点，则实数的取值范围是（）
【答案】（1） ，直线的普通方程为： （2）
【解析】试题分析：（1）因为 ， ，故可得曲线 ，直线的普通方程为： ；（2）由点到直线的距离公式可得： ， .
试题解析：
（1）由 得 ，
因为 ， ，故可得曲线 ，
由 消去参数可得直线的普通方程为： ；
（2）由（1）可得曲线 的参数方程为： （ 为参数），
试题解析：
（1） 时， ，
故 ，即不等式 的解集是 ；
（2） 时， ，
当 时， ，显然满足条件，此时为任意值；
当 时， ；
当 时，可得 或 ，求得 ；
综上， .
点睛：本题考查绝对值不等式问题。解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，得到分段函数 ，再分别解不等式即可。绝对值问题的核心就是去绝对值。
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
由图可知，过点 时， 的最小值为1.
14.与双曲线 共焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】 ，且 ，所以 ，所以椭圆方程为 。
【答案】（1）0.0625（2）26（3）
【解析】试题分析：（1） ；（2）中位数估计为： ；（3）高度在 的植株个数为 ，高度在 的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 。
试题解析：
（1）由条件， ；
（2）由于 ，故中位数估计为： ；
（3）由样本容量为32可知，高度在 的植株个数为： ，
由点到直线的距离公式可得：
据条件可知 ，由于 ，分如下情况：
① 时，由 得 ；
② 时，由 得 ；
综上， .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ，其中为实数.
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1） ，解得解集是 ；（2）去绝对值分类得 。
A. B.与 同向
C.与 反向D.与 夹角为
【答案】B
【解析】 ，得 ，所以 ，则 同向，故选B。
5.已知等比数列 满足 ， ，则 （）
A.-48B.48C.48或-6D.-48或6
【答案】D
【解析】由题意， ，得 或1，
当 时， ，
当 时， ，
故选D。
6.平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，则 （）
..................
试题解析：
（1）当 时， ，当 时， 显然成立；
当 时， ；
令 ， ，则 ，
可得 ， ， 减； ， ， 增；
故 时， ，
综上，任意 都有 ，得证.
（2）函数定义域为 ，令 ，若 有两个极值点，则 有两个变号零点，且 ，
当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单增， 至多有一个零点，此时 不存在两个极值点；
所以 平面
又因为 平面 ，平面 平面
所以 .
19.某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为 ，据此制作的频率分布直方图如图所示.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用直方图估算花卉植株高度的中位数；
（3）若样本容量为32，现准备从高度在 的植株中继续抽取2颗做进一步调查，求抽取植株来自同一组的概率.
当 时，令 ，可得 ，且 ，
，即函数 在 单减，在 单增，
若条件成立，则必有 ，此时 ，
下证： 时，函数 有两个零点
由于 ，故 ，即 在 有唯一零点，记为 ；
易得 时， ，且 ，
令 ，则 ，由（1）可得大于0恒成立，从而 ，
即 ，故 在 有唯一零点，记为 ，
从而， ， ； ， ； ，
综上，函数 有两个极值点时， .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ，
所以添加条件为 ，故选C。
9.已知某五面体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为直角梯形，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】 ，故选A。
10.设 为正实数，且满足 ，下列说法正确的是（）
2.已知为虚数单位，复数满足 ，则复数在复平面内对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】 ，所以在第三象限，故选C。
3.在边长为2的正方形中随机取一点，则该点来自正方形的内切圆及其内部的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选D。
4.平面向量 满足 ， ， ，下列说法正确的是（）
故 的面积的最大值为 .
点睛：本题考查解三角形。本题中由条件可知，首先利用正弦定理边化角，得到角C。求面积的最值一般的，利用余弦定理得到边的关系，再利用基本不等式解决最值问题。也可以利用正弦定理转化为角进行求解最值。
18.如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 直线，求证：直线 .
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
当 时， ，令 ，
则 ，所以 在 单调递减，且 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，且 ，
所以 在 单调递减， 单调递增， ，
所以得到大致图象如下：
由图知，若有三个零点，则 ，且 ，得取值范围是 ，
故选A。
点睛：本题考查导数的应用。在含参的零点个数问题中，我们常用方法是分参，利用数形结合的方法，转化为两函数图象的交点个数问题。具体函数通过求导，判断单调性，得到函数的大致图象，解得答案。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知， ，
，故选B。
7.在三棱锥 中， ，则点 在平面 的射影一定在（）
A. 边的中线上B. 边的高线上
C. 边的中垂线上D. 的平分线上
【答案】C
【解析】由 可知，它们的投影长度相等，则点 的投影是底面的外心，即在 边的中垂线上，故选C。
8.执行如图的程序框图，若输出的 ，则图中①处可填的条件是（）
亳州市2017-2018学年度第一学期期末高三质量检测
数学试卷（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则下图阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，所以阴影部分为 ，故选C。
A. 的最大值为 B. 的最小值为2
C. 的最小值为4D. 的最大值为
【答案】B
【解析】 ，
，得 ，
故选B。
点睛：本题考查基本不等式的应用。求 的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则 ；求 的最值，是基本不等式的公式直接应用，得 。
11.已知双曲线 过点 ，过左焦点 的直线与双曲线的左支交于 两点，右焦点为 ，若 ，且 ，则 的面积为（）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 （为参数， ）.
（1）求曲线 的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若曲线 上的动点 到直线的最大距离为 ，求 的值.
试题解析：
（1）由条件易知 在抛物线 上， ，
故 ，即抛物线的方程为 ；
（2）易知直线斜率必存在，设 ， ， ，
①，
联立 得 即 ，
由 得 ，
且 ②， ③，
由①②③得 ，即直线 .
21.已知函数 ，其中为自然对数的底数.
（1）求证：当 时，对任意 都有 ；
（2）若函数 有两个极值点，求实数的取值范围.
高度在 的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 .
20.已知抛物线 的焦点为 ，点 满足 .
（1）求抛物线的方程；
（2）过点 的直线交抛物线于点 ，当 时，求直线的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）利用抛物线的几何定义，得 ；（2）设 ，联立 ，当 时，得 ，即直线 。
15.若函数 是偶函数，则 __________．
【答案】
【解析】由题可知，有 ，则 ，得 。
16.已知正项数列 的前 项和为 ，且 为 和 的等差中项，则 __________．
【答案】
【解析】 ，则由公式 可知， ，
，又 ，得 ，则 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在 中，内角 所对的边为 ，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得 ；（2）由余弦定理和基本不等式得 ，所以面积的最大值为 。
试题解析：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）由正弦定理和 可得：
因为 为三角形内角，故 ， ，
∵ ，∴
（2）由条件， ，故 ，即 ，
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由题证明 ， ，所以 平面 ，故 ；（2） 平面 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
试题解析：
（1）证明：取线段 的中点 ，连接
在直角梯形 中，由条件易得 ，
又因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 平面 ，且
所以 平面 ，故
（2）解：由条件可知在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，
A.16B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ，所以 ，设 ，则 ，
所以 是以 为直角的等腰直角三角形，
则 ，则 ，故选A。
点睛：本题考查双曲线的几何性质。本题中，由双曲线的几何性质， ，
设 ，则 ，通过示意图我们可知 是以 为直角的等腰直角三角形，利用几何方法解题即可。
12.已知函数 ，若 有三个零点，则实数的取值范围是（）
【答案】（1） ，直线的普通方程为： （2）
【解析】试题分析：（1）因为 ， ，故可得曲线 ，直线的普通方程为： ；（2）由点到直线的距离公式可得： ， .
试题解析：
（1）由 得 ，
因为 ， ，故可得曲线 ，
由 消去参数可得直线的普通方程为： ；
（2）由（1）可得曲线 的参数方程为： （ 为参数），
试题解析：
（1） 时， ，
故 ，即不等式 的解集是 ；
（2） 时， ，
当 时， ，显然满足条件，此时为任意值；
当 时， ；
当 时，可得 或 ，求得 ；
综上， .
点睛：本题考查绝对值不等式问题。解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，得到分段函数 ，再分别解不等式即可。绝对值问题的核心就是去绝对值。
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
由图可知，过点 时， 的最小值为1.
14.与双曲线 共焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】 ，且 ，所以 ，所以椭圆方程为 。
【答案】（1）0.0625（2）26（3）
【解析】试题分析：（1） ；（2）中位数估计为： ；（3）高度在 的植株个数为 ，高度在 的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 。
试题解析：
（1）由条件， ；
（2）由于 ，故中位数估计为： ；
（3）由样本容量为32可知，高度在 的植株个数为： ，
由点到直线的距离公式可得：
据条件可知 ，由于 ，分如下情况：
① 时，由 得 ；
② 时，由 得 ；
综上， .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ，其中为实数.
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1） ，解得解集是 ；（2）去绝对值分类得 。
A. B.与 同向
C.与 反向D.与 夹角为
【答案】B
【解析】 ，得 ，所以 ，则 同向，故选B。
5.已知等比数列 满足 ， ，则 （）
A.-48B.48C.48或-6D.-48或6
【答案】D
【解析】由题意， ，得 或1，
当 时， ，
当 时， ，
故选D。
6.平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，则 （）