第七章 系统的状态变量分析法

1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
c
R L
i
1 L
us
(2)选i(t),q(t) i(t)dt作为状态变量
dq dt
i(t)
di
dt
q LC
uc
R L
i
1 L
us
i(t)
RL c u(c)
选x1 Li R idt, x2 idt
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
输出方程: y1(t) R1[ f1(t) x1 (t)] y2 (t) x2 (t) f2 (t)
y1(t) y2 (t)
0
R1
0 1
x1 (t )
x2
(t
)
R1 0
0 f1(t)
dx1 dt
us
1 c
x2
dx2
dt
1 L
x1
R L
x2
上例说明:
状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体系统
而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的.
一般电网络的状态变量：线性定常网络选------ uc , iL
非线性时变网络选------ qc , L
网络的状态变量的个数:
常态网络:变量个数n = 储能元件数 nt
故x1
'
(t
)
R1 L
x1(t)
1 L
x2 (t)
R1 L
f1(t)
x1'(t) x2 '(t)
1 C
R1 L
1 L 1
R2C
x1 (t ) x2 (t)
R1
L
0
0 1
f1 (t ) f2 (t)
R2C
•
X AX BF
一阶矢量微分方程
单树支割集
单连支 回路
a1
b1
q
x1(t)
b0
yt
解：由框图，求H ( S ) q'' e( t ) a1q'a0q y q' b1 qb0
a0
q''a1q'a0q e( t )
知输入－输出方程为 y''a1 y'a0 y b1e' ( t ) b0e( t ) H ( s ) Y ( s ) b1s b0 E( s ) s 2 a1s a0
有l个激励源e1, e2 el
有m个输出y1, y2 ym
x1' a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1l e1
x2
'
a21
a22
a2
n
x2
b21
b22
b2l
e2
x3
'
x3
e3
xn ' an1 an2 ann xn bn1 bn2 bnl el
•
X AX BF
Y CX DF
由H ( s )写状态方程的规律： A矩阵：n n.第n行的元素即为 H ( s )分母多项式的系数
a0 ,a1 an1的负值，其它各行除对 角线右边 的元素为1外，其余均为 0。 B矩阵：n 1.最后一行为1，其余均为 0。
C矩阵：1 n.前m＋1个元素即为H ( s )分子多项式的系数 b0 ,b1bm的值，其n m 1个元素均为0。
n 1
nn
n 1
nl
l 1
状态方程的一般形式
•
X AX Be
y1 c11
y2
c21
y3
yn cm1
c12 c1n x1 d11
c22
c2n
x2
d21
x3
cm2 cmn xn dm1
d12 d1l e1
d 22
d2l
e2
e3
dm2 dml el
y( t ) [ b0 a0b3
b1 a1b3
x1( t )
b2
a2b3
]
x2
(
t
)
b3e(
t
)
x3( t ) D矩阵不为零
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3 (s)
1 sq (s) s x2 (s)
b2
1 q(s) s x1(s)
b1 b0
y s
a2
a1
W s
1
s2
X 3s
X 2 s
5 s 10
X1s ys
1 s 1
解：X1(
s
)
s
5 10
X2(
s
)
SX1(
s
)
10X1(
s
)
5X2(
s
)
X3(
s
)
s
1 1
X1(
s
)
SX 3 (
s
)
的各个分量。
二.状态方程和输出方程
状态方程:描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程 组称为状态方程. 其中方程组左边是状态变量的一阶导数,右边是只包含 系统参数,状态变量和激励的一般函数表达式,其中没有 变量的微分和积分运算.
例2:列出图示电路的状态方程和输出方程, y1(t), y2 (t)为响应变量.
a1 a0
y(t)
取每一积分器的输出作为状态变量
bm b1
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
x1' ( t ) x2
x2' ( t ) x3
an1 an2
am
a1 a0
xn1' ( t ) xn xn' ( t ) an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e y b0 x1 b1x2 bm xm1
病态网络: n nt (nc nL ) nc: 纯电容回路数 nL : 纯电感割集数.
x
状态轨迹
z
X (t1) X (t2 )
y
状态向量(矢量)
X (t) [x1(t) x2 (t) xk (t)]T
状态矢量可以用多维空间中的点 来表示,这个多维空间称为状态空间
k 状态矢量：能完全描述一个系统行为的 个状态变量，可以看作矢量 X (t)
a0
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2(s)
b2
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
例3：如图以 x1( t ), x2( t ), x3( t )为状态变量，以 y( t )为响应，写状态方程和 输出方程。
F s
y(t)
x1 ' 0 1
x2
'
0
0
x3
'
0 0
xn ' a0 a1
0 0 1 0
0 0 a2 an2
0 x1 0
0
x2
0
x3
0 e(t
)
1
an1 xn 1
x1
x2
y [b0
b1
b2
bm
0
0]x3
xn
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
离散时间系统状态方程的时域求解一般离散时间系统的状态方程表示为等于012等依次代入上式有零输入解零状态解零输入解零状态解一般离散时间系统的状态方程和输出方程表示为两边取z变换整理得到取其逆变换即得时域表达式为零输入解零状态解取其逆变换即得时域表达式为与时域解比较零输入解零状态解例76某离散时间系统的状态方程和输出方程分别为
x2'
(
t
)
0
0
1
x2
(
t
)
0e(
t
)
x3' ( t ) a0 a1 a2 x3( t ) 1
y( s ) b3sx3( s ) b2 x3( s ) b1x2 ( s ) b0 x1( s )
y( t ) b3 [ a0x1( t ) a1x2( t ) a2x3( t )] b3e( t ) b2x3( t ) b1x2( t ) b0x1( t )
y b0x1 b1x2 bn1xn bn( an1xn an2xn1 a1x2 a0x1 e )
y t b0 bna0 b1 bna1
x1 t
x2
t
bn1 bnan1
bne
t
xn1
t
xn t
m n ，D矩阵不为零。实际的系统，大多数属于 m n 的情况。
m1
mn
n 1
ml
l 1
输出方程的一般形式 Y CX De
二．由电路图直接列写状态方程(参看上节例1、例2）
1. 状态变量的选取 2. 状态方程的建立
三．由系统的输入－输出方程或模拟图列写状态方程
由于状态方程更便于用计算机进行计算，有时就会要求从输入－输出方程 去写出状态方程。
由输入－输出方程求状态方程
D矩阵为0。
若 m n ,乘法器 bm 的输入将为 xn t ，这时输出方程为
x1' ( t ) x2 x2' ( t ) x3 xn1' ( t ) xn xn' ( t ) an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e y b0 x1 b1x2 bn1xn bn x'n y b0 x1 b1x2 bn1xn bn ( an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e )
状态变量法: 时域法, N维矢量的一阶微分方程求解, 便于计算机求解. 优点：适合于分析多输入-输出系统,或非线性,时变系统
系统的状态变量描述
一.状态,状态变量 例如:质点作直线运动,任一时刻的状态由v(t)和 s(t)确定.
v(t ) s (t )
已知质点在每一个时刻的位置s(t)和速度v(t) 则质点在任一时刻 的状态就确定了. 因为位置相同,速度不同,代表的运动状况不一样. 状态:是指系统过去,现在和将来的状况. 状态变量:描述系统内部状态所需用的最少一组变量.
第七章 系统的状态变量分析法
Chapter9
本章要点
F 状态变量与状态方程 F 连续时间系统状态方程的建立 F 连续时间系统状态方程的求解 F 离散时间系统状态方程的建立 F 离散时间系统状态方程的求解
7.1 状态变量与状态方程
系统分析的方法: 经典法: 时域法,求解微分方程困难.
拉氏变换法: 变换域法,微分方程变为代数方程. 缺点(1)只适合于线性定常系统 (2)H(S)只适合于单输入单输出系统 (3)很多情况下要求系统的某种性能是最优的， 此法无效.
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
x1 (t )
y2 (t)
单树支割集
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
解: 选一特有树 树支:电压源,电容，电阻。
单连支回路
连支:电流源,电感，电阻。
选x1(t), x2 (t)为状态变量 . x1(t) iL (t), x2 (t) uc (t)
列单树支割集KCL得
cx2 ' (t )
x1(t)
1 R2
y2 (t )
x1(t)
1 R2
[x2(t)
f 2 (t )]
x1(t)
1 R2
x2(t)
1 R2
f 2 (t )
x1 (t )
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
列单连支回路 KVL得 : x2 (t) Lx1'(t) y1(t) R1[ f1(t) x1(t)]
对应H ( s )为
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
当m n时
状态变量选择各辅助函数q离连散续时时间间系系统统选选移积位分器器输输出出
bm
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
an1
an2
am
b1
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
x1' ( t x2' ( t
) )
0
a0
1 a1
x1( t x2( t
) )
0
1
e(
t
)
y( t ) [b0
b1
]
x1( t x2( t
) )
2. 由H(s)或微分方程直接写出状态方程
一个n阶系统：（pn an1 pn 1 a1 p a0 )y( t ) ( bm pm bm1 pm 1 b1 p b0 )e( t )
y(t) b0x1(t) b1x2(t)
y"(t) a1 y' (t) a0 y(t) b1e' (t) b0e(t)
x1'(t) x2'(t)
0
a0
1 a1
x1(t) x2(t)
0
1
e(t)
y(t) [b0 b1]xx12((tt))
et
q' '
x2 '(t)
q'
x2 (t)