矩阵论-线性变换和矩阵

,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=否存在依赖于V所在的数域F，
如矩阵
0 1
01的特征多项式为f ()
1
1 2 1.
注2 :当dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.
注3 : E(i ) {X F n | (iI-A) X 0} N (iI-A)(解空间).由 亏加秩定理有r(iI-A) dim N (iI-A) n, 所以E(i )的维数为 dim E(i ) n r(iI-A) 称为i的几何重数.
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
2)f保持线性运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
注1: 若对L(V,V)引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成 (连续作用):(T1T2 )x T1(T2 x),则有L(V,V)与Fnn作为F上的环 (或代数)同构, 从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了 其全部信息.
设A的所有相异的特征值为1, , r , i的重数为ni ,即 f() ( 1)n1 ( 2 )n2 ( r )nr ,
r
这里, ni =n. 则A的最小多项式为 i 1
m A() ( 1)m1 ( 2 )m2 ( r )mr ,
其中1 mi ni (1 i r).
特别地，当f( )无重根时，f( )=m A( ).
.
yn
xn
例：设 R3中的线性映射 T将基1 (1,1,1)T , 2 (0,2,1)T ,3 (1，0,1)T 变为基1 (1,1，0)T , 2 (0,1，1)T , 3 (0,3， 2)T .
求(1)T
在基
1,
2
,
下的矩阵表示
3
A;
(2)向量
(1,2,3)
T
及T(
)基1
注：同样的可定义变换T的最小多项式m T( ).因为 ( A) 0 (T ) 0,我们有mT()=mA().
定理10 : 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
定理6 : 相似矩阵有相同的特征多项式及特征值，反之不然.
设P -1AP=B, 则
|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P| =|P-1 || (I-A)||P|= | (I-A)|.
反例:A=
1 0
1 1
1 ,
I2
0
0 1
,
A与I2的特征多项式均为(
1)2
,
但它们不相似.
注1: 定理表明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取
推论：L(V,V)与Fn ×n之间存在一一对应关系.
命题：L(V) = L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的 运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,T1,T2 L(V ,V );
(T )x Tx, F, x V.
易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变 换空间，
同构：设V,W是F的线性空间，若存在f：V W,满足： 1)f是一一到上(双射)的映射,
3)对A的每个特征值i，解齐次线性方程组(i I A)X=0, 求出它的一组基础解系1, ,t ,则A的属于i的全部特征 向量为k11 k22 ktt ,i F n , ki不全为零.
注:T的属于i的特征向量为i (e1, , en )i (1 i t), 从属于i而全部特征向量为k11 k22 ktt .ki不全
故f (A)=0.
注1: 由于L(V,V) Fnn ,故对于线性变换T有平行的结果 :
T L(V,V),且f ()为T的特征多项式，则f (T)为零变换.
注2: Cayley定理对于一般数域F的矩阵也成立.
由Cayley定理可知，任取矩阵A，必有可使其零化的 多项式，引入:
定义 : 设A Fnn ,使A零化的最小次数的首1多项式称为
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且
dimN(T)+dimR(T)= dimV 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1, Tej a1 je1 anjen ,1 j n,
3) A的属于0的全部特征向量再添上零向量就构成
了Fn的一个线性子空间，称为A的一个特征子空间，
记为E(0 ),它就是齐次线性方程组(0I A)X=0的
解空间.
求矩阵A的全部特征值及特征向量的步骤：
1)计算行列式|I-A|; 2)求出多项式f( )=| I-A|在数域F中的全部根
(即A的特征值);
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
Tx=T(
x1
,
x2
)
(
x1
,
x2
)
sin
sin
cos
.
例4 平面反射变换T：R2 R2，x (x1, x2 ) R2，有 Tx=T(x1, x2 ) (x1, -x2 ).
第二节 线性变换和矩阵
一、定义
设V,W是域F上的线性空间，映射T：V W有
以下性质：， F，x, y V，有T( x y) Tx Ty, 称T为V到W的一个线性映射.特别
当V=W时，T为V到自身的线性映射，称T为V上 的线性变换.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵.
如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dimV n, e1, , en为V的一组基，任取 A=(aij )nn F nn ,则有且仅有一个线性变换T L(V ,V ), 使其矩阵恰为A.
设T =0 ( ), =(e1, , en ) , F n,则
T =T(e1, , en ) =(e1, , en )A =0 =0 (e1, , en ),
所以A =0 ,即 (0I-A) =0, 0，(*)
从而|0I-A|=0.故引入下列定义:
定义 : 设A=(aij )nn F nn , 为一参量, A的特征矩阵I-A
Schur引理：
定理7 : 任意的A Cnn ,都相似于一个上三角阵，即存在 满秩阵P, 使P1AP为上三角阵，其对角上元为A的全部特 征值.
推论 设A的n个特征值为1, , n ,(x)为任一多项式， 则矩阵多项式(A)的n个特征值为(1), ,(n ).
特别的,kA的特征值为k1, , kn , Am特征值为1m , , nm.
求D在基1, x,, xn与基1, x,, xn1下的矩阵表示 .
例：设线性映射T：R3 R 2在基1 (1,1,1)T , 2 (1,0,1)T ,3 (0,1,1)T 与基1 (1,1)T , 2 (0,2)T
的矩阵表示为
A 10
1 1
21.
求(1)T的核子空间N(T )的基与维数. (2)T的值域R(T )的基与维数.
例5 投影变换T：R3 R3，(x, y, z) R3，有 T(x, y, z) (x, y,0).
例6 微分算子和积分算子.
S : C[a,b] C[a,b],
x
S( f (x)) f (t)dt,f (x) C[a,b].
0
D : C(1)[a,b] C[a,b],
D( f (x)) f '(x), f (x) C (1)[a,b].
二、核、像空间，亏加秩定理
设V,W为F上线性空间,令L(V,W)表示所有V到W的线性 映射的集合，设T L(V,W),令
N (T ) {x V | Tx },
R(T ) Im(T ) {y W | y Tx,x V}.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
A的最小多项式，记为 mA(). 注：m A ( )是唯一的, 且可整除任一A的零化多项式.特别 地，有 mA()|f () | I A | .
定理9 : A的特征多项式f()与最小多项式mA()有
相同的根(不计重数).
证明：由 mA ()|f ()知最小多项式mA()的根是A 的特征根.反之,若f (0 )=0,设是属于0的特征根， 即A =0 ,从而 0=mA (A) =mA (A )=m A(0 )=m A(0) , 而 0，故mA (0 )=0.
坐标变换公式
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1, , en , 令 T(e1, , en )=(e1, , en )A,
设 =(e1,
x1
,
en
)
x2
,
且T(
)=(e1
,
xn
y1
,
en
)
y2
.则
yn
y1 x1
y2
=A
x2
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
则1)dimN(T)=dimN(A); 2)dimR(T)=dimR(A)=r(A); 3)(亏加秩)dimN(A)+dimR(A)=n.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
例：设B
1 1
注2: 定理3的结构可推广到一般形式: L(V,W) Fnm.
定理4 V W dimV dimW.
推论1：任一实(复)n维线性空间均与Rn (Cn )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimFnm nm. 特别的, dimL(V，V)=n2. 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A Fnn ,
采用矩阵记法:
, en , 令
T(e1, , en )=(Te1, ,Ten )=(e1, , en )A,
a11 a12
这里，A=
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
(aij
)nn
F
nn .
ann
由空间结构和T的线性性质，T由Te1, …,Ten完全 确定，故由T唯一确定一个矩阵A，
定理8 : (Hamilton Cayley)设A Cnn , 其特征多项式为
f( )=|I-A|,则必有f(A)=0(零矩阵).
证明：设f() ( 1)( 2 ) ( n ), 及
1
P-1AP=
0
*
,
则
n
P-1 f (A)P f (P-1AP) (P-1AP 1I ) (P-1AP nI ) 0
无关，而直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特
征多项式.
注2 : A的特征多项式f () | I A | 是一个首1的多项式，
n
n
其n 1次系数是-( i ) -( aii ) tr(A)(A的迹);常数
i 1
i 1
项为(-1)n
|
A
|(-1)n
n
i1 i
.
一般的，n k项系数为A的所有k级主式子的和，乘以(-1)k .
0
2 1
,
映射T：R
2
R 3由下式子确定
1
T ( ) B , R2.
求T在基1 (1,0)T，2 (0,1)T 与基1 (1,0,0)T， 2 (0,1,0)T , 3 (0,0,1)T 下的矩阵表示A.
例：线性映射 D：R[ x]n1 R[ x]n由下式子确定 D( f (x)) df (x) . dx