离散数学 群与半群

1 2 显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。
2 给定群<G，⊙>，若G是有限集，则称<G，⊙>是有限群。
1
<T，○，e >是独异点，则<S×T，，<e ， 假若群<G，⊙>为有限群，其子群是<H，⊙>，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k为不
为置换中的反置换，记为p-1。特别把置换
பைடு நூலகம்
x1 x1
x2 x2
xxnn称 为 X 中 的 幺 置 换 或
恒等置换，记为pe。
此外，用PX表示集合X中的所有置换的集 合。
为了说明n个元素的集合可以有多少不同的 置换，特给出如下定理：
定 理 7.5.1 若 X={x1 ， x2 ， … ， xn} ， 则 |PX|=n!
在正式讨论置换群以前，需要先作些 必要的准备。
定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的 双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的 阶。
若X={x1，x2，…，xn}，则n阶置换表为
pp(xx11)
x2 p(x2)
xn p(xn)
并称
p(x1)
x1
p(x2) x2
p(xn)
xn
定义7.2.1 给定两个半群<S，⊙>与<T， ○>，则
半群<S，⊙>半群<T， ○>:=(f)(f∈TS∧(x)( y)(x， y∈S→f(x⊙y)=f(x) f(y))
并称f为从<S，⊙>到<T，○>的半群同态 映射。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是 唯一的。
与前面的定义类似，根据半群同态映射f是 单射(一对一)、满射、双射，把半群同态映射f 分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射 和半群同构映射。
且s∈Ｓ的逆元s-1，t∈T的逆元t-1，则积半群
<S×T，>中<s，t>的逆元是<s-1，t-1>。
7.4 群的基本定义与性质
定义7.4.1 给定<G，⊙>，若<G，⊙>是独 异点且每个元素存在逆元，或者①⊙是可结合 的，②关于⊙存在幺元，③G中每个元素关于⊙ 是可逆的，则称<G，⊙>是群。
可见，群是独异点的特例，或者说，群比 独异点有更强的条件。
(m)(m∈I+∧k=mn)ak=e 推论：若an=e且没有n的因子d(1＜d＜n)使 ad=e，则n为a的阶。
定理7.4.8 给定群<G，⊙>及a∈G，则a与 a-1具有相同的阶。
7.5 置换群和循环群
本节里，将讨论群论中两种常见而又 重要的群：置换群和循环群，特别在研究 群的同构群时，置换群扮演着极重要的角 色。
定理7.4.6 给定群<G，⊙>，则
<G ， ⊙ > 为 Abel 群 (a)(b)(a ， b∈G→(a⊙b)2=a2⊙b2
定义7.4.4 给定群<G，⊙>，且a∈G，
幺元e，则a的阶或周期为n:=(k)(k∈I+∧
{ak=e}=n)，m并in称a的阶是有限的； k
否则，a的阶是无穷的。
定理7.4.7 给定群<G，⊙>，且a∈G的阶n 是有限的，则
且e 和e 分别是它们的幺元，则积半群<S×T， 3 令<H，⊙>是群<G，⊙>的子群且a∈G，则把下面集合：
1 2 14 群<G，⊙>的正规子群<H，⊙>所确定的左(或右)陪集关系
(1)表明PX对于◇是封闭的；
(或
)是同余关系。
>含有幺元<e ，e >。换言之，若<S，⊙，e >和 1 给定群<G，⊙>及非空集合H G，若<H，⊙>是群，则称<H，⊙>为群<G，⊙>的子群。
此时也说，元素g生成半群<S，⊙>，而且 称该半群为循环半群。
类似地定义独异点<M，○，e>的生成元g 和循环独异点，并且规定g0=e。
定理7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。 可见，○是可交换的，故<M，○，e>是可 交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。 对于生成元的概念加以推广便得出生成集 的概念。
和半群同构映射。 由本定义可知，每个Abel群的子群均为正规子群。
交换的，则<S×T，>也是可交换的。 在本节里，将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点。
这就是说，任何三个其它元素的集合都会生成“同样”的置换，这就是为什么将对称群<PX,◇>写成<S|X|,◇>，即<S3,◇>的理由。
如果两个半群，存在一个同构映射，则称 一个半群同构于另一个半群。
由于代数结构之间的满同态具有保持运算 的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。
下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。 定理7.2.1 如果f为从<S，⊙>到<T，○>的 半群同态映射，对任意a∈S且a⊙a=a，则 f(a)○f(a)=f(a)。
定义7.3.1 给定两个半群<S，⊙>和<T， ○>。称<S×T，>为<S，⊙>和<T，○>的积 半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算 定义如下：
<s1，t1><s2，t2>=<s1⊙s2，t1○t2>，其中 s1，s2∈S，t1，t2∈T
由于运算是经⊙和○定义的，易知，积 半群是个半群。
定理7.2.5 给定半群<S，⊙>，又<SS，o> 是从S到S的所有函数在复合运算o下构成的函数 半群，则存在从<S，⊙>到<SS，o>的半群同态 映射g，或者说<S，⊙>半群同态于<SS，o>。
上面介绍半群同态及有关定理。下面接着 来讨论独异点之间的同态及其有关定理。
定义7.2.3 给定独异点<M，⊙，eM>和<T， ○，eT>，则
由于半群同态映射是个函数，因此可对半 群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群 同态映射。请看如下定理：
定理7.2.2 如果g是从<S，⊙>到<T，☆>的 半群同态映射，h是从<T，☆>到<U，○>的半 群同态映射，则h o g是从<S，⊙>到<U，○>的 半群同态映射。
定义7.2.2 若g是从<S，⊙>到<S，⊙>的半 群同态映射，则称g为半群自同态映射；若g是 从<S，⊙>到<S，⊙>的半群同构映射，则称g 为半群自同构映射。
1 给定群<G，⊙>和群<H，○>，则群<G，⊙> 群<H，○>:=( g)(g∈HG∧( a)( b)(a，b∈G→g(a⊙b)=g(a) ○g(b)))，并称g为从群
定理7.3.2 给定半群<S，⊙>和<T，○>， <G，⊙>到群<H，⊙>的群同态映射。
由本定义可知，每个Abel群的子群均为正规子群。 <s1，t1> <s2，t2>=<s1⊙s2，t1○t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T
定义7.1.5 给定半群<S，⊙>及GS，则
G为<S，⊙>的生成
集:=(a)(a∈S→a=⊙(G))∧ min |G| GS 这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而
生成的元素。
类似地定义独异点<M，○，e>的生成集。
定义7.1.6 给定半群<S，⊙>及非空集TS， 若T对⊙封闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半 群。
定义7.5.2 给定集合X且pi，pj∈PX，由X的 元素先进行置换pi后继之作置换pj所得到的置换， 表为pi◇pj，称pi◇pj是置换pi和pj的复合，◇是 复合置换运算。
定理7.2.3 给定半群<S，⊙>，如果A={g|g 为<S，⊙>到<S，⊙>的半群自同态映射}且o是 函数复合运算，则<A，o>为半群。
由于恒等映射i是复合运算o的幺元，因此 可得下面定理：
定理7.2.4 给定半群<S，⊙>，若B={h|h为 <S，⊙>到<S，⊙>的半群自同构映射}，o为函 数复合运算，则<B，o ，i>是独异点。
2 这时从集合X到X的双射，称之为一一变换或变换。
( a)( b)(a，b∈G→( !x)( !y)(x，y∈G∧(a⊙x=b∨y⊙a=b))
定理7.3.3 给定半群<S，⊙>和<T，○>， 且θ1和θ2分别为它们的零元，则积半群<S×T， >含有零元<θ1，θ2>。
定理7.3.4 给定半群<S，⊙>和<T，○>，
类似地定义独异点<M，○，e>的子独异点 <P，○，e>，应注意的是e∈P。
定理7.1.3 给定半群<S，⊙>及任意a∈S， 则<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。
显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成 元。故<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。
定理7.1.4 给定可交换独异点<M，○，e>， 若P为其等幂元集合，则<P，○，e>为子独异 点。
对于独异点满同态、独异点单同态、独异 点同构、以及独异点满同态保持运算性质等， 这里也一并略去了。下面给出一个有关同构的 定理以结束本节。
定理7.2.6 给定独异点<M，⊙>，则 存在TMM，使<M，⊙><T，o>。
本定理表明，一个独异点可与复合运 算下的函数独异点同构。
7.3 积半群
把积代数方法应用于特殊一类代数结 构：半群，便产生积半群。
定义7.4.2 给定群<G，⊙>，若G是有 限集，则称<G，⊙>是有限群。并且把G 的基数称为该有限群的阶数，若集合G是 无穷的，则称<G，⊙>为无穷群。
由群的定义可知，群具有半群和独异点的 性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己 独特的性质，仅此讨论如下：
定理7.4.1 <G，⊙>是群∧|G|＞1<G， ⊙>无零元。
定理7.1.5 设<M，○，e>为独异点，则关 于○的运算表中任两列或任两行均不相同。
定理7.1.6 给定独异点<M，○，e>，对任 意a，b∈M且a，b均有逆元，则
(1) (a-1)-1=a。 (2) a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。
7.2 半群和独异点的同态与同构
在本节里，将把代数结构之间的同态 与同构的概念应用于半群与独异点。有些 定义与性质，几乎完全就是平行地搬过来。 主要内容如下：
定理7.4.2 <G，⊙>是群<G，⊙>中的唯 一等幂元是幺元。
定理7.4.3 给定群<G，⊙>，则有 (a)(b)(c)(a ， b ， c∈G∧((a⊙b=a⊙c∨b⊙a=c⊙a)→b=c)) 即群满足可约律。
定理7.4.4 给定群<G，⊙>，则 (a)(b)(a， b∈G→((!x)(x∈G∧a⊙x=b)∨(!y)(y∈G∧y⊙ a=b))
(a)(b)(a，b∈G→(!x)(!y)(x， y∈G∧(a⊙x=b∨y⊙a=b))
即群中方程解是唯一的。
定 理 7.4.5 <G， ⊙ >是 群 (a)(b)(a ， b∈G→(a⊙b)-1=b-1⊙a-1)
定义7.4.3 给定群<G，⊙>，若⊙是可交换 的，则称<G，⊙>是可交换群或<G，⊙>是Abel 群。
本定理告诉我们，有限半群存在等幂元。
定义7.1.3 给定半群<S，⊙>，若⊙是可交 换的，则称<S，⊙>是可交换半群。类似地可定 义可交换独异点<M，○，e>。
定义7.1.4 给定半群<S，⊙>和g∈S，以及 自然数集合N，则
g 为 <S ， ⊙ > 的 生 成 元:=(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=gn))
<M，⊙，eM><T，○，eT> :=(g)(g∈TM∧(x)( y)(x，y∈M→g(x⊙y)
=g(x) ○g(y))∧g(eM)=eT 并称g为从<M，⊙，eM>到<T，○，eT>的 独异点同态映射。
注意，独异点同态区别半群同态就在于保 持幺元，即g(eM)=eT。因此，半群同态未必是独 异点同态，反之都真。
不难证明下列定理： 对于独异点满同态、独异点单同态、独异点同构、以及独异点满同态保持运算性质等，这里也一并略去了。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是唯一的。
(1)表明PX对于◇是封闭的；
定理7.3.1 若半群<S，⊙>和<T，○>是可 与前面的定义类似，根据半群同态映射f是单射(一对一)、满射、双射，把半群同态映射f分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射
2 1 同的左陪集个数，称为H在G中的指标，由于每个左陪集皆有m个元素，故G具有km个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(J.
e >>是独异点。 2 如果g是从<S，⊙>到<T，☆>的半群同态映射，h是从<T，☆>到<U，○>的半群同态映射，则h o g是从<S，⊙>到<U，○>的半群同
态映射。
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因 此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为 了强调幺元e，独异点表为<M，○，e>。
如果半群<S，⊙>中的集合S是有限的，则 称半群为有限半群，对于有限半群可以给出下 面有趣定理。
定 理 7.1.1 <S ， ⊙ > 为 有 限 半 群 (x)(x∈S∧x⊙x=x)