2018年甘肃省天水市中考数学试卷

2018年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）下列各数中，绝对值最大的数是（）
A．﹣2B．3C．0D．﹣4
2．（4分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（）
A．0.845×104亿元B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元D．84.5×102亿元
3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．长方体
4．（4分）一组数据1，5，7，x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是（）
A．6B．5C．4.5D．3.5
5．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．20πcm2B．20cm2C．40πcm2D．40cm2
6．（4分）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（）
A．4B．5C．D．
7．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）
A．π﹣4B．C．π﹣2D．
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+1与函数y＝的图象可能是（）
A．B．C．D．
9．（4分）按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（）A．182B．172C．242D．200
10．（4分）某学校组织团员举行“伏羲文化旅游节”宣传活动，从学校骑自行车出发，先上坡到达甲地后，宣传了8分钟，然后下坡到乙地又宣传了8分钟返回，行程情况如图所示．若返回时，上、下坡速度保持不变，在甲地仍要宣传8分钟，那么他们从乙地返回学校所用的时间是（）
A．33分钟B．46分钟C．48分钟D．45.2分钟
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，只要求填写最后结果）
11．（4分）不等式组的所有整数解的和是．
12．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为．
13．（4分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.1环，方差分别是S甲2＝0.51、S乙2＝0.50、S丙2＝0.41，则三人中成绩最稳定的是（填“甲”或“乙”或“丙”）．
14．（4分）若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为．
15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．
16．（4分）如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE 的长为．
17．（4分）将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，2），则点B的坐标为．
18．（4分）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数．例如：
[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．按此规定：[1.7]+（1.7）+[1.7）＝．
三、解答题（本大题共3小题共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（8分）（1）计算：4+（﹣3）2+20180×|1﹣|+tan45°﹣2sin60°．
（2）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
20．（10分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．（1）求A、B之间的路程（精确到0.1米）；
（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与y轴相交于点A与反比例函数y＝（k≠0）在第一
象限内相交于点B（m，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝x﹣1向上平行移动后与反比例函数在第一象限内相交于点C，且△ABC的面积为4，求平行移动后的直线的解析式．
四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（8分）天水市“最美女教师”刘英为抢救两名学生，身负重伤．社会各界纷纷为她捐款，某校2000名学生也积极参加了此捐款活动．捐款金额有5元、10元、15元、20元、25元共五种．为了了解捐款情况，学校随机抽样调查了部分学生的捐款情况，并根据捐款金额和人数绘制了如下统计图（图①和图②）．请根据所给信息解答下列问题．
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为人，图①中m的值是．
（2）根据样本数据，请估计该校在本次活动中捐款金额为10元的学生人数．
23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC．
（1）求证：∠BAC＝∠BCP．
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CP A的平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP的大小．
24．（10分）麦积山石窟是世界文化遗产，国家AAAAA级旅游景区，中国四大石窟之一．在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？25．（12分）如图所示，在正方形ABCD和△EFG中，AB＝EF＝EG＝5cm，FG＝8cm，点B、C、F、G在同一直线l上．当点C、F重合时，△EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动，t秒后正方形ABCD与△EFG重合部分的面积为Scm2．请解答下列问题：
（1）当t＝3秒时，求S的值；
（2）当t＝5秒时，求S的值；
（3）当5秒＜t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
26．（12分）已知：抛物线y＝ax2+4ax+m（a＞0）与x轴的一个交点为A（﹣1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一个点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）点E是第二象限内到x轴、y轴的距离比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．【解答】解：
依题意，
∵|﹣2|＝2，|3|＝3，|0|＝0，|﹣4|＝4
∴4＞3＞2＞0
故选：D．
2．【解答】解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．
故选：B．
3．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．
4．【解答】解：若众数为1，则数据为1、1、5、7，此时中位数为3，不符合题意；
若众数为5，则数据为1、5、5、7，中位数为5，符合题意，
此时平均数为＝4.5；
若众数为7，则数据为1、5、7、7，中位数为6，不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：圆锥侧面积＝π×2×10＝20πcm2；
故选：A．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AD＝BC＝8，
∵OE∥AB
∴OE∥CD
∴，且AO＝AC，OE＝3
∴CD＝6，
在Rt△ADC中，AC＝＝10
∵点O是斜边AC上的中点，
∴BO＝AC＝5
故选：B．
7．【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴△OBC的BC边上的高为：OB＝，
∴BC＝2
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×＝π﹣2，
故选：C．
8．【解答】解：在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+1与函数y＝的图象可能是
，
故选：B．
9．【解答】解：∵，
∵，
∴，
∴a＝72，b＝110，
∴a+b＝72+110＝182．
故选：A．
10．【解答】解：观察图象可知上坡路程为36百米，下坡路程为96﹣36＝60百米，
上坡时间为18分，下坡时间为46﹣18﹣8﹣8＝12分，
∴v上坡＝＝2百米，v下坡＝＝5百米，
∴返回的时间＝++8＝45.2分钟．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，只要求填写最后结果）11．【解答】解：解不等式4x+8≥0，得：x≥﹣2，
解不等式6﹣3x＞0，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
所以不等式组的所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，
∴假设BC＝12x，AB＝13x，
∴AC＝5x．
∴tan B＝＝．
故答案为：．
13．【解答】解：∵S甲2＝0.51，S乙2＝0.50，S丙2＝0.41，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴三人中成绩最稳定的是丙；
故答案为：丙．
14．【解答】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，∴b＝，得ab＝3，
∴ab﹣1＝3﹣1＝2，
故答案为：2
15．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴AB＝BC＝5，
∵•AC•BD＝•BC•AE，
∴AE＝，
故答案为：，
17．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（1，2），∴BC＝OA＝3，3+1＝4，
∴点B的坐标是（4，2）；
故答案为：（4，2）．
18．【解答】解：
依题意：[1.7]+（1.7）+[1.7）＝1+2+2＝5
故答案为5
三、解答题（本大题共3小题共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．【解答】解：（1）原式＝4+9+1×（﹣1）+1﹣2×
＝4+9+﹣1+1﹣
＝13；
（2）原式＝÷（+）
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝．
20．【解答】解：（1）∵AB＝AO﹣BO，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝100米．
又∵AD＝CD×tan60°≈100×1.732＝173.2米，
∴AB＝AD﹣BD＝173.2﹣100＝73.2米，
（2）∵73.2米＝0.0732千米，5秒＝小时，
∴0.0732÷＝52.7千米/时．
∵52.7＜60，
∴该小车没有超速．
21．【解答】解：（1）将B（m，1）代入直线y＝x﹣1中得：m﹣1＝1，解得：m＝2，
则B（2，1），
将B（2，1）代入y＝，得k＝2×1＝2，
则反比例解析式为y＝；
（2）设平移后的直线交y轴于H．
∴S△ABH＝S△ABC＝4，
∵S△ABH＝×AH×2＝4，
∴AH＝4，
∵A（0，﹣1），
∴H（0，3），
∴平移后的直线的解析式为y＝x+3．
四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．【解答】解：（1）调查的学生人数：4÷8%＝50（人），
，m＝32，
故答案为50，32；
（2）该校在本次活动中捐款金额为10元的学生人数：2000×32%＝640（人），答：该校在本次活动中捐款金额为10元的学生人数为640人．
23．【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠PCO＝∠OCB+∠PCB＝90°
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝∠CAB+∠ABC＝90°
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠BCP．
（2）解：∵PC为圆O的切线，
∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，
∴∠CPO+∠COP＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠COP，
∵PD为∠APC的平分线，
∴∠APD＝∠CPD＝∠CPO，
∴∠CDP＝∠APD+∠A＝（∠CPO+∠COP）＝45°．
24．【解答】解：
（1）依题意，设标价为x元，进价为y元，则有
，，解得
故工艺品每件的进价为155元，标价是200元
（2）设利润为w元，降价为m元，则依题意得
w＝（200﹣m﹣155）（100+4m）＝﹣4m2+80m+4500
整理得w＝﹣4（m﹣10）2+4900
故每件工艺品降价10元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4900元25．【解答】解：（1）作EP⊥FG于点P，
∵EF＝EG，
∴PF＝PC＝FG＝4，
在Rt△EPF中，EP＝＝＝3，
当t＝3时，FC＝3，设EF与DC交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴PE∥DC，
∴△FCH∽△FEP．
∴＝（）2，
∵S△FPE＝×4×3＝6，
∴S＝（）2×6＝（cm2）．
（2）当t＝5时，CG＝3．
设EG与DC交于H，如图2所示：
由△GCH∽△GPE，
∴＝，即＝，
∴CH＝，
∴S△GCH＝×3×＝（cm2），
S＝12﹣＝（cm2）．
（3）当5≤t≤8时，FB＝t﹣5，GC＝8﹣t，设EF交AB于点N，如图3所示：∵△FBN∽△FPE，PF＝4，
∴BF：PF＝（t﹣5）：4，
∴S△FBN：S△FPE＝（t﹣5）2：42，
又∵S△FPE＝6，
∴S△FBN＝（t﹣5）2，
由△GCH∽△GPE，同理得S△GCH＝（8﹣t）2，
∴S＝12﹣（t﹣5）2﹣（8﹣t）2．即S＝﹣t2+t﹣，
∵S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S最大，S的最大值＝（cm2）．
26．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x＝﹣2，点A，B一定关于对称轴对称∴另一个交点为B（﹣3，0）；
（2）∵A，B的坐标分别是（﹣1，0），（﹣3，0），
∴AB＝2，
∵对称轴为x＝﹣2，a＞0，
∴CD＝4，m＞0；
设梯形的高是h．
∴S梯形ABCD＝×（2+4）h＝9，
∴h＝3，即m＝3，
把（﹣1，0）代入解析式得到a﹣4a+3＝0，解得a＝1，
∴a＝1，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；
（3）当点E在抛物线y＝x2+4x+3时
设E点的横坐标为﹣2n，则E的纵坐标为5n
把（﹣2n，5n）代入抛物线得：5n＝（﹣2n）2+4×（﹣2n）+3
解得；n1＝3，n2＝，
∴E的坐标为（﹣6，15）（舍去）或（﹣，）
∴点E关于x＝﹣2对称的点E′的坐标为（﹣，）
∴直线AE′的解析式为y＝﹣x﹣，
∴P的坐标为（﹣2，），
综上知，抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小．。