2016年江苏省南京市中考数学试卷

2016年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（）
A．0.7×105B．7×104C．7×105D．70×103
2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|
3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（）
A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）3
4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）化简：=；=．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是．
9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=．
11．（2分）分式方程的解是．
12．（2分）设1、2是方程2﹣4+m=0的两个根，且1+2﹣12=1，则1+2=，m=．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组，并写出它的整数解．
18．（7分）计算﹣．
19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数
20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．
图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点
有关的结
论
平移（1）AA′=BB′
AA′∥BB′轴对称（2）（3）
旋转AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在
的直线相交所成的角与旋转角相等
或互补．
（4）
21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE
+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：
（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
2016年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2016•南京）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（）
A．0.7×105B．7×104C．7×105D．70×103
【解答】解：70000=7×104，
故选：B．
2．（2分）（2016•南京）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|
【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5、﹣3，
∴它们之间的距离=|﹣3﹣5|=8，
故选：D．
3．（2分）（2016•南京）下列计算中，结果是a6的是（）
A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）3
【解答】解：∵a2+a4≠a6，
∴选项A的结果不是a6；
∵a2•a3=a5，
∴选项B的结果不是a6；
∵a12÷a2=a10，
∴选项C的结果不是a6；
∵（a2）3=a6，
∴选项D的结果是a6．
故选：D．
4．（2分）（2016•南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；
B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；
D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
5．（2分）（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA•sin60°=2×=，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
故选B．
6．（2分）（2016•南京）若一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则的值为（）
A．1 B．6 C．1或6 D．5或6
【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据5，6，7，8，9的
方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，
∴=1或6，
故选C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）（2016•南京）化简：=2；=2．
【解答】解：==2；
=2．
故答案为：2；2．
8．（2分）（2016•桂林）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是≥1．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴﹣1≥0，
解得≥1．
故答案为：≥1．
9．（2分）（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=（b+c）（2a﹣3）．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），
故答案为：（b+c）（2a﹣3）．
10．（2分）（2016•南京）比较大小：﹣3＜．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜0，﹣2＞0，
∴﹣3＜．
故答案为：＜．
11．（2分）（2016•南京）分式方程的解是3．
【解答】解：去分母得：=3（﹣2），
去括号得：=3﹣6，
解得：=3，
经检验=3是分式方程的解．
12．（2分）（2016•南京）设1、2是方程2﹣4+m=0的两个根，且1+2﹣12=1，则
1+2=4，m=3．
【解答】解：∵1、2是方程2﹣4+m=0的两个根，
∴1+2=﹣=4，12==m．
∵1+2﹣12=4﹣m=1，
∴m=3．
故答案为：4；3．
13．（2分）（2016•南京）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=119°．
【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°﹣61°=119°．
故答案为：119．
14．（2分）（2016•南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是①②③．
【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB=∠COD=90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确
∴BC=DC，故②正确；
故答案为①②③．
15．（2分）（2016•南京）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，
EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．
【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴=，
即=，
解得AC=．
故答案为：．
16．（2分）（2016•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．
【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC=cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD=cm，
所以菱形的边长=cm．
故答案为：13．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）（2016•南京）解不等式组，并写出它的整数解．【解答】解：解不等式3+1≤2（+1），得：≤1，
解不等式﹣＜5+12，得：＞﹣2，
则不等式组的解集为：﹣2＜≤1，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1．
18．（7分）（2016•南京）计算﹣．
【解答】解：﹣
=﹣
=
=．
19．（7分）（2016•南京）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数
【解答】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000=81（分），
答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；
（2）A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；
B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；
故选D．
20．（8分）（2016•南京）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．
图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的
结论
平移（1）AB=A′B′，AB∥A′B′AA′=BB′
AA′∥BB′
轴对称
（2）AB=A′B′；对应线段AB
和A′B′所在的直线如果相交，交
点在对称轴l上．
（3）l垂直平
分AA′
旋转AB=A′B′；对应线段AB和A′B′
所在的直线相交所成的角与旋
转角相等或互补．
（4）OA=OA′
，
∠AOA′=∠BOB′
【解答】解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB=A′B′，AB∥A′B′；
（2）轴对称的性质：AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．
（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为：l垂直平分AA′．
（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．
故答案为：（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．
21．（8分）（2016•南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．
证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．
22．（8分）（2016•南京）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：
（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天，
∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为：；
（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，
∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为：=．
23．（8分）（2016•南京）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/m）
与速度（单位：m/h）之间的函数关系（30≤≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1m/h，耗油量增加0.002L/m．
（1）当速度为50m/h、100m/h时，该汽车的耗油量分别为0.13L/m、0.14 L/m．
（2）求线段AB所表示的y与之间的函数表达式．
（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
【解答】解：（1）设AB的解析式为：y=+b，
把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=+b中得：
解得
∴AB：y=﹣0.001+0.18，
当=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，
由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+（100﹣90）×0.002=0.14，
故答案为：0.13，0.14；
（2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001+0.18；
（3）设BC的解析式为：y=+b，
把（90，0.12）和（100，0.14）代入y=+b中得：
解得，
∴BC：y=0.002﹣0.06，
根据题意得解得，
答：速度是80m/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/m．
24．（7分）（2016•南京）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．
【解答】（1）证明：BF交AD于G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC=∠FGE，
而∠FBC=∠DCE，
∴∠FGE=∠DCE，
∵∠GEF=∠DEC，
∴∠D=∠F；
（2）解：如图，点P为所作．
25．（9分）（2016•南京）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tan，以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？
【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH=3，
在Rt△OHP中，
∵tanα==，
∴OH=6．
在Rt△AHP中，
∵tanβ==，
∴AH=2，
∴OA=OH+AH=8=4，
∴=，
∴OH=3，PH=，
∴点P的坐标为（3，）；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，
过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=a（﹣4），∵P（3，）在抛物线y=a（﹣4）上，
∴3a（3﹣4）=，
解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（﹣4）．
当y=1时，﹣（﹣4）=1，
解得1=2+，2=2﹣，
∴BC=（2+）﹣（2﹣）=2=2×1.41=2.82≈2.8．
答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．
26．（8分）（2016•南京）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，
设⊙O半径为r，
∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG=90°，
∴DG是⊙O直径，
∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD=OE，OE⊥AC，
∵OD=OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，
∴AN⊥BC，BN=BC=6，
在RT△ABN中，AN===8，∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO=∠ANB=90°，
∵∠OAD=∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴=，即=，
∴AD=r，
∴BD=AB﹣AD=10﹣r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB=∠ANB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴=，即=，
∴r=，
∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为．
27．（11分）（2016•南京）如图，把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原的2倍，横坐标不变，得到函数y=2的图象；也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原的倍，纵坐标不变，得到函数y=2的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原的6倍，横坐标不变，得到函数y=的图象；也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原的6倍，纵坐标不变，得到函数y=的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y=2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数y=4（﹣1）2﹣2的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y=﹣（﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣2的图象上所有的点D．
A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣的图象？（写出一种即可）
【解答】解：（1）把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原的6倍，横坐标不变，
设y′=6y，′=，将y=，=′带入y=1可得y′=，得到函数y=的图象；
也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原的6倍，纵坐标不变，
设y′=y，′=6，将y=y′，=代入y=1可得y′=，得到函数y=的图象；
（2）（Ⅰ）函数y=2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y=42的图象；y=42的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y=4（﹣1）2的图象；y=4（﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y=4（﹣1）2﹣2的图象．
（Ⅱ）为了得到函数y=﹣（﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y=﹣2﹣2的图象，再把y=﹣2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y=﹣（﹣）2﹣2的图象；最后把y=﹣（﹣）2﹣2的图象的横坐标变为原的2倍，得到y=﹣（﹣）2﹣2的图象，即y=﹣（﹣1）2﹣2的图象．
（3）∵y=﹣==﹣1，
∴函数y=的图象先将纵坐标变为原的倍，横坐标不变，得到y=；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y=﹣的图象．
故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y=4（﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．。