立体几何天天练(2015年高考题理科)

1.【 2015 高考新课标2，理19】（此题满分12 分）
如图，长方体ABCD A1 B1C1D1中,AB=16 ，BC=10 ，AA18 ，点E ， F分别在A1B1，C1D1上，A1 E D1F 4 ．过点E ， F的平面与此长方体的面订交，交线围成一个正方形．D1F C1
A1E B
1
D C
A B
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）；
（Ⅱ）求直线AF 与平面所成角的正弦值．
2.【 2015 江苏高考， 16】（此题满分 14 分）
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，已知 AC BC ， BC CC1，设 AB1的中点为D，B1C BC1 E .求证：（1） DE // 平面 AA1C1C ；
（ 2）BC1AB1.
A C
B
E
D
A1C1
B1
3.【2015 高考安徽，理 19】如下图，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，
ADD 1A1 , ABCD 均为正方形，E 为B1D1的中点，过A1 , D, E 的平面交 CD1于F.
（Ⅰ）证明：EF / /B1C ；
（Ⅱ）求二面角 E A1D B1余弦值.
.
4.【 2015 江苏高考， 22】（本小题满分 10 分）
如图，在四棱锥P ABCD 中，已知PA平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯
形，ABC BAD, PA AD2, AB BC1
2
（ 1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（ 2）点 Q 是线段 BP上的动点，当直线CQ 与 DP 所成角最小时，求线段BQ 的长
P
Q
A D
B C
5.【 2015 高考福建，理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形， AB平面BEC，
BE EC， AB=BE=EC=2， G， F 分别是线段BE， DC 的中点 .
(Ⅰ)求证：GF //平面ADE；
( Ⅱ )求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．
A
D
B F
G
C
E
6【. 2015高考浙江，理 17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1-中，BAC90 ，AB AC 2，A1A 4， A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D为 B1C1的中点.
（ 1）证明：A1 D 平面A1B C；
（ 2）求二面角A1 -BD- B1的平面角的余弦值 .
7.【 2015 高考山东，理 17】如图，在三棱台DEF ABC 中，AB2DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点 .
（Ⅰ）求证：BD / / 平面 FGH ；
（Ⅱ）若 CF平面ABC，AB BC, CF DE，BAC 45,求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.
8.【 2015 高考天津，理17】（本小题满分13 分）如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧棱A1A底面 ABCD , AB AC,AB 1 ,
AC AA12, AD CD5,且点M 和N 分别为B1C和
D1D
的中点.
(I)求证：MN // 平面ABCD ；
(II)求二面角D1AC B1的正弦值；
(III)设E为棱A1 B1上的点，若直线NE和平面ABCD 所成角的正弦值为1
，求线段A1E 长3
D1
A1
B1 C1
N
M
D A
B
C
9.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥P ABC 中， PC平面
ABC,PC 3, ACB.D,E分别为线段AB,BC上的点，且
2
CD DE2, CE 2EB 2.
（1）证明：DE平面PCD
（2）求二面角 A PD C 的余弦值。

P
C
E
B D
A题（ 19）图
10.【 2015 高考四川，理 18】一个正方体的平面睁开图及该正方体的直观图的表示图如下图，在正方体中，设BC 的中点为M， GH 的中点为 N
（1）请将字母F , G, H标志在正方体相应的极点处（不需说明原因）
（2）证明：直线MN / /平面BDH
（3）求二面角A EG M的余弦值 .
11.【 2015 高考湖北，理 19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF PB交PB于点 F，连结DE , DF , BD, BE.
（Ⅰ）证明： PB 平面DEF．试判断四周体DBEF 能否为鳖臑，假如，写出其每个面的直角
（只要写
出结论）；若不是，说明原因；
（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π，求
DC
的值．3BC
12. 【 2015 高考陕西，理18】（本小题满分12 分）如图1，在直角梯形CD 中，D// C，
D，C1，D 2 ，是 D 的中点，是 C 与的交点．将2
沿折起到
1
的地点，如图 2 ．
（ I）证明：CD平面1C ；
（ II）若平面1平面CD ，求平面1 C与平面1CD 夹角的余弦值．
13.【 2015 高考新课标1，理 18】如图，，四边形 ABCD为菱形，∠ ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD， DF⊥平面 ABCD， BE=2DF， AE⊥ EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线 CF所成角的余弦值.
14.【 2015 高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF 平面EFCB ，EF ∥BC， BC4， EF2a ，EBC FCB60 ，O为EF的中点．(Ⅰ )求证：AO BE ；
(Ⅱ )求二面角F AE B 的余弦值；
(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．
A
C
F
O
E
B
15.【 2015 高考广东，理直， PD PC 4，AB 18】如图
6， BC
2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂
3 .点E是CD边的中点，点 F 、G分别在线段AB 、BC
上，且AF2FB ， CG2GB ．
（1）证明：PE FG；
（2）求二面角P AD C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
16【 2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和 6 的正方形，AA1 6 ，且
AA1底面ABCD ，点P，Q分别在棱DD1，BC上.
（ 1）若P 是DD1的中点，证明：AB1PQ ；
（ 2）若PQ / /平面ABB1 A1，二面角P QD A 的余弦值为3 ，求四周体
7
ADPQ的体积.
17【 2015 高考上海，理 19】（此题满分12 分）如图，在长方体CD 1 1C1 D1 中，1 1 ，
D 2 ，、 F分别是、 C 的中点．证明1、C1、F、四点共面，并求直
线 CD1与平面1C1 F所成的角正弦值的大小.。