云南省市2012-2013学年高二数学上学期期中考试 文 新人教A版

玉溪一中2014届高二年级上学期期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，答案均填写在答题卡上，否则无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，有且只有一个是正确的。

） 1．已知全集{}43210，，，，U =，集合{}321，，A =，{}42，B =，则=B A C U )(( ) A. {}421，， B. {}4,32， C. {}420，， D. {}4,320，，
2．某单位有职工1000人，其中青年职工450人，中年职工350人，老年职工200人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为（ ）
A ．11
B ．13
C ．20
D ．30 3．已知),2(),2,1(m -==，若//则|23|a b +等于( ) A 70 B ．45．35 D ．254．下列结论中，正确的是：( )
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成正相关关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度； ③在统计中，众数不一定是数据组中数据； ④在统计中，样本的标准差越大说明这组数据的波动越大； ⑤概率是随机的，在试验前不能确定. A ．①③ B ． ②⑤ C ．②④ D ．④⑤
5．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1件次品与至多有1件正品 B ．至少有1件次品与都是正品
C ．至少有1件次品与至少有1件正品
D ．恰有1件次品与恰有2件正品
6．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是( ) A ．112 B ．80 C ．72 D ．64 7．甲、乙两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是3
1
，则甲不输的概率是( )
A ．
21 B ．61 C ．65 D ． 3
2
8．一个算法的程序框图如右图所示，该程序输出的结果为( )
A ．89
B ．910
C ．1011
D ．1112
9．在△ABC 中，c b a ,,为内角A 、B 、C 所对的边，若
()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的值是( )
A. 60°
B.90°
C.120°
D.150
10．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴
影部分的面积约为( )
A ．
35 B ．65 C ． 125 D ． 185
11．将直线1=+y x 绕点(1,0)顺时针旋转90°后，再向上平移1个单
位与
圆2221r y x =+）－（相切，则r 的值是( )
A ．
2
2
B ．2
C ．
2
2
3 D ．1
12．若不等式022
>+-a ax x ，对R x ∈恒成立， 则关于t 的不等式1
3
21
22<<-++t t t a a 的解为( )
A ．}21{<<t t
B ．}12{<<-t t
C ．}22{<<-t t
D ．}23{<<-t t
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．设⎩⎨
⎧≤>=0
,100,lg )(x x x x f x
，则=-))2((f f -2
14．用辗转相除法或更相减损术求115、161的最大公约数是 23 ；
15．设0,0>>b a ，若3是a
3与b
3的等比中项，则
b
a 1
1+的最小值为___4__ 16．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：
x
2 3 4 5 6
若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为bx a y +=，其中已知
23.1=b ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为__24.68__万元
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

) 17. （本小题满分10分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，且C b a A cos 2,
3
2==π
，求： （Ⅰ）角B 的值；
（Ⅱ）函数)2cos(2sin )(B x x x f -+=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的最大值及对应的x 值．
18．（本小题满分12分）已知集合{}
032|2<-+=x x x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
<-+=032|
x x x B . （1）在区间（－４，４）上任取一个实数x ，求“B A x ⋂∈”的概率；
（2）设()b a ,为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求“b a A B -∈”的概率.
解：（Ⅰ）由已知
{31}A x x =-<<
{23}
B x x =-<<，………………2分
设事件“x A B ∈”的概率为1P ，这是一个几何概型，则
13
8P =
.…………………5分
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7. 0
（2）因为,a b ∈Z ，且,a A b B ∈∈，
所以，基本事件共12个：(2,1)--，(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，
(1,2)-，(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2). ………9分
设事件E 为“b a A
B -∈”，则事件E 中包含9个基本事件，……11分
事件E 的概率93()124P E =
=
.…………………12分
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD =2AB =2BC =2，O 为AD 中点. （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线P Ｂ与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点Ａ到平面PCD 的距离．
（Ⅰ）证明：在△PAD 中PA =PD ,O 为AD 中点，
所以PO ⊥AD , 又侧面PAD ⊥底面ABCD , 平面PAD ⋂平面ABCD =AD , PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中、BC ∥AD ，AD =2AB =2BC ,
有OD ∥BC 且OD =BC ,
所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC .
由（Ⅰ）知，PO ⊥OB ,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角. 因为AD =2AB =2BC =2,
在Rt △AOB 中，AB =1,AO =1,所以OB ＝2，
在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1， 所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，322=+=OB OP PB cos ∠PBO=36==
PB OB ，所以异面直线PB 与CD 所成角的余弦值是3
6
. （Ⅲ）由（Ⅱ）得CD =OB =2，
在Rt △POC 中， 222,PC OC OP =+=
所以PC =CD =DP
233
(2),PCD S ∆=
=121=⋅=∆AB AD S ACD
设点Ａ到平面ＰＣＤ的距离为h ， 由V Ｐ-ＡＣＤ=V Ａ-PCD ,得h ⨯⨯=
⨯⨯23311131
，解得3
3
2=
h 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z
轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ,依题意，易得
A (0,-1,0),
B (1,-1,0),
C (1,0,0),
D (0,1,0),P (0,0,1), 所以110111CD PB ---＝（，，），＝（，，）.
所以异面直线PB 与CD 所成角的余弦值是
3
6
(Ⅲ)由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=-
设平面PCD 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0).
可得平面PCD 的一个法向量为n =(1,1,1). 又)0,1,1(=AC ，故点Ａ到平面PCD 的距离3
3
2=
⋅=n
n AC h
20. （本小题满分12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ) 根据直方图估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 若参加考试的学生共有600人，估计本次考试70分（包括70分）以上的学生共有多少人？ 解：（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，
频率分布直方图如右图．-----------------------------------------------3分
(Ⅱ) 估计这次考试的
及格率（60分及以上为及格）为:1-0．01×10-0．015×10=75﹪
平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71----------9分 (Ⅲ) 成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为 40 50
60
70
80
90
100
0.005
0.01 0.015 0.025
组距
频率
0.03
（0．03+0．025+0．005）×10×600=360-----------------------12分
21．（本小题满分12分）已知曲线04222=+--+m y x y x C ：。

（1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；
（2）若曲线C 与直线042=-+y x 交于N M 、两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，
求m 的值。

解:（1）由0420416442
2
>-=-+=-+m m F E D ，
得5<m 。

（4分） (2）设),(),,(2211y x N y x M ，
联立直线与圆的方程，消去y ， 得：0164852=-+-m x x ，
由韦达定理得：5
821=
+x x ①, 516
421-=⋅m x x ②，
又由042=-+y x 得)4(2
1
x y -=,
由ON OM ⊥得02121=+y y x x ，
04)(45
)4()4(21212121212121=++-=-⋅-+
=+x x x x x x x x y y x x
将①、②代入上式得 58
=m ，
检验知满足∆＞0，故58
=m 为所求 （12分）
22．（本小题满分12分）已知函数c x c x x f ++-=)1()(2
)(R c ∈． （1）解关于x 的不等式0)(<x f ；
（2）当2-=c 时，不等式5)(->ax x f 在)2,0(上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设ax x f x g -=)()(，已知1)2(0<<g ，5)3(3<<g ，求)4(g 的范围．
解：（1）0)(<x f 0))(1()1(2<--=++-∴c x x c x c x
①当c<1时， 1<<x c
②当c=1时，0)1(2
<-x ，φ∈∴x ③当c>1时，c x <<1
综上，当c<1时，不等式的解集为}1{<<x c x ，
当c=1时，不等式的解集为φ，
当c>1时，不等式的解集为}1{c x x <<。

……4分 （2）当ｃ＝－2时，f (x )＞ax －5化为x 2
＋x －2＞ax －5
ax ＜x 2＋x ＋3，x ∈(0,2) 恒成立
∴a ＜（x 2＋x ＋3
x ）min 设x x x x g 3)(2++= ……6分
∴13
3)(2++=++=
x
x x x x x g ≥1＋2 3 当且仅当x ＝3
x
，即x ＝3∈(0,2)时，等号成立
∴g(x)min =(1＋x ＋3
x
)min ＝1＋2 3
∴ a ＜1＋2 3 ……8分 （3）a c a f g 222)2()2(--=-=
1220<--<∴a c 221<+<∴a c
a c a f g 3263)3()3(--=-=
5223<--<∴a c 3321<+<∴a c
设a y x c y x a c y a c x a c )32()2()32()2(43+++=+++=--
⎩⎨
⎧+=-+=-∴y x y x 32423 ⎩⎨⎧-==∴2
1
y x
)]32(2[)2()32()2(43a c a c a c y a c x a c +-++=+++=--∴
221<+<a c
2)32(26-<+-<-a c
12431270435<--<∴<--<-∴a c a c
12)4(7<<∴g ……12分。