第7章线性变换

第7章线性变换
§ 1线性变换的定义
线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义
定义7・1设V为线性空间，若对于V中的任一向量按照一定的对应规则T,总有V中的一个确定的向量0与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为
T©) = 0或Ta =股©外，
0称为Q的象，&称为0的原象。

象的全体所构成的集合称为象集，记作T (V),即
T (V) ={/? = T(«) I « G v}o
由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2线性空间V中的变换T,若满足条件
(1)对任意w V有
(2) 2 + 0) = %) + 丁(0)；
(3)对任意a eV及数域P中任意数£有
T(ka) = kT (a),
则称变换T为V中的线性变换。

例7.1线性空间V中的恒等变换或称单位变换
£即
£(«) = a (a E V)
以及零变换o,即
o(a) = 0 (tz G V)
都是线性变换.
例7.2设V是数域P上的线性空间，£是P中的某个数，定义V的变换如下：
a Tka,« G V.
这是一个线性变换，称为由数£决定的数乘变换，可用K表示•显然当比=1时，便得恒等变换，当比=0时, 便得零变换.
例7.3在线性空间P［x］或者冲，求微商是一个线性变换•这个变换通常用©代表，即
①(/(x)) =f V)-
例7.4定义在闭区间［%闰上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表•在这个空间中变换
9(/(兀))二
是一线性变换.
例7.5在疋中，定义下列变换：对任意的
x2G7?3,
((、& +勺) (5 丫(1 ] T A：?—兀3x2—0任丿丿<旺J k宀丿丿宀丿
试确定它们是否为线性变换?
5、Ji''X] + X
T(兀2+)；2)=T x2 + y2
宀丿
"+旳丿
厂坷+比+£ +力、丫X] + £ '、1+力、勺+『3= +『3
< K + >1 )
＜州丿< >1 >
解对任意的x29G R和数£ GR,
= T / 卜、
兀2
任丿
5'、
+ T
‘刃
、
宀丿
g、
•
(kx x + 总
2、
' k x2=T kx2= kx§
卫3八l鋼丿
+ 无2'5、
=k兀3=^T兀2
<兀I )
故T是线性变换;
/ 01
、( ( \
r 1 )
T i x2+ 『2=T.兀2 +丁2=0 ，（儿
丿
/
（勺+儿丿" + )5
（、兀1/ 、〔］
、
< 2、
兀2+ T.y2—
—
0+0——0
U3 J<^3>宀丿」丿
上两式不等，故T］不是线性变换。

同理可验证T?也不是线性变换。

（也可取特殊的向量来验证不是线性变换）
二、线性变换的性质
命题7・1设V是n维线性空间，T是V的一个线性变换，则有：
(1)T(O) = O，T(—&) = —T(a)；
(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变•即
T 伙“]+ k2a2+ …+k m a m) =灯(也)+ 炽
厲)+ …+kj(%)；
(3)若％卫2,…线性相关,
则T(e), T@ T(£j也线性相关o
证明此命题的证明请读者自己证之。

注意命题7.1 (3)的逆命题是不成立的。

即若•…，匕〃线性无关,则T(Q]), T(Q2T(Q“)不一定线性无关o (如前面的微分变换)
§2线性变换的运算
一、线性变换的乘法
设丸$是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(«)) (a eV).
则线性变换的乘积也是线性变换.(自己验证)
线性变换的乘法适合结合律，即
汎(B)CgC)・
但线性变换的乘法不适合交换律•例如，在实数域上的线性空间中，线性变换
® (/(Q)二广(x)・
夕</W)=\af^dt
的乘积但一般
对于任意线性变换夬，都有
二、线性变换的加法
设见$是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和夬磁为
(X+«)(«)=人(«)+® (a) (a eV). 则线性变换的和还是线性变换(自己验证).
线性变换的加法适合结合律与交换律，即
久+©+C戶佻刚+C・
对于加法,零变换o与所有线性变换夬的和仍等于见
A+O=A・
对于每个线性变换见可以定义它的负变换(-^): (-
夬)(&)=-夬(a) («eV).
则负变换(-夬)也是线性变换，且
夬+ (-J) =0.
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
三、线性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换夬的
数量乘法定义为
即
= (&))二心(Q),
当然夬还是线性变换•线性变换的数量乘法适合以下的规律：
(kl)%= k (I处,
(k + "=kx+l%, kg^)=kx+k ⑪
1夬=夬・
线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.
V的变换J称为可逆的，如果有V的变换®存在，使
坯S期
这时，变换$称为夬的逆变换，记为夬」・如果线性变换夬是可逆的，那么它的逆变换夬j也是线性变换.
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换夬
重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关•因此当斤个(〃是正整数)线性变换夬相乘时，就可以用
"个
/—A—、
AuA • • • A
来表示，称为夬的斤次幕，简记为夬〃•作为定义，令A°=
<E.
根据线性变换幕的定义，可以推出指数法则：
A"1+n = A，n A n，锐")"=才"(m, n>0)
当线性变换夬可逆时，定义夬的负整数幕为
<n=U_1)，7(n 是正整数).
值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
02)"工才扩・
设
/W = + ^m-\x，n~X +--- + ^o
是P[x]中一多项式，夬是卩的一个线性变换，定义
f 0?)=a m^m + a m-l^m 1 -------- a0(E
显然/ (夬)是一线性变换，它称为线性变换貝的多项式.
不难验证，
f U)
g S 二g 5 f S・
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.
例在线性空间PW n中，求微商是一个线性变换，用©表示•显然有
(D U = 0.
其次，变换的平移
/（久）T/（久+ "） ciwP
也是一个线性变换，用夕。

表示•根据泰勒展开式
2 + °） = ./（A ） + af f （A ） +1
厂⑷ + 因之9°实质上是©的多项式： a 2 9 =c+a （D+ ——© 1 ---------- ° 2!
§3线性变换和矩阵
一、线性变换关于基的矩阵
设V 是数域Phn 维线性空间・°，6,…0”的 一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间V 中任意一个向量纟可以被基6，勺，…，6线性 表出，即有关系式
§ =坷® +兀2*2 + …+ （1）
其中系数是唯一确定的，它们就是纟在这组基下的坐 标•由于线性变换保持线性关系不变，因而在f 的像 夬纟与基的像夬斫，恥2,…，％5之间也必然有相同的关 系：
A^A （兀问+兀2勺+…+ x^n ）
=无/（£］）+%2夬（£2）+…+ 兀丿（£”） ⑵
上式表明，如果知道了基£\心、…心的像，那 么线性空n-1
“刁(小
间中任意一个向量纟的像也就知道了，或者说
1.设6宀，…，6是线性空间V的一组基，如果线性变换夬与龙在这组基上的作用相同，即
昭=(BJ, i = 1，2,…，弘那么A= ®.
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定•下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2.设6，勺，…,6是线性空间v的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换A 使
= i = 1,2,- -,n ・
定理1设…，6是线性空间V的一组基，Q I©2,…，％是V中任意〃个向量•存在唯一的线性变换夬使
= i = 1,2,- -,n ・
定义2设5心，…是数域P上〃维线性空间V的一组基，夬是V中的一个线性变换•基向量的像可以被基线性表出：
= %]g] +6/21^2 + • — 516,
=么12&1 +•— a ]门£n ，
A S n = U \n S \ + U 2n £2 + …+ f -
用矩阵表示就是
A （®,6,…，6）=（夬（®）,貝（6），…，夬（务））
=（6，£2,…，6）4 （5）
其中
矩阵A 称为线性变换夬在基 ％2，…，6下的矩阵.
Da x = 3%2 = 0&] + 3a 2 + Oa 3 + Qa 4
Da 2 -2x- OQ I + 0a 2 + la 3 + 0a 4
Da 3 =1 = OQ I + Oa 2 + Oa 3 + la 4
Da 4 = 0 = OQ] + 0a 2 + 0勺 + 0a 4
所以D 在这组基下的矩阵为
解: a \\ a \2 Cl \n
a n2 …a nn
例1在R[X ]4中，取基
求微分运算D 的矩阵。

<0 0 0 0>
3 0 0 0
A二
0 2 0 0
(0 0 1 0丿
例2设看耳、…卫m是〃（兀> 加）维线性空间
V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基
°，6，…,6・指定线性变换人如下
如此确定的线性变换J称为子空间W的一个投影•不难证明
夬2=夬
投影在基6下的矩阵是
<1 ）
1
1
O
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的〃维
线性空间卩的线性变换到数域戶上的nxn矩阵的一个映射•
前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明 这个映射是满射•换句话说，在这二者之间建立了一个 双射•这个对应的重要性表现在它保持运算，即有
定理2设°，勺，…，①是数域P 上〃维线性空间 V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5） 对应一个nxn
矩阵，这个对应具有以下性质： 1） 线性变换的和对应于矩阵的和；
2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;
4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对 应于逆矩阵.
定理2说明数域Phn 维线性空间V 的全体线性 变换组成的集合厶（卩）对于线性变换的加法与数量乘 法构成F 上一个线性空间，与数域Phn 级方阵构成 的线性空间同构.
定理3设线性变换夬在基…，6下的矩阵 是A ,向量§在基…，6卜的坐标是 （兀1，兀2，・：占），则夬纟在基％2,…，6卜的坐标 01*2,…，儿）可以按公式
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系. / 、 ■ =4 5、
兀2 ■
计算.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的. 一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵•为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的•同一线性变换在不同的基下的矩阵一般是不一样的。

现在我们来寻找它们之间关系。

定理4设匕是n维线性空间，向量组
（1）。

1心2,…，勺；
（2）01，02,…,0”，
是匕的两个基，由基（1）到基（2）的过渡矩阵为X, 若线性变换T在基（1）下的矩阵为A,在基（2）下的矩阵为B,则有B = X'}AX,即同一线性变换在两个不同基下的矩阵是相似的。

且相似变换矩阵X就是由基（1）到基（2）的过渡矩阵。

证根据定理的假设有
(01，02,…，禹)=(。

1心2,…,％)X (7-1)
Ta，Q2，・，£)=(Qi，Q2，「％)A <7-2)
T0,02，-,0”)=(0I，02，-，0,M(7-3)
另一方面，由(7・1)式及(7-2)式，又得
T(0i，02，—,0“)= T[(a],a,・「M)X] = T(a],Q2，「％)X
= (a19a2a n)AX
=(/?1,/?2,---,/?
)X_1AX(7-4)
ZZ
比较(7-3)式及(7-4)式，注意到0],02,…,0〃是一个基，得
B = X'}AX
定理4告诉我们，同一个线性变换在不同基下的矩阵之
间的关系是相似关系.
定义设A, B为数域P上两个〃级方阵，如果可以找到数域P上的斤级可逆方阵X ,使得B = X-[AX,就说4相似
于B,记作4〜B.
这种相似关系具有下面三个性质:
1.反身性：4〜4
2.对称性：如果A〜B,那么B〜A.
3.传递性：如果A〜〜C,那么A〜C. 定理5线性变换
在不同基下所对应的矩阵是相
似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果
B{^X~{A X X,B2 =X_1A2X,那么
B、+B2=X'\A i +A2）X, B{B2=X T（A/2）X 由此可知，如果B = X-[AX,且/（兀）是数域P上一多项式，那么
f（B） = X~l f（A）X
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例4设V是数域P上一个二维线性空间，6,6 是一组基，线性变换夬在0,6下的矩阵是
j 2 1、
°?
计算夬在V的另一组基〃I，〃2下的矩阵，这里
（1 _1）
（〃1卯2）=（22）[
（—1丄丿
（2 1V
（课本上是要算）
oj
解：所求矩阵为
(1 -1)-1(2 1、r 1 -1、H 1]
、一 1 <-1 。

丿（一 1 2
丿
<0
§4特征值与特征向量
一、线性变换的特征值和特征向量的概念
定义1设夬是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数2,存在一个非零向量；使
鷹二几§・(1)
那么2称为几的一个特征值，而§叫做A的属于特征值2的一
个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后, 保持在同一条直线上，这时或者方向不变(兄>0)或者方向相反S < 0)，至于(A = 0)时，特征向量就被线性变换变成0.
如果纟是线性变换夬的属于特征值久的特征向量，那么§的任何一个非零倍数比孑也是夬的属于特征值久的特征向量•这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的•相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法
设W是数域Phn维线性空间，0，勺，…是它的一组基，线性变换夬在这组基下的矩阵是设入是特征值，它的一个特征向量§在…，6下的坐标是兀“2,…心，则夬g的坐标是
话的坐标是
因此（1）式相当于坐标之间的等式
X n)
或
/ \ 兀1
（2E-A ）勺=0
■
■
这说明特征向量纟的坐标（坷，兀2,
•••，
%）满足齐次方程 组
x i
£
X n)
X n)
均內 + a [2x 2 + …+ a Xn x n = Xx {,
°21兀1 + U 22X 2 + …+ a 2n X n =加2，
[a n[x { + a n2x 2 +• • • + a nn x n = Ax n ,
、—a n\X \ - a n2X 2 +(^0 _ a nn )X n = °，
由于纟工0,所以它的坐标兀“2,…心不全为零，即齐 次方程组有非零解•而齐次方程组有非零解的充要条
件是它的系数行列式为零，即
定义2设A 是数域P 上一个〃级矩阵説是一个
数字•矩阵AE-A 的行列式
~a \n
\AE-A\ =
叫做矩阵A 的特征多项式，这是数域P
上的一个〃次多\AE-A\ = a 2n a
n\ a n2 …久—U mi
~a 2\X \ +(A) - a 22)%2
a 2n X n =°，
久一
你 -a
2\
• • • -a n\
项式.
上面的分析说明，如果几是线性变换夬的特征值, 那么2—定是矩阵A的特征多项式的一个根；反过来，如果久是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即|A£-A| = O,那么齐次方程组(3)就有非零解. 这时，如果(兀1，兀2,…凡)是方程组(3)的一个非零解，那么非零向量
= X\S\ +兀2&2 +・・・+ £6)
满足(1)，即几是线性变换夬的一个特征值，纟就是属于特征值几的一个特征向量.
因此确定一个线性变换夬的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1 •在线性空间V中取一组基。

宀，…，6,写出夬在这组基下的矩阵
2•求出A的特征多项式|AE-A|在数域P中全部的根，它们也就是线性变换夬的全部特征值；
3•把所求得的特征值逐个地代入方程组(3),对于每一个特征值，解方程组(3),求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基…心下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为4的属于这个特征值的特征向量.
例1设线性变换夬在基6芒2,6下的矩阵是
22、
A =21 2 ,
<22
求夬的特征值与特征向量.
例2在空间P[x]n中，线性变换
= f f(x)
X2X n~[
在基1£—,——下的矩阵是
2! (斤一1)!
‘0 1 0 --- 0
0 0 1 ••• 0
D= .............................
0 0 0 1
,0 0 0 •- 0
D的特征多项式是
因此，D 的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程 组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能 是任一非零常数•这表明微商为零的多项式只能是零 或非零的常数.
容易看出，对于线性变换夬的任一个特征值2°, 全部适合条件
jia =
的向量Q 所成的集合，也就是夬的属于人的全部特征 向量再添上零向量所成的集合，是卩的一个子空间， 称为夬的一个特征子空间，记为比）・显然，匕）的维数 就是属于久0的线性无关的特征向量的最大个数•用集 合记号可写为：
= {a I Aa = A o a,a c V}
\AE-D =
=无・
大家已经看到，线性变换的特征值、特征向量的研 究，是转化为矩阵的特征值、特征向量来进行的。

下面补充：
矩阵的特征值与特征向量
•、矩阵的特征值与特征向量
定义：设A 为n 阶矩阵，如果
数2和非零向量0,使得
则称九为A 的特征值，a 为对应于特 征值九的特征向量。

同样，也称九为对 应于特征向量Q 的特征值。

注意：特征值问题是对方阵而言
的，特征向量a —定是非零向量。

由（牛1）可知，若血是矩阵A
的特征值，％为对应于心的特征向 Acc = Xcc (4-1)
量，则％为齐次线性方程组
(A^E —A L)X — 0
的非零解。

反之，若能找到数血，使得齐次线性方程组= 0有非零解，则心
是A的一个特征值，这个方程组的任何一个非零解都是血对应的特征向量。

因而，由齐次线性方程组解的理论可知
(1)血是矩阵A的特征值的充要条件为行列^\^E-A\=0
(2)若…,乞都是矩阵A 对应于特征值'o的特征向量，心，心，…人为数，且
+ • • • + k s oc s H 0
则£“1 + k 2a 2 H --------- F k s a s 也
是矩阵A 对应于特征值心的特征向 量。

定义：设矩阵A =L n
久_尙］_%2 … _切
_〃21 久 _勺2 …-^2/7
~a
n\ 一知2 ••-几_% 为矩阵A 的特征多项式。

称九的方程 I 心 E —AI=O (4-3)
为矩阵A 的特征方程。

由行列式的定义可知(4-2)的展
开式为X 的〃次多项式，依代数基 本定理可以证明，在复数域中，〃阶 矩阵A 的特征方
\AE-A\=
(4-2)
程（4-3）恰有〃个根（k重根算作k个根）。

二、特征值与特征向量的求法
求矩阵A的特征值与特征向量的步骤如下：
（1）计算A的特征多项式（4-2）, 并求出特征方程（4-3）的所有的根，设矩阵A 有S个不同的特征根
（2 ）对A的每个特征值
A0* = 1 ~ s）,求齐次线性方程组
（2z E-A）x = 0
的基础解系。

设它的一个基础解系为
SS，…，％ ,那么，
另為q(其中每&“…，心为不同时为零
>1
的任意常数)即为矩阵A对应于人的全部特征向量。

‘0 1 1、
1 0 1
例设矩阵A = 1 1 Q，求A的
\丄U丿
特征值和特征向量。

解：
2 -1 -1
I AE— AI—— 1 X — 1 =(2-2)(2+ 1尸
-1 -1 2
所以，A的特征值为A =2 ,
—1
当久i=2时，解方程
—1
1 -1A f-1] 0 ,故与兄
2 =兄
3 = —1对 (2E-A)x = 0,
得其基础解系为；,故与A = 2
对应
V7
零的常数）
当久2=人=-1时，解齐次线性方程 组（_E_4）x = 0，得基础解系 -1 -1、
〔0、 2 -1
x 2 = 0 -1 2, b 丿 0
的全体特征向量为
k x 1 （心为不等于
2 即 ⑴
应的全体特征向量为
J1
1+比30
3丿丄
其中伦，心为不同时为零的任意常数)。

‘-1 1 0、
例设矩阵为A = ~4 3 0，求A
I 1 0 2丿
的特征值和特征向量。

解
-1-2 1 0
\A-AE\= -4 3-2 0 = (2 - 2)(1-2)2
1 0 2-2
所以，A的特征值为A =2 , 血=人i .
当入=2时，解方程
(2E-A)x = O w
得其基础解系为° ,故与入=2,对⑴
k} 0 7
应的全体特征向量为1 (V为不等
I丄丿
于零的常数)
当A = ^3 = 1时，解齐次线性方程组(E-A)X = Q，得基础解系为
1 ,故与几2=几3=1,对应的全
(-1)
体特征向量为B ~2(他为不等于零
J 1丿
的任意常数)。

例设矩阵A为对合矩阵(即A2=E\且A 的特征值都是1,证明：A=Eo
证由A2=E可得
(A+E) (A—E)二O
由于A的特征值都是1,这说明
—1不是A的特征值，即
IA+EIX)
因而A+E可逆，从而(A—E) =O有
A=E O
三、特征值与特征向量的性质
设n 阶矩阵A =輛L”的特征值 为人厶,…,2“,由多项式的根与系数 之间的关系，不难证明：
定理4・1设久1，久2,…，血为n 阶矩 阵A =輛Lt 的特征值，贝!J
n n
（1）=£5
v 1 7 7=1 匸 1
⑵ n z >=IAI
J =i 请读者证明之。

（看特征多项式的系数•在
的展开式中，有一项是主对角线上元2 _ % 2
_ % ]
a
n\ ~a n2
素的连乘积
（2 —］）（几一。

22 ）…（久一a nn）
展开式中的其余项，至多包含2个主对角线上的元素，它对兄的次数最多是〃-2.因此特征多项式中含久的斤次与斤-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
才 _ （知 + 如+ …+ a nn）2n_1.
在特征多项式中令几=0,即得常数项l-A|=（-ir|A|.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
\AE-A =
/T 一（知 + 如---------- 卜a nn）A/,_1 4 --------------------- （-l）n|A|
由根与系数的关系可知，A的全体特征值的和为a xl+a22+--- + a nn（称为A的迹）.而的A全体特征值的积为|A|.）定理4・2设人，几2,…，人是II阶矩阵A的S个不同的特征值，如如…，逐分别是它们的特征向量，则©“2,…，逐线性无关。

（即不同特征值对应的特征向量线性无关）证明留给读者。

推论设人，兄2,…，入是n阶矩阵A 的s个不同的特征值，s’s，…‘叫是矩阵A的对应特征值人的特征向量（i=l〜s），则
，%2，…•，^sr
线性无关。

证明留给读者。

矩阵的特征值还有如下的性质命题
(1)矩阵A与A的转置有相同的特征值。

(2)设九是矩阵A的特征值，则 /是A"的特征值(其中m是正整数)。

(3)护—22 + 3 是A 彳—2A+3E的特征值。

(4)若矩阵A可逆，九是矩阵A的
丄
特征值，则亍是矩阵4“的特征值
证明(留作习题) 相似矩阵的性质相
似矩阵具有如下的性质：下设
A, B都是n阶矩阵。

性质4.1若n阶矩阵A与B相似，则(1)同=冈；(2) A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同(但注意：特征向量不一定相同)。

(注意：特征多项式相同的矩阵不一定是相似的•例如
它们的特征多项式都是(2-1),但A和
B不相似，因为和A相似的矩阵只能是
A本身・)
证明因A与B相似，即有可逆矩阵P, = B
故
|2E-B| = hP^EP - P~l AP
=P_1||2E-A||P| = |2£-A o 推论若n阶矩
阵A与对角矩阵 a :
久2
A= 2
■
■
■
相似，则入，久2,…，血即是A的n个
特征值。

性质4・2若A~B ,且矩阵A可逆, 则
矩阵B也可逆，且〜B"。

证由性质4.1,当A〜B时，
detA=detB,所以，当detA^O时必有
detBHO,即A可逆时B也可逆。

设P 为可逆矩阵，且P AP = B，则
B 1 =(P AP) 1=F 'A P 即“ ~A。

§5对角矩阵
定理设夬是〃维线性空间V的一个线性变换，夬的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是貝有〃个线性无关的特征向量.
定理属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
【证明见课本300页】
推论1如果在川维线性空间v中，线性变换夬的特征多项式在数域P中有〃个不同的根，即夬有〃个不同的特征值，那么J在某组基下的矩阵是对角形的.
推论2在复数上的线性空间中，如果线性变换夬的特征
多项式没有重根，那么夬在某组基下的矩阵是对角形的.
〃维线性空间U的线性变换若没有个〃不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂一些.
定理如果人，…，人是线性变换夬的不同的特征值，而f
是属于特征值人的线性无关的特征
向量，i = 1,2,…，A:那么向量组
°11，…，勺，…。

小kq也线性无关・
根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值
的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的•如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形•换句话说，设夬全部不同的特征值是入，…，人,于是夬在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是夬的特征子空间冬，•…，冬的维数之和等于空间的维数•
应该看到，当线性变换夬在一组基下的矩阵A是对角形时：
A= ° 九0■- °
I。

0 0…九丿
夬的特征多项式就是
^AE— A| = （/I —入）（A —希）…（兄—&）
因此，如果线性变换夬在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是A
的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.
根据前面的分析知，一个线性变换的矩阵能不能
在某一组基下是对角阵的问题就相当于一个矩阵是不是相似
于一个对角矩阵的问题（这就成了矩阵的对角化问题）.
例在§4的例1中，已经算出线性变换貝的特征
值是-1 （二重）与5,而对应的特征向量是
由此可见，夬在基岳，§2，§3・下的矩阵为对角矩阵
pi 0 0)
B= 0 -10
,0 0 5,
而由到的过渡矩阵是
< 10 1、
X =0 1 1
<-1-1
于是，X'x AX=B.
例3 R[X]3内取定一组基l,x.x2,x3,在[兀]3
内定义一个线性变换T如下，若
P(x) = 00 +a{x + a2x^ + a3x；
则TP(兀)=a3 + a^x + a{x^ + a^x。

(1)求T在基1,X,X2,X3H的矩阵；
(2)求一个基使T在该基下的矩阵为对角阵。

解(1)
因为
T(l) = x3, T(x) = x1, T(x2)=兀,T(x3 ) = 1,
故
‘0001
T(1,X,X2,X3) = (1, x,x2,x3)0010 0100 1000
0 0
即在该基下的矩阵为
0丿
得A 的
A =1（二重）人=—1（二
重）
(3)由丨 A-AEi
=0
⑴ 0
9
1 A 的属于入的特征向量为=
0 ,a 2 = 1
丄
A 的属于久2的特征向量为勺
因此
注意A 的特征值也是线性变换T 的特征值, T 的属于人的特征向量为
1
、
§1=(1， X, X 2
,
%3
)
T的属于久2的特征向量为
于是匚§2，§3<4构成川刘3的一组基，T在这组基下的矩阵为
<1 00
1
0、
A =
00_10
<000
即有
<1000、0100
T（&，§2，§3，§4）= （&，§2，§3，§4）
00-1 0 <000 -L
§6线性变换的值域与核
定义6设夬是线性空间卩的一个线性变换，貝的
全体像组成的集合称为夬的值域（也叫夬的象空间）, 用夬V 表示•所有被夬变成零向量的向量组成的集合称为夬的核，用A~[（0）表示.
若用集合的记号则
AV = {A^\^eV},
才（0）w = o,冷}
命题：线性变换的值域与核都是卩的子空间.
定义：夬V的维数称为貝的秩，（0）的维数称为夬的零度.
例1在线性空间P[x]n中，令
则©的值域就是P[x]/Z_r（D的核就是子空间P・
例2设有n阶矩阵
其中
定义中的变换y =
T(x)为
T(%) = Ax,(x G R n
)
则T 为线性变换。

这是因为
设 a,bwR”,则
T(a + b) = A(a + b) = Aa +Ab = T(o) + T(b) T 伙 d) = A(ka) = kAa = ZsT(u)。

又，T 的值域就是由如卫2,…，色所生成的向量空间 T(/?") = {y = x {a { + x 2a 2--+x n a n \x v x 2<--,x n 6R}；
T 的核T - (0)就是齐次线性方程组Ax = 0的解 空
间。

定理设夬是〃维线性空间U 的线性变换， °, 6，q 是卩的一组基，在这组基下人的矩阵是 A,贝U
a
n
a
i2 …
a
\n
A
二
a
2\
6^22 …a 2n
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
■
<^/?1
a
n1
• • • ci nn 丿
、
山2,…")
1
1
(证明见课本P305)
§ 7不变子空间
对于给定的〃维线性空间U,夬u厶(V),如何才能选到U 的一个基，使J关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的•因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的〃阶矩阵中，如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.
定义7设夬是数域戶上线性空间V的线性变换,W是U 的一个子空间•如果W中的向量在J下的像仍在W中，换句话说，对于W中任一向量有就称W是夬的不变子空间，简称夬-子空间.
例1整个空间V和零子空间{0},对于每个线性变换夬，都是夬-子空间.
例2夬的值域与核都是夬-子空间.
例3若线性变换夬与＜2是可交换的，则（B的核与值都是夬-子空间.
因为夬的多项式/U）是和夬交换的，所以/O）的值域与核都是夬-子空间.
例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系•设W是一维夬-子空间，§是"中任何一个非零向量,它构成W的一个基•按壬子空间的定义G W , 它必是§的一个倍数：
鷹=久0§ •
这说明§是貝的特征向量，而W即是由纟生成的一维夬-子空间.
反过来，设f是夬属于特征值久0的一个特征向量，则§以及它任一倍数在貝下的像是原像的久°倍，仍旧是f的一个倍数•这说明纟的倍数构成一个一维夬-子空间.
显然，夬的属于特征值2。

的一个特征子空间叫也是夬的一不变子空间.
夬-子空间的和与交还是夬-子空间.
设夬是线性空间V的线性变换，W是夬的不变子空间•由于W中向量在夬下的像仍在W中，这就使得有可能不必在整个空间V中来考虑貝，而只在不变子空间"中考虑貝，即把夬看成是W的一个线性变换, 称为j在不变子空间W上引起。