数学物理方程-第五章格林函数法

第五章 格林函数法
在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问
题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.
§5⋅1 格林公式
在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.
设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在
Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.
如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为P
x
∂∂或x P 等等.
设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式
(
)P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω
∂Ω
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1) 或者
(
)(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ
∂Ω
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z
∂∂∂
∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R =，则Gauss 公式具有如下简洁形式
⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇Ω
Ω
ds n F dv F
(1.3)
其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.
注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为
(
,,)(,,) ,
F P Q R x y z
P Q R
x y z
∂∂∂
∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂
形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F . 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为
(
,,)(,,)f f f
f f x y z x y z
∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .
设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得 ()u v dV u v nds Ω
∂Ω
∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ (1.4)
直接计算可得
v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)
其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得
v
u vdV u
ds u vdV n Ω
∂Ω
Ω
∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.
在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得
u
v udV v
ds v udV n Ω
∂Ω
Ω
∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得
()()v u
u v v u dV u
v ds n n
Ω
∂Ω
∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.
设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -
==引入函数 001
(,)4P P
P P r πΓ=
，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得
00(,)0, P P P P ∆Γ=≠
即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.
设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,
则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有
()G
G
u udV u
ds n n
∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者
()()G
B
u u udV u
ds u ds n n n n ∂Ω
∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9) 在球面B ∂上，
02
1
()41
4P P r n r
r r ππ∂∂Γ∂Γ
=-=-=
∂∂∂， 因此
2
1(,,)4B
B
u
u
ds ds u x y z n π
ε
∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)
其中(,,)P x y z B ∈∂.
同理可得 14B
B
u u ds ds n n πε
∂∂∂∂Γ
=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)u
x y z n ε∂'''=∂ (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈∂.
将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有
0(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u
x y z n ε∂'''→∂，
并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得
()(,,)u
udV u
ds u n n
ξηζΩ
∂Ω
∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰， 即
(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂Ω
Ω
∂∂Γ
=Γ
--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界
∂Ω上u 及n
u
∂∂的值表示.
注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green
第三公式, 需要取011
(,)ln 2P P r
πΓ=
，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，
r =0P P r =0||P P -=
此时Green 第三公式也成立.
§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数
基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.
5．2.1 基本解
设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)
001
(,,)(,)4P P
u x y z P P r π=Γ=
(2.1) 易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程
0(,)u P P δ-∆= (2.2)
其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.
当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为
0011
(,)ln
2P P
P P r πΓ=
(2.3)
其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P P r =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程
0(,)u P P δ-∆= (2.4)
其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.
注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.
5．2.2 Green 函数 考虑如下定解问题
(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,)
(2.6)
u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨
=∈∂Ω
⎩
设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得
(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂Ω
Ω
∂∂Γ
=Γ
--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7) 在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和
自由项求出，即有
u
ds ds n n ϕ∂Ω
∂Ω
∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰
udV f dV Ω
Ω
Γ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
而在u ds n ∂Ω
∂Γ
∂⎰⎰中，u
n
∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理. 注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)u
x y z n
ϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项u
ds n
∂Ω
∂Γ
∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.
如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7) 右端第一项u
ds n
∂Ω
∂Γ
∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解. 设h 为如下定解问题的解
0,(,,)(2.8),(,,)
(2.9)
h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨
=-Γ∈∂Ω
⎩
在Green 第二公式中取v h =得
()h u h udV u
h ds n n
Ω
∂Ω
∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者
0()u h
h
u ds h udV n n ∂Ω
Ω
∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10) 将(2.7)和(2.10)相加得
(,,)()u G u G
u ds G udV n n ξηζ∂Ω
Ω
∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11) 其中0(,)G P P h =Γ+.
由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解
00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)
(2.13)
G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω
⎧⎨
=∈∂Ω⎩
0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.
由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得
(,,)G
u u
ds G udV n ξηζ∂Ω
Ω
∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ G
ds GfdV n ϕ
∂Ω
Ω
∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14) 因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.
§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题
由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.
5．3.1 半空间上Dirichlet 问题
设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题
2
(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)
u f x y z x y z u x y x y x y R
ϕ-∆=∈Ω
⎧⎨=∈⎩
设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，
1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为
0011
1
(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=
其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有
01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P
P δ-∆Γ-Γ=∈Ω
⎧⎨
Γ-Γ=∈∂Ω⎩ 即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有
001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ
011
114r r π
⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
14π
⎡⎤= (3.3)
直接计算可得
3/2
2220
12()()z G G n z
x y ζ
πξηζ∂Ω=∂∂=-=-
∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦
(3.4)
将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得
(,,)G
u ds Gfd n ξηζϕ
ν∂Ω
Ω
∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2
222
00
1(,)2()() (,)(,,)x y dxdy
x y G P P f x y z dxdydz
ϕζπ
ξηζ∞
∞
-∞-∞
∞
∞∞
-∞-∞
=
⎡⎤-+-+⎣⎦
+⎰⎰
⎰⎰⎰
上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.
5．3.2 圆域上Dirichlet 问题
设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题
(,), (,) (3.5)(,)(,), (,)
(3.6)
u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨
=∈∂Ω
⎩
设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即2
01,OP OP R =如图3-1所示 . 由于2
01
OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有 01
~OP M OMP ∆∆
R
OP r r M
P M P |
|010=
1P
01
011
||P M
PM
R r OP r =
图3.1
因此有
01
01111ln ln 022||P M PM
R r OP r ππ-= (3.7) 上式说明函数
01001111
(,)ln ln
22||P P P P
R G P P r OP r ππ=
- (3.8) 在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有
000(,)(,),(,)0,.
G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω
⎧⎨=∈∂Ω⎩
即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.
引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则2
1100
(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表
示0OP 与OP 的夹角，则有
000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-
利用余弦定理可得
0P P r =
(3.9)
1P P r =
(3.10)
将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得
22
22200004
22
20002cos()1
(,)ln 42cos()
R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11) 直接计算可得
R
G G
n ρρ
∂Ω=∂∂=∂∂
22
22
0001
22cos()
R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12) 记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有
00(,)G
u ds Gfd n ρθϕ
σ∂Ω
Ω
∂=-+∂⎰⎰⎰ 22
2022
000()()
1
22cos()
R d R R π
ρϕθθπρρθθ-=+--⎰
- 22222200042220
0002cos()
1(cos ,sin )ln 42cos()
R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπ
ρρρρθθ+--+--⎰⎰
(3.13)
(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.
注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.
注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].
§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题
5．4.1 一维热传导方程半无界问题
为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题
20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪
⎨⎪⎩
该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.
一维热传导方程的基本解为
224(,)() .
x a t
x t H t -Γ=
(,)x t Γ是如下问题的解
20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)
t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨
=-∞<<∞⎩
相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.
为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正
半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为
x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放
的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为
(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6） 利用叠加原理可得原问题的解为
(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞
=-⎰ . (4.7)
若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.
5．4.2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题
20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)
⎧⎪
⎨⎪⎩
一维波动方程的基本解(,)x t Γ为
1
, 2(;) 0, .x at
a x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩
完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为
(,)(,)(,)G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11） 其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为
(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞
=-⎰. （4.12）
注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为
1, 2(;) 0, x at a
x t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩
类似地有
1, 2(;) 0, x at a
x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩
将上面两式代入到（4.12）中并整理可得
1(), 0 2(,)1(), 0.2x at
x at x at at x
d x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.
注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.
注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.
习 题 五
1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明
（1）u udV ds n Ω∂Ω
∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰. （2）2u u udV u ds u dV n Ω∂Ω
Ω∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题
0, (,,)(,,)0, (,,).
xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将
定解问题中的边界条件换为
0, (,,),u x y z n
∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？ Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？ 3*
设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩
其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题
（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.
（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为
0, (,,),u x y z n
∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？
4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中
0(,) 3P P n Γ==
01(,)22P P n πΓ== （2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0, u = (0,) 1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为
(0,)B δ∂的单位外法向量.
（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的
球形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.
5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明
(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ
∂∂Γ=
Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.
6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ
为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题
(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω
⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解
00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩
证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有
(,)G u ds Gfd n ξηϕ
σ∂ΩΩ
∂=-+∂⎰⎰⎰， 其中G h =Γ+.
7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题
(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z u x y z x y z n
ϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为
0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰. 8* 证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足 020010(,), (,),0, .4P P
G P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.
9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题
0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩
10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.
（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.
11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题
0,(,)(,)(,), (,).
u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.
12*
求解定解问题 0,(,,)(,,)(,,),(,,).
u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.
13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题
(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.
k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明
2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω
14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P r
πΓ=
满足 ()()u x y δδ-∆=， 其中
xx yy r u u u =∆=+.
15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题 0, (,)(,)(,),(,) .
u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.
16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω. 证明调和函数的平均值公式
00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂=
=⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω 内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.
18*
[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.
19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和
第16题类似的结果.
20*
设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足 (,), (,)(,)(,),(,) k k
k u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.
21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.
22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.
（2）求下面定解问题的一个解
0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩
23*
求下面定解问题的一个解
22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解
0, 0<(,0)0, (,)1, 0.
xx yy u u y x u x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解
0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x R
u x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩
26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2
R B Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果
（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R r u u x y u R r R r
-+≤≤+-
其中r = （2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。