高考数学一轮复习课时训练 椭圆 北师大版

A 级 基础达标演练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
( )．
A.12
B.22
C. 2
D.32
解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2
＝b 2
＋c 2
⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝
2
2
. 答案 B
2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 2
9＝1 C.x 2
81＋y 2
45＝1 D.x 2
81＋y 2
36
＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1
3×2a ，∴c ＝3，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 2
72＝1.
答案 A
3．(2012·长春模拟)椭圆x 2
＋4y 2
＝1的离心率为( )． A.
32 B.34 C.22 D.23
解析 先将x 2
＋4y 2
＝1化为标准方程x 21＋y 2
14＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2
＝32
.离心率e
＝c a ＝
32
. 答案 A
4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆
上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26
3
解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2
＝3与椭圆x 2
4
＋y 2
＝1在第一象限的交点，解方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＝3，x 24
＋y 2
＝1，得点P 的横坐标为26
3
.
答案 D
5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．
A.x 24＋y 29＝1
B.x 29＋y 24＝1
C.x 2
36＋y 29＝1 D.x 2
9＋y 2
36
＝1 解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为
32
. ∴a 2－b 2a ＝32
，
∴36－b 2
6＝32.解得b 2
＝9，
∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 2
9＝1.
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是
________．
解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 4
7．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得
sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2
， 设|PF 2|＝1，
则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， ∴离心率e ＝2c 2a ＝3
3.
答案
33
8．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2
＝1的切线，切
点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －1
2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，
即2kx －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2
＋4＝1， 解得k ＝－3
4
，
所以圆x 2
＋y 2
＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，
求得切点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45， 易知另一切点B (1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)， 令x ＝0得上顶点为(0,2)． ∴a 2
＝b 2
＋c 2
＝5，
故得所求椭圆方程为x 25＋y 2
4＝1.
答案
x 25
＋y 2
4
＝1 三、解答题(共23分)
9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若
PF 1⊥PF 2.
试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上，
∴9a 2＋16
b
2＝1.①
又PF 1⊥PF 2，∴
43＋c ·43－c
＝－1， 得：c 2
＝25，② 又a 2
＝b 2
＋c 2
，③
由①②③得a 2
＝45，b 2
＝20. 椭圆方程为x 245＋y 2
20
＝1.
(2)S △PF 1F 2＝1
2
|F 1F 2|×4＝5×4＝20.
10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，
M 为PD 上一点，且|MD |＝45
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x P ＝x ，y P ＝5
4y ，
∵P 在圆上，∴x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫54y 2＝25，
即C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225
＋x －3
2
25
＝1，
即x 2
－3x －8＝0.
∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.
∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1625x 1－x 22
＝
4125×41＝415
. B 级 综合创新备选
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·丽水模拟)若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且
PF 1→
·PF 2→
＝0，tan ∠PF 1F 2＝1
2
，则此椭圆的离心率为( )．
A.
53 B.23 C.13 D.12 解析 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 2|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝5
3.
答案 A
2．(2011·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 2
2
＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△
F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )．
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2011·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为
椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2
，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→
＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2
－c 2
＋y 2
＝c 2
①
将y 2
＝b 2
－b 2a 2x 2代入①式解得x 2
＝3c 2－a 2a 2
c 2
，
又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2
，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
33，22.
答案 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3
3
，22 4．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 2
3＋y 2
＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝
5F 2B →
，则点A 的坐标是________．
解析 根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →
＝(c －2，d )，∵
F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 2
3＋n 2
＝1，⎝ ⎛⎭⎪
⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 52＝1.
解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)． 答案 (0，±1) 三、解答题(共22分)
5．(10分)(2011·大连模拟)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． (1)求椭圆的方程；
(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．
(1)解 (1)依题意，得a ＝2c ，b 2
＝a 2
－c 2
＝3c 2
，
设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32代入，
得c 2
＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)证明 由(1)，知A (－2,0)，B (2,0)， 设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 2
0)，
由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0
x 0＋2
， BM →
＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，6y 0x 0＋2，
BM →·BP →
＝2x 0－4＋6y 2
0x 0＋2＝52
(2－x 0)＞0，
即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．
6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2
？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2
＋y
2b 2
＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
1
a 2＋9
4b 2
＝1，c a ＝1
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得a 2
＝
4，b 2
＝3.
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆
C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 2
1－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同
的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 2
1－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.
又x 1＋x 2＝
8k 1
2k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 2
1－16k 1－8
3＋4k 2
1
， 因为PA →·PB →＝PM →2
，
即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5
4，
所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2
＝54.
即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2
1)＝54
.
所以⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 2
1)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝1
2
.
于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝1
2
x .
【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：
以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.。