三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok

三角形高中线角平分线专项练习30题(有答案)
1 如图，△ ABC 中，/ A=30 ° / B=70 ° CE 平分/ ACB , CD丄AB 于D, DF丄CE 于F.
(1)试说明/ BCD= / ECD ;
(2)请找出图中所有与/ B相等的角(直接写出结果).
2. 如图，AD ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
(1)Z ABE=15 ° / BAD=35 ° 求/ BED 的度数；
(2)在厶BED中作BD边上的高；
(3)若厶ABC的面积为60, BD=5，则点E到BC边的距离为多少?
3. 在△ ABC中，AD是BC边上的中线，若△ ABD和厶ADC的周长之差为4 (AB >AC ), AB与AC的和为14, 求AB和
AC的长.
4. 如图△ ABC中，/ A=20 ° CD是/ BCA的平分线，△ CDA中，DE是CA边上的高，又有/ EDA= / CDB，求 / B的
大小.
5. △ ABC 中，AD 丄BC , AE 平分/ BAC 交BC 于点E.
(1)Z B=30 ° / C=70 ° 求/ EAD 的大小.
(2)若/ B v/ C,贝U 2/EAD与/ C-Z B是否相等？若相等，请说明理由.
6 .在△ ABC中，AD是高，AE是角平分线，/ B=20 ° / C=60 °求/ CAD和/ DAE的度数.
E D
7 .在△ ABC 中.
(1)若/ A=60 ° AB、AC边上的高CE、BD交于点0.求/ BOC的度数.(如图)
(2)若/ A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点0,画出图形，并用量角器量一量/ BAC+ / B0C=
___________ °再用你已学过的数学知识加以说明.
(3)由(1) (2)可以得到，无论/ A为锐角还是钝角，总有/ BAC+ / B0C= _ _ °
R--------------------- C
&在厶ABC中，已知/ ABC=60 ° / ACB=50 ° BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点. 求/ ABE、/ ACF 和/ BHC的度数.
9. 如图，△ ACB 中，/ ACB=90 ° / 1 = / B .
(1)试说明CD是厶ABC的高；
(2)如果AC=8 , BC=6 , AB=10，求CD 的长.
10. 如图，已知△ ABC的高AD，角平分线AE，/ B=26 ° / ACD=56 °求/ AED的度数.
11. 如图，△ ABC 中，/ ABC=40 °, / C=60 °, AD 丄BC 于D , AE 是/ BAC 的平分线.
(1)求/ DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高.
6 .在△ ABC中，AD是高，AE是角平分线，/ B=20 ° / C=60 °求/ CAD和/ DAE的度数.
12. 如图，在△ ABC中，/ ABC=66 ° / ACB=54 ° BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点, 求/ ABE、/ ACF和/ BHC的度数.
13. 如图，在△ ABC中，/ B=60 ° / C=20 ° AD ABC的高，AE为角平分线
(1)求/ EAD的度数；
(2)寻找/ DAE与/ B、/ C的关系并说明理由.
14. 如图，已知：AD是厶ABC的角平分线，CE是厶ABC的高，/ BAC=60 ° / BCE=40 °求/ ADB的度数.
15. 如图，AD是厶ABC的BC边上的高，AE是/ BAC的角平分线，
(1)若/ B=47 ° / C=73 ° 求/ DAE 的度数.
(2)若/ B= a；/ C= 3° ( aV 3),求/ DAE的度数(用含a B的代数式表示)
16. 如图，在△ ABC中，AD是角平分线，/ B=60 ° / C=45°求/ ADB 和/ADC的度数.
17. 已知△ ABC中，/ ACB=90 °CD为AB边上的高，BE平分/ ABC，分别交CD、AC于点F、E,求证：/ CFE= / CEF .
18. 如图(1), △ ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.
(1).若/ C=80 ° / B=50 ° 求/ DAE 的度数.
(2).若/ C>/ B,试说明/ DAE=丄(/ C-Z B).
2
(3).如图(2)若将点A在AD上移动到A '处，A'E丄BC于点E.此时Z DAE变成Z DA 'E, (2)中的结论还正确吗？为什么？
19. 如图，已知△ ABC的周长为21cm , AB=6cm , BC边上中线AD=5cm , △ ABD周长为15cm，求AC长.
20. 我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ ABC的三条内角平分线相交于点I，过
I作DE丄AI分别交AB、AC于点D、E.
(1)请你通过画图、度量，填写右上表(图画在草稿纸上，并尽量画准确)
(2)从上表中你发现了Z BIC与Z BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理.
Z BAC的度数40°60°90°120°
21. 如图，△ ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点0, / CAB=50 ° / C=60 °求/ DAE和/ B0A 的度数.
22. 如图，在△ ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空:
(1BE= =^L
2
(2 ) / BAD= 1
(3
) / AFB= "2
=90°
(4
)S A ABC = S A
ABE
AB=5cm , BC=3cm，那么△ ABM 与厶BCM的周长是差是多少?
24 .在△ ABC中，AB=AC , AD是中线，△ ABC的周长为34cm , △ ABD的周长为30cm,求AD的长.
25.如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？
27. 如图，/ BAD= / CAD，贝U AD是厶ABC的角平分线，对吗？说明理由.
28. 如图，在△ ABC中，AD是BC边上的中线，△ ADC的周长比△ ABD的周长多5cm, AB与AC的和为11cm , 求AC 的长.
29. 如图所示，AD是厶ABC的中线，AE是厶ACD的中线，已知DE=2cm，求BD , BE , BC的长.
30. 如图所示，AD是厶ABC的中线，AB=6cm , AC=5cm，求△ ABD和厶ADC的周长的差.
参考答案:
1. (1)vZ B=70 °CD 丄AB 于D,
•••/ BCD=90 °- 70 °20 °
在厶ABC 中，•••/ A=30 ° / B=70 °
•••/ ACB=180。

- 30°- 70°80°
•/ CE 平分/ ACB ,
•••/ BCE= / ACB=40 °
2
•••/ ECD= / BCE -Z BCD=40。

- 20°20°
•••/ BCD= Z ECD ;
(2)v CD 丄AB 于D, DF 丄CE 于F,
•Z CED=90 °-Z ECD=90 °- 20°70°°
Z CDF=90 °-Z ECD=90 °- 20°70°,
所以，与Z B相等的角有：Z CED和Z CDF .
2. (1)vZ BED是厶ABE的一个外角，
•Z BED= Z ABE+ Z BAD=15 °35°50°
(2)如图所示，EF即是△ BED中BD边上的高.
(3)v AD ABC的中线，BE为三角形ABD 中线,
•• S^ BED= ABC= >60=15;
4 4
•/ BD=5 ,
• EF=2S△ BED阳D=2 >5^5=6 , 即点E到BC边的距离为6.
3. v AD是BC边上的中线，
•BD=CD ,
•△ ABD 的周长-△ ADC 的周长=(AB+AD+BD )-
(AC+AD+CD ) =AB - AC=4 , (2 分)
即AB - AC=4 ①,
又AB+AC=14 ②，
①+②得.2AB=18 ,
解得AB=9 ,
②-①得，2AC=10 ,
解得AC=5 ,
•AB和AC的长分别为：AB=9 , AC=5 .
4. v DE是CA边上的高，
•Z DEA= Z DEC=90 °
vZ A=20 °
•Z EDA=90。

- 20 °70 °
vZ EDA= Z CDB,
•Z CDE=180。

- 70° >2=40 ° ,
在Rt△ CDE 中，Z DCE=90。

- 40°50 °
v CD是Z BCA的平分线, •Z BCA=2 Z DCE=2 >50 °100 ° ,
在厶ABC 中，Z B=180 °-Z BCA -Z A=180。

- 100° -20°60 °
故答案为：60
5. (1)vZ B=30 ° Z C=70°
•Z BAC=180 °-Z B -Z C=80 °
v AE是角平分线，
•Z EAC=_ Z BAC=40 °
2
v AD 是高，Z C=70°
•Z DAC=90 °-Z C=20 °
•Z EAD= Z EAC -Z DAC=40 °- 20°=20°;
(2)由(1)知，Z EAD= Z EAC -Z DAC=_ Z BAC -
2 (90°-Z C)①
把Z BAC=180 °-Z B -Z C代入①，整理得
Z EAD= - Z C -亠Z B,
2 2
•2Z EAD= Z C-Z B .
6. v AD 是高，Z C=60°
•Z CAD=90 °-Z C=90。

- 60 °30 °;
vZ B=20 °,Z C=60°,
•Z BAC=180 °-Z B -Z C=180 °- 20°- 60°=100 °
v AE是角平分线，
•Z CAE=丄Z BAC=丄X100°=50 °,
2 2
•Z DAE= Z CAE -Z CAD=50。

- 30°=20°
7. (1)v BD、CE分别是边AC, AB上的高，
•Z ADB= Z BEC=90 °
又vZ BAC=60 °
•Z ABD=180 ° -Z ADB -Z A=180 °- 90 °- 60°=30 °•Z BOC= Z EBD+ Z BEO=90 °30 °120 °
(2)如图所示：
Z BAC+ Z BOC=180 °
理由如下：v BD、CE分别是边AC , AB上的高，•Z ADB= Z BEC=90 °
vZ ABD=180 ° -Z ADB -Z BAD=180。

- 90°-
Z BAD=90 °-Z BAD ,
Z O=180 °-Z BEO -Z DBA=90 °-Z DBA=90 °-( 90°-Z BAD ) =Z BAD ,
vZ BAC=180 °-Z DAB ,
•Z BAC=180 °-Z O,
•Z BAC+ Z O=180 °
(3 )由(1) ( 2)可得Z BAC+ Z BOC=180 °
&••• BE是AC上的高，
•••/ AEB=90 °
•••/ ABC=60 ° / ACB=50 °
•••/ A=180。

—60。

—50°70°
•••/ ABE=180 °- 90°- 70°20 °
••• CF是AB上的高，
•••/ AFC=90 ° °
•••/ ACF=180。

- 90°- 70 °20 °
•••/ ABE=20 ° ,
•••/ EBC= / ABC -Z ABE=60。

- 20°=40° ,
•••/ ACF=20 ° , Z ACB=50 ° ,
•Z BCH=30 °
•Z BHC=180。

-40°- 30°110°
9. (1)vZ 1 + Z BCD=90 ° , Z 1 = Z B
•Z B+ Z BCD=90 °
•△ BDC是直角三角形，即CD丄AB ,
•CD是厶ABC的高；
(2)vZ ACB= Z CDB=90 °
•- S^ABC=』AC ?BC= <AB ?CD,
•/ AC=8 , BC=6 , AB=10 ,
• CD= = 一• ；：；= ■■:-
I』11
10. vZ B=26 ° Z ACD=56
•Z BAC=30 °
•/ AE 平分Z BAC
•Z BAE=15 °
•Z AED= Z B+ Z BAE=41 11 . (1 )v AD 丄BC 于D,
•Z ADB= Z ADC=90 °
vZ ABC=40 ° Z C=60°
•Z BAD=50 ° Z CAD=30 °
•Z BAC=50 °30 °80 ° ,
v AE是Z BAC的平分线,
•Z BAE=40 ° ,
•Z DAE=50 °- 40 °10 °
(2) AD 是厶ABE、△ ABD、△ ABC、△ AED、△ AEC、△ ADC的高.
12.vZ ABC=66 ° , Z ACB=54 °
•Z A=180 °-Z ABC -Z ACB=180。

- 66°- 54°=60°
又v BE是AC边上的高，所以Z AEB=90 °
•Z ABE=180 °-Z BAC -Z AEB=180。

- 90°-
同理，Z ACF=30 °,•Z BHC= Z BEC+ Z ACF=90 °30 °120 °
13. (1) •••在厶ABC 中，Z BAC=180。

-Z C -Z B=180 -20°- 60°=100°,
又v AE为角平分线，
•Z EAB=_ Z BAC=50 °
2
在直角△ ABD 中，Z BAD=90。

-Z B=90。

- 60°=30°,•Z EAD= Z EAB -Z BAD=50 °- 30°=20°;
(2)根据(1)可以得到：Z EAB=」Z BAC=_ (180 °
2 2
-Z B -Z C)
Z BAD=90 °-Z B,
则Z EAD= Z EAB -Z BAD= —(180°-Z B -Z C)-
2
(90°-Z B) = (Z B -Z C).
2
14. v AD是厶ABC的角平分线，Z BAC=60 °
•Z DAC= Z BAD=30 °
v CE 是厶ABC 的高，Z BCE=40 °
•Z B=50 °
•Z ADB=180 ° -Z B -Z BAD=180。

-30°- 50°=100 °15. (1)vZ B=47 ° Z C=73 °
•Z BAC=180。

- 47°- 73 °60°
v AD是厶ABC的BC边上的高，
•Z BAD=90。

- 47°=43°,
v AE是Z BAC的角平分线，
•Z BAE=_ Z BAC=30 °
2
•Z DAE= Z BAD -Z BAE=43。

- 30°=13 °;
(2)) vZ B= a ； Z C= 3 ；
•Z BAC=180。

- a ° 3；
v AD是厶ABC的BC边上的高，
•Z BAD=90 °- a；
v AE是Z BAC的角平分线，
•Z BAE=丄Z BAC=丄(180。

- a°3°
2 2
•Z DAE= Z BAD -Z BAE=90。

- a °(180°- a -
2
3°
=90 °- a °- 90 a +° 3 ；
=',(3 - a) °
16. vZ B=60 ° Z C=45 °
•Z BAC=180。

- 60°- 45 °75°
v AD为Z BAC的角平分线，
•Z BAD= Z CAD= _ Z BAC=37.5 °
60°=30°
在厶ABD 中，/ ADB=180BAD -/ B=82.5 ° 则/
ADC=180 °-Z ADB=97.5 °.
17.
•••/ ACB=90 °
•••/ 1 + / 3=90°
•/ CD 丄AB ,
•••/ 2+ / 4=90°又••• BE 平分/ ABC , •••/ 1 = / 2,
•••/ 3= / 4,
T/ 4= / 5,
•••/ 3= / 5, 即/ CFE= / CEF.
-50°- 80°=50 °
••• AD是角平分线,
•••/ DAC= / BAC=25 °
2
在厶ADC 中，/ ADC=180 °-Z C -Z DAC=75 °
在厶ADE 中，Z DAE=180。

-Z ADC - AED=15 °
(2)Z DAE=180 °-Z ADC - AED=180 ° -Z ADC -
90°=90 °-Z ADC=90 °-( 180 °-Z C-Z DAC ) =90 °-
(180°-Z C- Z BAC ) =90 °- [180 °-Z C- (180 °
2 2
-Z B -Z C) ]= (Z C-Z B).
2
(3)(2)中的结论仍正确.
Z A'DE= Z B+ Z BAD= Z B+—Z BAC= Z B+—( 180°-
2 2
Z B -Z C) =90°丄Z B -丄Z C;
2 2
在厶DA'E 中，Z DA E=180 °-Z A E D -Z A 'DE=180
-90°-( 90 °+-Z B - - Z C) = (Z C -Z B).
2 2 2
(2)Z BIC= Z BDI，理由如下：
•••△ABC的三条内角平分线相交于点I, •Z BIC=180 °-(Z IBC+ Z ICB)
=180 °-- (Z ABC+ Z ACB )
2
=180 °- (180°-Z BAC )
2
=90+二Z BAC ;
2
•/ AI 平分Z BAC ,
•Z DAI= Z DAE .
2
•/ DE 丄AI 于I,
•Z AID=90 °
•Z BDI= Z AID+ Z DAI=90 °+ Z BAC .
2
•Z BIC= Z BDI .
21. vZ A=50 ° Z C=60 °
•Z ABC=180。

- 50°- 60 °=70 °,又••• AD是高，
•Z ADC=90 °
•Z DAC=180。

- 90°-Z C=30°
••• AE、BF是角平分线，
•Z CBF= Z ABF=35 °, Z EAF=25 °
•Z DAE= Z DAC -Z EAF=5 °
Z AFB= Z C+ Z CBF=60 °+35 °=95 °
•Z BOA= Z EAF+ Z AFB=25 °+95 °=120 °•Z DAC=30 ° , Z BOA=120 °
故Z DAE=5 ° Z BOA=120 °
22. (1)v AE 是中线，
•BE=CE=：BC ,
19.T AB=6cm , AD=5cm , △ ABD 周长为15cm,•BD=15 - 6 - 5=4cm ,
•/ AD是BC边上的中线，
•BC=8cm ,
•/△ ABC的周长为21cm ,
•AC=21 - 6 - 8=7cm .故AC长为7cm.
(2)T AD是角平分线，• Z BAD= Z CAD= Z BAC ,
2 (
3 )T AF 是高，
• Z AFB= Z AFC=90 °
故答案为CE , BC,/ CAD，/ BAC，/ AFC , 2 23. T BM是厶ABC的中线，Z BAC的度数40°60°90°U A 120° 2 ，
Z BIC的度数110°120°135°•/
E C=°E ,
Z BDI的度数110°120°135°
•
'△50EC=2S A ABE
，
(4) S^ABC =
20. (1 )填写表格如下：
............ ........ ―_: -------------------- --- ------------------ --- ------------- S A ABE=—--■
••• MA=MC ,
二 S ABM - S BCM=AB+BM+MA - BC - CM - BM
=AB - BC=5 - 3=2cm.
答：△ ABM 与厶BCM 的周长是差是2cm.
24. 方法1 由题意知：AB+AC+BC=34 ,AB+AD+BD=30 ,•/ AB=AC，BD J BC,
2
'2AB+BC=34®
- i
AB+AD+-BC=30 ②
②X2 得：2AB+2AD+BC=60 ③，
③-①得：2AD=26 ,
•AD=13cm .
方法2：v AB=AC , D 是中点，且AB+AC+BC=34 ,
•BD=_BC , AB=_ (AB+AC ),
2 2
•AB+BD= (AB+AC ) +-BC= (AB+AC+BC ) =17cm
2 2 2
(周长的一半).
■/ AB+BD+AD=30cm ,
AD=30 - 17=13cm.
25. 能.
由题意知：△ ABD的周长=AB+BD+AD ,
△ ACD 的周长=AC+CD+AD ,
又因为AD是BC边上的中线，
所以BD=CD .
•/△ ABD的周长比△ ACD的周长小5,
•AC+CD+AD -( AB+BD+AD ) =AC - AB=5 .即AC与AB的边长的差为5
26. T AD是BC边上的中线，• BD=DC ,
•/ AC=AB , AD=AD ,
•••△ ABD ◎△ ACD (SSS),
ADB= / ADC ,
•// ADB+ / ADC=180 ° °
ADB= / ADC=90 ° °
•AD 丄BC.
27. 错误.
因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是/ BAC的平分线.
28. T AD是BC边上的中线，
•D为BC的中点，CD=BD .
•/△ ADC的周长-△ ABD的周长=5cm .
•AC - AB=5cm .
又••• AB+AC=11cm ,
•AC=8cm .即AC的长度是8cm.
29. T AD是厶ABC的中线，AE是厶ACD的中线,
•BD=CD=2DE=4cm ,
•BE=BD+DE=6cm ,
•BC=2BD=8cm .
30. v AD是厶ABC中BC边上的中线，
•BD=DC= BC,
2
•△ ABD和厶ADC 的周长的差=(AB+—BC+AD )
(AC+21BC+AD ) =AB - AC=1 .
2
2。