函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围; 求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1分母不为零
2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;
4指数、对数的底数大于0,且不等于1
5y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠
二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围;
常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法
4配方法 5换元法 包括三角换元 6反函数法逆求法 7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=21
1)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式2
1
-x 无意义,
而2≠x 时,分式2
1
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-32
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x
-21
同时有意义,
∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解：要使函数有意义,必须： ⎩
⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21
x x
例2 求下列函数的定义域：
①14)(2
--=x x f ②214
3)(2-+--=x x x x f
③=
)(x f x
1
1111++
④x
x x x f -+=0)1()(
⑤3
7
3132+++-=
x x y
解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=
x x f 的定义域为： 3,3-
②要使函数有意义,必须：⎩⎨
⎧≠-≠-≤≥⇒⎩
⎨⎧≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}
③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧x
x x 2
110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x
∴函数的定义域为：}2
1
,1,0|{--≠∈x R x x 且
④要使函数有意义,必须： ⎩
⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01
x x
∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或
⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩
⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R
x
即 x<37
- 或 x>3
7- ∴定义域为：}3
7|{-≠x x
例3 若函数a
ax ax y 1
2+
-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，01
2≥+-a
ax ax
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于
例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域
解：要使函数有意义,必须：
∴函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域为：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤-434
3|x x 例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;
分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1
在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;
注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f2x －1的定义域为0,1;
例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1
练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域
解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}
2460|+≤≤x x
例7已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域
因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;
已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,2
5
-
提示：定义域是自变量x 的取值范围 练习：
已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域
若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是
Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21
Ｃ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21
Ｄ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
已知函数()11x
f x x
+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则
Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求直接法
一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ；
反比例函数)0(≠=k x
k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R, 当a>0
时,值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≥
}；当a<0
时,值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤
}. 例1 求下列函数的值域
① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x
32)(≤≤-=x f
③ x
x y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,
∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略
③ 当x>0,∴x
x y 1
+==2)1(2+-x
x 2≥,
当
x<0时,
)
1
(x
x y -+--==－
2)1(2---
-x
x -≤
∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数x
x y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；
解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是
{y|y ≥-3 }.
②∵顶点横坐标2∉3,4,
当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；
∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.
③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.
④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,
∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.
注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,
⑴若定义域为R 时,
①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a
b a
c y 4)4(2
min -=；
②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a
b a
c y 4)4(2
max -=. ⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.
②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小
即可决定函数的最大小值.
注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置
关系进行讨论.
练习：1、求函数y =3+√2－3x 的值域
解：由算术平方根的性质,知√2－3x ≥0,
故3+√2－3x ≥3;
∴函数的值域为 [)+∞,3 .
2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域
解： 对称轴 []5,01∈=x
例3 求函数y=4x －√1-3xx ≤1/3的值域;
解：法一：单调性法设fx=4x,gx= －√1-3x ,x ≤1/3,易知它们在定义域内为
增函数,从而y=fx+gx= 4x －√1-3x
在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因
此,
所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;
小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的
区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;
练习：求函数y=3+√4-x 的值域;答案：｛y|y ≥3｝ 法二：换元法下题讲
例4 求函数x x y -+=12 的值域
解：换元法设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最
值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;
练习：求函数y=√x-1 –x 的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：平方法函数定义域为：[]5,3∈x 例6 选不要求求函数21x x y -+=的值域
解：三角换元法 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x 小结：1若题目中含有1≤a ,则可设
2若题目中含有122=+b a 则可设θ
θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤
3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2
2π
θπ
<
<-
5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==
其中⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈2,
0πθ 例7 求13+--=x x y 的值域
解法一：图象法可化为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4
x x x x y 如图,
观察得值域{}44≤≤-y y
可得;
解法三：选不等式法
4
14
114)1(134
)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域
练习：1y x x =++的值域呢 )[∞+,1三种方法均可
例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域
解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为
[][]
8,28,3;2,13,12
1
,2max min
2值域为时时对称轴∴====∴∉=
+-=y t y t t t t y
例9求函数x
x y 2231+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛= 的值域
解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭
⎫
⎝⎛=t y t
由指数函数的单调性知,原函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,3
1 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 例11 求函数2
1
+-=
x x y 的值域 -1 0 3
解法一：逆求法{}1121,≠-+=y y y
y
x x 原函数值域为观察得解出 解法二：分离常数法由123
1232≠+-=+-+=
x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结：已知分式函数)0(≠++=c d
cx b
ax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变
量的要求内,值域为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条
件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d
cx c ad
b c a y ≠+-
+
=,用复合函数法来求值域;
例12 求函数1
33+=x x
y 的值域
解法一：逆求法10013<<∴>-=
y y
y
x ()1,0原函数的值域为∴
小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法; 解法二：换元法设t x =+13 ,
则()11
11
31113113>-=+-=+-+=t t y x x
x 练习：y =121
2+-x x ；y ∈-1,1.
例13 函数1
1
22+-=x x y 的值域
解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=
y y
y
x
解法二：换元法设t x =+12 ,则
解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立
2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y
0 1
1 0 1
综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈R
x 设⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则
∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数3
425
2
+-=
x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx
10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得
综合1、2值域}50|{≤<y y
解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则t
y 5=
50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y
例15 函数11++=x
x y 的值域
解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x 解法二：不等式法1当0>x 时,321
≥∴≥+y x
x 2） 0<x 时
综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,
例16 选 求函数)1(1
2
22->+++=
x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x
解法二：不等式法原函数可化为
当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2
例17 选 求函数)22(1
2
22≤≤-+++=
x x x x y 的值域
解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a f
ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式
一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x x
a x y 的单调性去解; 练习：
1 、)0(912
2≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(9122
2+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++
=x x y 或利用对勾函数图像法
2 、3
4252+-=x x y 0<y ≤5.
3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --= 解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为4
9)21(222+--=+-=u u u y ,
②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 4x 2
x m ax =4 ,4x 2
x m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,
由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图
5、求函数x x y -+=142的值域
解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t
代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t
∵t ≥0 ∴y ≤4
6、选求函数6
6522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①
当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0
由此得 5y+12≥0
检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+-
-=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴5
1-≠y
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1
综上所述,函数6
6522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数3
6133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 5
1-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51
-}。