辽宁省葫芦岛市第一高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案

葫芦岛市第一高级中学2016—2017学年度第一学期期中考试
高二数学(理科）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ）
A.对任意的a，b R,都有a2+b2—2a—2b+2〈0
B.菱形的两条对角线相等
C。

x R，x2=x D.对数函数在定义域上是单调函数
2、设a，b，c为实数,“ac=b2"是“a,b，c成等比数列”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件
3、已知方程x2
k-4
+错误!=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值
范围是( ）
A。

(4,10) B。

（7, 10) C。

(4,7) D.(4,+)
4、若x>0,y>0，且1
x
+
9
y
=1，则x+y的最小值为( ）
A.24
B.16
C.12 D。

6
5、已知F1，F2分别是双曲线x2
16
-错误!=1的左、右焦点，点P在双曲线
上，若点P到焦点F1的距离｜PF1｜=9,则|PF2｜=( ）
A。

1 B。

17 C。

1或17 D。

25
6、a n为等差数列,S n为其前n项和,a7=5,S7=21,则S10=（)
A.40 B。

35 C.30 D。

28
7、设x,y满足约束条件错误!，则错误!的取值范围是( ）
A。

错误!,错误!B。

错误!,错误! C. 错误!，错误! D。

错误!，+
8、已知F1,F2分别是椭圆的两个焦点,满足错误!错误!=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A。

(0,1） B.0，错误! C.（0，错误!） D.
2
,1
2
9、在直三棱柱A1B1C1-ABC中，BAC=错误!，｜AB｜=|AC｜=｜AA1｜=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点），若GD EF，则线段DF的长度的取值范围为（）
A。

错误!，1 B. 错误!，2 C. 1，错误! D. 错误!，错误!
10、设a〉0，b〉0，且不等式错误!+错误!+错误!0恒成立,则实数k的最小值等于（)
A。

0 B。

4 C。

—4 D.-2 11、已知双曲线错误!-错误!=1（a〉0，b〉0）的右顶点、左焦点分别为A,F，点B(0,-b)，若｜BA→+错误!｜=｜错误!—错误!|,则双曲线的离心率为（）
A. 错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!
12、过x轴上点P（a,0)的直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，若
错误!+错误!为定值,则a的值为（)
A.1 B。

2 C.3 D。

4
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分
13、若a，→=（1,1，x)，错误!=（1，2,1),错误!=（1,1，1),满足条件（错误!—错误!)(2错误!）=-2，则x=______
14、设x,y满足约束条件错误!，若目标函数z=ax+by（a〉0，b〉0）的最大值为12，则错误!+错误!的最小值为________
15、设F1，F2是双曲线C:错误!—错误!=1（a〉0，b>0)的两个焦点，P 是C上一点,若｜PF1｜+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为_______
16、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x2
a2
+错误!=1（a〉b〉0）上的任
意一点，若PF1F2=,PF2F1=,且cos=错误!,sin（+）=错误!，则此椭圆的离心率为_________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）
已知c0,且c1,设p：函数y=c x在R上单调递减；q:函数f(x）=x2-2cx+1在（错误!,+)上为增函数，若p q为假,p q为真，求实数c的取值范围
18、（本小题满分12分）
设椭圆C:错误!+错误!=1(a>b〉0）过点(0,4)，离心率为错误!
(1）求椭圆C的方程
（2)求过点（3,0)且斜率为错误!的直线被C所截线段的中点坐标
19、(本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1，BAA1=60°（1）证明：AB A1C
(2）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值
20、（本小题满分12分） 正数数列
a n
的前n 项和为S n ，已知对于任意的n Z +，均有S n 与1正的等比中项等于a n 与1的等差中项．
（1）试求数列
a n
的通项公式;
（2）（2）设b n =错误!，数列
b n
的前n 项和为T n ，求证：T n 〈错误!
21、(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形，侧面PAD 底面ABCD ，E ，F 分别为PA,BD 的中点，PA=PD=AD=2 （1）求证：EF ∥平面PBC (2)求二面角E-DF-A 的余弦值 (3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF 平面
EDF ？若存在，指出点G 的位置，若不存在，说明
理由
A
B
C 1
C
1
A 1
A B
C
P
E
D
F
22、（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D,且有｜FA|=｜FD｜，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形（1)求C的方程
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E
（ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
参考答案：
一、选择题 1—5 DBBBB 6—10 AACAC 11-12BD 二、填空题 13、2 14、25
6 15、y=±2x 16、错误!
三、解答题
17、解：p 真0<c 〈1 , p 假c 〉1 , q 真0<c 错误!
, q 假c 〉错误!且
q 1
若p q 为假，p q 为真，则p,q 一真一假 p 真q 假时错误!〈c<1 p 假q 真时不存在 综上所述：
c ｜错误!<c 〈1
18、解：(1）x 2
25
+错误!=1
(2)令直线为y=错误!(x —3）, 直线与椭圆交点A(x 1,y 1）,B(x 2,y 2）,AB 中点(x 0,y 0）
错误!联立：x 2-3x-8=0 所以x 0=错误!=错误! y 0=-错误! 中点为(错误!,—
错误!
）
19、解:(1)略 (2) A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为错误! 20、解：(1）由题意得：()1n n S a n Z +=+∈
故()
2
41n
n S a
=+ …… ① 又
()
2
1141n n S a ++=+ …… ②
②—①得：()()()2
2
11411n n n n S
S a a ++-=+-+
整理得:()()1120n n n n a a a a +++--=， 由已知110,0,20n n n n n a a a a a ++>∴+>--=故
即12n n a a +-=，所以数列{}n
a 为公差2d =的等差数列。

又由()
2
1
141S a
=+可得：11a =
∴21n a n =-。

（2）()()()()
111111
[]212122121n n n b a a n n n n +=
==-⋅-⋅+-+
T n =错误!1—错误!〈错误!
21、
解：(1）连接AC ，则AC 交BD 于F ，证EF ∥
PC 即可
（2)取AD 中点O 建立空间直角坐标系O —xyz(如图) 令面ABCD 法向量为n 1，→,错误!=（0，0，1）,
面EDF 法向量为错误!=（x ，y ，z ） D （—1,0，0）,F （0,1，0)，E （错误!,0，
错误!
）
所以错误!=（错误!，0，错误!）, 错误!=（1，1，0) 错误!得错误!令x=1所以错误!=(1,-1,-3） |cos 错误!
，错误!|=|错误!｜=错误!
因为二面角E-DF-A 是锐角所以余弦值为错误!
(3)令错误!=错误!
因为P(0，0,错误!) ,C(—1,2,0)， F(0，1,0）所以G （—
，2，3—错误!）
∴错误!=(-，2—1,错误!—错误!)与错误!=（1,—1,—错误!）共线 错误!=错误!
=错误!无解 ，所以不存在G
22、解：（1）F(错误!,0) 设D （t,0)（t>0）,FD 的中点为（错误!,0）因为
A
B
C
P
E
D
F
O
x y
z
|FA|=|FD｜，所以
3+错误!=|t-错误!| 解得t=3+p或t=—3(舍) 代入错误!=3 得p=2 所以抛物线方程为y2=4x
(2)（ⅰ)∵F(1，0)设A（x0,y0)（x0y00），D（x D,0）( x D>0），｜FA|=｜FD|∴x0+1=|x D-1｜∵x D>0
∴x D=x0+2 ∴D(x0+2，0）∴k AB=-错误!令l1：y=—错误!x+b代入抛物线得，y2+错误!y-错误!=0
由△=0得b=-错误!设E(x E,y E）则y E=—错误!,x E=错误!当y024时k AE=错误!
直线AE：y—y0=错误!(x—x0），y02=4x0代入得y=错误!（x—1）,所以恒过点(1,0）
当y02=4时x=1也成立, 所以直线AE恒过点F（1，0）
（ⅱ）因为AE恒过点F（1，0）,|AE|=（x0+1）+(错误!+1）=x0+错误! +2
令AE方程：x=my+1,A(x0,y0）代入x=my+1，m=错误!,设B（x1，y1），直线AB：y—y0=-错误!（x—x0)代入y2=4x得y2+错误!y—8-4x0=0，所以y0+y1=—错误!, y1=—错误!—y0, x1=错误!+x0+4 ，
B到直线AE的距离d=错误!=4（错误!+错误!）
所以△ABE的面积S=错误!4(错误!+错误!)(x0+错误!+2）16 ∴x0=1时△ABE面积有最小值为16。