斜二测画法与三视图

立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
⑴棱柱
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'
'
'
'
'E
D
C
B
A
ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'
AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

⑵棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

⑶棱台
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形
②侧面是梯形
③侧棱交于原棱锥的顶点
⑷圆柱
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；
②母线与轴平行；
③轴与底面圆的半径垂直；
④侧面展开图是一个矩形。

⑸圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；
②母线交于圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个扇形。

⑹圆台
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；
②侧面母线交于原圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个弓形。

⑺球体
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

练习1、下列命题中正确的是（）
A、棱柱的底面一定是平行四边形
B、棱锥的底面一定是三角形
C、棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D、棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2、过球面上两点可能作出球的大圆（）
A、 0个或1个
B、有且仅有1个
C、无数个
D、一个或无数个
3、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是条
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

练习1、分别判断下列的正误
⑴、平行投影的投影线互相平行（）
⑵、空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。

（）
⑶、空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

（）
⑷、平行投影的投影线互相平行（）
⑸、空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。

（）
⑹、正方形的平行投影一定是菱形。

（）
⑺、平行四边形的平行投影一定是正方形（）
2、有以下四个命题
①矩形的平行投影一定是矩形
②梯形的平行投影一定是梯形
③两条相交直线的投影可能平行
④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影
的对应的中位线
其中正确命题的个数是（）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
3、如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1
的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形
BFD 1E 在该正方体的面上的投影有__ ____ (填序号
)
）
A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
5、给出下列命题：
① 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③ 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④ 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中正确命题的个数是 （ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
6、下列说法中正确的是（ ）
Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形
Ｃ．矩形的直观图可能是梯形
Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形
7、 三视图均相同的几何体有 （ ）
Ａ．球 Ｂ．正方体 Ｃ．正四面体 Ｄ．以上都对
8、 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）
Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱
Ｃ．圆锥 Ｄ．球体
9、如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )
A. 3
B.32
＋6 C.3＋6 D.3＋4
10、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是( )
A ．22π
B ．12
C ．4π＋24
D ．4π＋32
① ② ③ ④
11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为( )
A ．7＋2，3
B ．8＋2，3
C ．7＋2，32
D ．8＋2，32
12、一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________.
13、画出下面几何体的三视图。

14、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）．
A ．
B ．4
C ．
D ．2
15、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）．
Ａ．283π-
Ｂ．83
π- Ｃ．82π- Ｄ．23π
16、设某几何体的三视图如下图, 则该几何体的体积为
高考试题分析
5．（5分）（2015•重庆文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52
π 由三视图求面积、体积．
空间位置关系与距离．
利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体， 几何体的体积为：=．
故选：B ．
5、（15重庆理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A 、
13
π+ B 、23π+ C 、123π+ D 、223
π+ 答案 A 6. （15全国文、理）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
1A.8 1B.7 1C.6 1D.5
【答案】D
【解析】
试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的
16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.
考点：三视图
6.（15全国文、理）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A. 1727
B. 59
C. 1027
D. 13
答案C
7.（14重庆文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（ ）
A.12
B.18
C.24
D.30
7.C
(7) （14重庆理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 54
B. 60
C. 66
D. 72
(7)【答案】B
【解析】原三棱柱：底面三角形两直角边为3和4，高为4；截掉高为3的上部棱锥后余下的几何体的表面积，，，侧上下2273392318152156+=∙++==
=S S S B
S S S 选侧上下∴60s =++=
8．(2013重庆文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．
A．180 B．200 C．220 D．240
8．
答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，
如图所示，S 上＝2×10＝20，
S 下＝8×10＝80，
S 前＝S 后＝10×5＝50，
S 左＝S 右＝12
(2＋8)×4＝20， 所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240，
故选D．
5．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．5603
B ．5803
C ．200
D ．240 答案：C
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V ＝
12
×(2＋8)×4×10＝200，故选C ．
7、（12全国理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；
②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

练习1、已知正ABC △的边长为a ，那么ABC △的平面直观图ABC △'''的面积为 （ ）
Ａ．24a Ｂ．28a Ｃ．28 Ｄ．216
a
2、 在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段 （ ）
Ａ．平行且相等 Ｂ．平行不相等 Ｃ．相等不平行 Ｄ．既不平行也不相等
3、 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x 轴，底角为45，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ．
8、一个三角形斜二测画法画出来是一个正三角形，边长为2，则此三角形的面积是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 都不对
9、用斜二测画法做出一个三角形的直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（ ）
A 、12
B 、2
C
D 10、已知ABC 的平面直观图///A B C ∆是的边长为a 的正三角形，那么原ABC 的面积为（ ）
A 2
B 2 17、用斜二测画法画各边长为2cm 的正三角形的直观图的面积为___________.
18、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
19边长为a 的正三角形应用斜二测画法得到的直观图的面积为____________ .
14. 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
15、(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22
4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是
A ．28cm π
B 212cm π.
C 216cm π．
D ．2
20cm π 2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
1：一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2，则此
棱锥的高（自上而下）被分成两段长度之比为
A 、1:2
B 、1:4
C 、1:)12(+
D 、1:)12(-。