2019年四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案)

面积的 ，则 BE 的长为
．
16．（7 分）已知关于 x 的方程
恰好有两个实数解，
则 m 的取值范围为
．
17．（8 分）如图，PA 切⊙O 于点 A，PE 交⊙O 于点 F、E，过点 A 作 AB⊥PO 于点 D，交
⊙O 于点 B，连接 DF，若 sin∠BAO＝ ，PE＝5DF，则 ＝
．
18．（8 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD＝5，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°．M 和
即：满足|ab|+|a﹣b|＝1 的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1）或（1，0）或（﹣
1，0）或（1，1）或（﹣1，﹣1）．
∴满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0 的整数对（a，b）共有 6 个．
故选：C．
6．（5 分）在凸四边形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，BD 与 AE 相交于点 O，且 BO＝DO，
2．（5 分）将一个棱长为 m（m＞2 且 m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切
成 m3 个棱长为 1 的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个
表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则 m 等于（ ）
A．16
B．18
C．26
D．32
【答案】C
【分析】只有一个表面染有红色的小正方体的数量为 6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红
∵2019÷10＝201…9，
（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×201+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）
＝45×201+45
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＝9045+45 ＝9090， ∴12+22+32+42+…+20192 的个位数字是 0． 故选：A． 8．（5 分）已知 x+y+z＝0，且
，y＝
，
∵使 x、y 都大于 0 则有 x＝
＞0，y＝
＞0，
4．（5 分）若 a＝
，b＝2+
，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0 的整数对（a，b）共有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
6．（5 分）在凸四边形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，BD 与 AE 相交于点 O，且 BO＝DO，
AO＝2EO，则 S△ACD：S△ABD 的值为（
①当|ab|＝0，|a﹣b|＝1 时，
Ⅰ、当 a＝0 时，b＝±1，
∴整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1），
Ⅱ、当 b＝0 时，a＝±1，
∴整数对（a，b）为（1，0）或（﹣1，0），
②当|a﹣b|＝0，|ab|＝1 时，
∴a＝b，∴a2＝b2＝1，
∴a＝1，b＝1 或 a＝﹣1，b＝﹣1，
∴整数对（a，b）为（1，1）或（﹣1，﹣1），
A．0
B．1
C．4
D．9
二、填空题（13-16 题，每题 7 分：17-19 题，每题 8 分，共 52 分）
13．（7 分）已知 x＝
，则代数式 x4﹣3x3﹣3x+1 的值为
．
14．（7 分）在正十边形的 10 个顶点中，任取 4 个顶点，那么以这 4 个顶点为顶点的梯形有 个．
15．（7 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D 为 AB 中点，E 为边 BC 上一 点，将△ADE 沿 DE 翻折得到△A′DE，使△A′DE 与△BDE 重叠部分的面积占△ABE
，b＝2+
，则 的值为（ ）
A．
B．
【答案】B 【分析】将 a 乘以
C．
D．
可化简为关于 b 的式子，从而得到 a 和 b 的关系，继而
能得出 的值．
【解答】解：a＝
•
＝
．
∴
．
故选：B．
5．（5 分）满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0 的整数对（a，b）共有（ ）
A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个
，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2
的值为（ ）
A．3
B．14
C．16
【答案】D
【分析】根据已知条件和完全平方公式变形即可求解．
【解答】解：∵x+y+z＝0，且
，
D．36
设 a＝x+1，b＝y+2，c＝z+3， 则 a+b+c＝x+y+z+6＝6，
+ + ＝0，
∴
＝0，
即 ab+ac+bc＝0， ∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2 ＝a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ＝62﹣2×0 ＝36． ∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2 的值为 36． 故选：D． 9．（5 分）将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 两次，记第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 b，则使关于 x、y 的方程组
，只有正数解的概率为（ ）
A．
B．
【答案】B
C．
D．
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【分析】首先分两种情况：①当 a﹣2b＝0 时，方程组无解； ②当 a﹣2b≠0 时，方程组的解为由 a、b 的实际意义为 1，2，3，4，5，6 可得．把方程
组两式联合求解可得 x＝
，y＝
，再由 x、y 都大于 0 可得 x＝
成 m3 个棱长为 1 的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个
表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则 m 等于（ ）
A．16
B．18
C．26
D．32
3．（5 分）已知 6a2﹣100a+7＝0 以及 7b2﹣100b+6＝0，且 ab≠1，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
AO＝2EO，则 S△ACD：S△ABD 的值为（
A．2：5
B．1：3
） C．2：3
D．1：2
【答案】D
【分析】过点 B 作 BF∥AD 交 AE 延长线于 F，连接 OC，先证明△FOB≌△AOD，再证
明△BEF≌△CEO，可得 AD∥OC，可得 S△ACD＝S△AOD，由 S△ABD＝2S△AOD，可得 S△ACD：
9．（5 分）将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷
两次，记第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 b，则使关于 x、y 的方程组
，只有正数解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）方程 3a2﹣8a﹣3b﹣1＝0，当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时，则满足方程的整数
S△ABD＝1：2； 【解答】解：如图，过点 B 作 BF∥AD 交 AE 延长线于 F，连接 OC，
∵BF∥AD
∴∠F＝∠DAO
∵BO＝DO，∠BOF＝∠DOA
∴△FOB≌△AOD（AAS）
∴FO＝AO
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∵AO＝2EO ∴FO＝2EO ∴EO＝EF， ∵E 为 BC 边的中点 ∴BE＝CE ∵∠BEF＝∠CEO ∴△BEF≌△CEO（SAS） ∴∠BFE＝∠COE ∴BF∥OC AD∥OC ∴S△ACD＝S△AOD， ∵BD＝2OD ∴S△ABD＝2S△AOD， ∴S△ABD＝2S△ACD ∴S△ACD：S△ABD＝1：2； 故选：D．
N 分别是线段 AD 和线段 BC 上的点，且满足 BN＝DM，则线段 MN 的最小值为
．
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19．（8 分）若﹣ ＜x＜1，
＝a0+a1x+a2x2+a3x3…+anxn，则 a2+a3＝
．
三、解答题（20 题 18 分，21 题 20 分，共 38 分） 20．（18 分）已知二次函数 y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函数 y＝
【答案】C
【分析】先判断出|ab|＝0，|a﹣b|＝1 或|a﹣b|＝0，|ab|＝1，再借助 a，b 是整数即可得出
结论．
【解答】解：∵|ab|+|a﹣b|＝1，
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∴0≤|ab|≤1，0≤|a﹣b|≤1，
∵a，b 是整数，
∴|ab|＝0，|a﹣b|＝1 或|a﹣b|＝0，|ab|＝1
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b 的个数是（ ）
A．12 个
B．13 个
C．14 个
D．15 个
11．（5 分）若一个三角形的三边和为 40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数
为（ ）
A．31 个
B．32 个
C．33 个
D．34 个
12．（5 分）若关于 x 的方程 x2+ax+b﹣3＝0 有实根，则 a2+（b﹣4）2 的最小值为（ ）
恰有两个表面染有红色的小正方体的数量 12（m﹣2），
∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量
的 12 倍，
∴6（m﹣2）2＝12×12（m﹣2），
解得 m1＝26，m2＝2（舍去）， 故选：C．
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3．（5 分）已知 6a2﹣100a+7＝0 以及 7b2﹣100b+6＝0，且 ab≠1，则 的值为（ ）
7．（5 分）从 1 到 2019 连续自然数的平方和 12+22+32+…+20192 的个位数字是（ ）
A．0
B．1
C．5
D．9
【答案】A
【分析】由题中可以看出，故个位的数字是以 10 为周期变化的，用 2019÷10，计算一下
看看有多少个周期即可．
【解答】解：以 2 为指数的幂的末位数字是 1，4，9，6，5，6，9，4，1，0 依次循环的，
2019 年四川省成都七中自主招生数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分）
1．（5 分）若 M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y 为实数），则 M 的值一定是（ ）
A．非负数
B．负数
C．正数
D．零
2．（5 分）将一个棱长为 m（m＞2 且 m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：∵7b2﹣100b+6＝0， ∴6× ﹣100× +7＝0，
∵6a2﹣100a+7＝0，a≠ ，
∴a、 是方程 6x2﹣100x+7＝0 的两个不同的根，
∴由根与系数的关系可知： ＝ ，
故选：D． 4．（5 分）若 a＝
（1）当 a＝2 时，求这两个函数图象的交点坐标； （2）若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的 正整数 a 的值； （3）若这两个函数的交点都在直线 x＝ 的右侧，求 a 的取值范围．
21．（20 分）已知：四边形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AD、AB 上的点，连接 BE、DF 相 交于点 G，且满足∠ADF＝∠ABE （1）如图 1，若 DE＝BG＝n，cos∠AEB＝ ，GE＝3，求 AE 的长（用含 n 的代数式表
色的小正方体的数量 12（m﹣2），根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有
两个表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，即可得到 m 的值．
【解答】解：将一个棱长为 m（m＞2 且 m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然
后切成 m3 个棱长为 1 的小正方体，则 只有一个表面染有红色的小正方体的数量为 6（m﹣2）2，
＞0，y＝
＞0，求出 a、b 的范围，列举出 a，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可 能，进而求出概率．
【解答】解：①当 a﹣2b＝0 时，方程组无解； ②当 a﹣2b≠0 时，方程组的解为由 a、b 的实际意义为 1，2，3，4，5，6 可得．
易知 a，b 都为大于 0 的整数，则两式联合求解可得 x＝
示）； （2）如图 2，若 ABCD 为矩形，G 恰为 BE 中点，连接 CG，AE＝1，作点 A 关于 BE 的 对称点 A′，A′到 CG 的距离为 ，求 DE 的长．
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2019 年四川省成都七中自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）若 M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y 为实数），则 M 的值一定是（ ）
A．2：5
B．1：3
） C．2：3
D．1：2
7．（5 分）从 1 到 2019 连续自然数的平方和 12+22+32+…+20192 的个位数字是（ ）
A．0
B．1
C．5
D．9
8．（5 分）已知 x+y+z＝0，且
，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2
的值为（ ）
A．3
B．14
C．16
D．36
A．非负数
B．负数
C．正数
D．零
【答案】A
【分析】通过配方法配出平方根，从而判断 M 值的大小．
【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故 M 一定是非负数．
故选：A．