(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第七节 课时跟踪训练 理
(广东专用)2020高考数学总复习 第二章第十二节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，且a2＜3b ，则( ) A ．f(x)在R 上是增函数 B ．f(x)在R 上是减函数C ．f(x)在R 上不是单调函数D ．f(x)是常数【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，当a2＜3b 时，Δ＝4a2－12b ＝4(a2－3b)＜0. ∴f′(x)＞0恒成立．f(x)在R 上是增函数． 【答案】 A2．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，则x1·x2·…·xn 等于( ) A.1n B.1n ＋1 C.n n ＋1D ．1【解析】 y′＝(n ＋1)xn ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得xn ＝n n ＋1.则x1·x2·…·xn ＝12·23·…·n n ＋1＝1n ＋1.【答案】 B3．若直线y ＝m 与y ＝3x －x3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2 B ．－2≤m≤2 C ．m ＜－2或m ＞2 D ．m≤－2或m≥2 【解析】 y′＝3(1－x)·(1＋x) 由y′＝0，得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2＜m ＜2. 【答案】 A4．在R 上可导的函数f(x)的图象如图2－12－3所示，则关于x 的不等式x·f′(x)＜0的解集为( )图2－12－3A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 (1)当x ∈(－∞，－1)和x ∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f′(x)＞0，因此x ＜0，∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)．(2)当－1＜x ＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0. 由x·f′(x)＜0，得x ＞0， ∴0＜x ＜1.故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 A5．已知函数y ＝f xex (x ∈R)满足f′(x)＞f(x)，则f(1)与ef(0)的大小关系是( )A ．f(1)＜ef(0)B ．f(1)＞ef(0)C ．f(1)＝ef(0)D ．不能确定【解析】 令g(x)＝f xex ，则g′(x)＝f′xex －f x ex e2x ＝f′x －f xex＞0，则函数g(x)在R 上单调递增，所以有g(1)＞g(0)，即f 1e1＞f 0e0，所以可得f(1)＞ef(0)．【答案】 B二、填空题6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x3－392x2－40x(x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为______．【解析】 由y′＝x2－39x －40＝0，得x ＝－1或40， 由于0＜x ＜40时，y′＜0；当x ＞40时，y′＞0. 所以当x ＝40时，y 有最小值． 【答案】 407．已知函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f(－3)与f(2)的大小关系是________． 【解析】 f′(x)＝x·cos x ＋sin x －sin x ＝xcos x. 当x ∈(π2，π)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(π2，π)上递减，∴f(2)＞f(3)．由f(x)是偶函数，得f(－3)＝f(3)， ∴f(2)＞f(－3)．【答案】 f(2)＞f(－3)8. 已知函数f(x)＝x2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________． 【解析】 依题意知，x ＞0，f′(x)＝2x2＋mx ＋1x， 令g(x)＝2x2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立，当－m4＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m ＜0，综上，m 的取值范围是m≥－2 2. 【答案】 m≥－2 2三、解答题9．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P ＝119 200v4－1160v3＋15v ，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 【解】 (1)Q ＝P·400v ＝(119 200v4－1160v3＋15v)·400v＝(119 200v3－1160v2＋15)·400 ＝v348－52v2＋6 000(0＜v≤100)． (2)由(1)知，Q′＝v216－5v ，令Q′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0＜v ＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0. ∴当v ＝80千米/小时时，全程运输成本取得极小值， 又函数在(0,100]内有唯一极小值，也就是最小值． 故运输成本的最小值为Q(80)＝2 0003(元)．10．f(x)＝x3－x2－x ＋a ，当a 在何范围内取值时，y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点． 【解】 令f′(x)＝3x2－2x －1＝0，得x ＝－13，x ＝1，x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞) f′(x)＋ 0－ 0＋ f(x)极大值极小值可知f(－13)＝527＋a 为极大值，f(1)＝a －1为极小值．①当527＋a ＜0，即a ∈(－∞，－527)时，y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点；②当a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时，y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点． 故所求a 的取值范围是(－∞，－527)∪(1，＋∞)．11．(2020·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ln x －ax2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f(1a ＋x)＞f(1a －x)．【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－2x ＋1ax －1x .①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a ＞0，则由f′(x)＝0，得x ＝1a.又当x ∈(0，1a )时，f′(x)＞0；当x ＞1a 时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0，1a )上单调增加；在(1a ，＋∞)上单调减少．(2)证明 设函数g(x)＝f(1a ＋x)－f(1a －x)．则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a3x21－a2x2.当0＜x ＜1a 时，g′(x)＞0，又g(0)＝0，所以g(x)＞0.故当0＜x ＜1a 时，f(1a ＋x)＞f(1a－x)．。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测八函数的图象含解析
课时跟踪检测(八)函数的图象一、题点全面练1•函数f (x ) = x e Hx|的图象可能是()解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f ( - x ) =-f (x )，所以函数f (x )为奇函数，_x _ x排除 A 、B;当 x € (0 ,+^)时，f (x ) = x e -，因为 e - > 0,所以 f (x ) > 0,即卩 f (x )在 x € (0,+s )时，其图象恒在 x 轴上方，排除D,故选C.ax + b, x <- 1,2.若函数f (x )= <In x + a , x >- 13)等于()A.D. - 2解析：选 C 由图象可得一 a + b = 3, ln( — 1 + a ) = 0,得 a = 2, b = 5, 2x + 5, x <-1 , 「•f (x )=. .x + , x >- 1 , 故 f ( — 3) = 2X ( — 3) + 5=- 1，故选 C. 3. (2018 •全国卷川)下列函数中，其图象与函数 y = In x 的图象关于直线 x = 1对称的是()A. y = ln(1 — x )B. y = ln(2 — x )C. y = ln(1 + x )D. y = ln(2 + x )解析：选B 函数y = f (x )的图象与函数y = f (a -x )的图象关于直线 x =号对称，令a = 2可得与函数y = ln x 的图象关于直线x = 1对称的是函数y = ln(2 — x )的图象.故选 B.—2x , — 1 w x w 0,4.已知f (x )「厂贝U 下列函数的图象错误的是 (Zx , 0v x w 1,B .C.— 1的图象如图所示，则f (-的图象 Ay 二心的图線1r=|/(x)|的图象C解析：选D在坐标平面内画出函数y= f(x)的图象，将函数y= f(x)的图象向右平移1 个单位长度，得到函数y= f(x- 1)的图象，因此A正确；作函数y= f (x)的图象关于y轴的对称图形，得到y= f ( —x)的图象，因此B正确；y= f (x)在［—1,1］上的值域是［0,2］，因此y=|f(x)|的图象与y = f (x)的图象重合，C正确；y = f(| x|)的定义域是［—1,1］，且是偶函数，当0w x wi时，y= f(| x|) = x，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确.故选D.5. 若函数y = f(x)的图象如图所示，则函数y =—f(x + 1)的图象大致为()x)=—x )=—6. (2019 •汉中模拟)函数f (x )=—1 • sin x 的解析：选C 要想由y = f (x )的图象得到y =— f (x +1)的图象，需要先将 y = f (x )的图 象关于x 轴对称得到y =— f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到 y = — f (x + 1)的图 象，根据上述步骤可知 C 正确.>0时，S 的增长速度会越来越快，故在 S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选 B.直线x =— 1及x = t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ,则S 与t 的函数关系图可表示为x = f (x ) ,•••函数f (x )为偶函数，故排除C 、D 当 xf (2)=厂缶一1 • sin 2 v 0,故排除 B ,选 A.7.若函数f (x ) = (ax 2+ bx )e x 的图象如图所示，则实数 值可能为()A. a = 1, b = 2B. a = 1, b =— 2C. a =— 1, b = 2D. a =— 1, b = — 22 xb b 解析：选B 令f (x ) = 0,则(ax + bx )e = 0,解得x = 0或x = ——，由图象可知，一->aa1,又当x >— 9时，f (x ) >0,故a >0,结合选项知a = 1, b =— 2满足题意，故选 B. a&定义max{a , b , c }为a , b , c 中的最大值，设 M= max{2x, 2x — 3,6 — x }，贝U M 的最小 值是()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选C 画出函数M = max{2x,2x — 3,6 — x }的图象如图中实线部分所示，由图可得, 函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4,故选C.解析：选B 由题意知，当一S 越来越大，但增长的速度越来越慢.当t=2时,a,9.已知在函数y = 11|)，该函数的图象与x 轴、10.如图，函数f(x)的图象为折线ACB则不等式f(x) > log 2(x + 1)的解集为_______________解析：令y = log 2(x+ 1)，作出函数y= log 2( x+ 1)图象如图.x+y = 2,y = log 2 x + 1则实数a的取值范围是__________得f —1, •••结合图象知不等式f(x) > log 2(x + 1)的解集y =1.为{x| —1<x< 1}.答案：{x| —1<x w 1}11.设函数f (x) = |x + a| , g(x) = x—1,对于任意的x € R,不等式f (x) > g(x)恒成立,解析：如图，作出函数f (x) = | x+ a|与g(x) = x—1的图象，观察图象可知：当且仅当一a w 1,即a>—1时，不等式f (x) >g(x) 恒成立，因此a的取值范围是［—1,+^).答案：［—1,+^)12.已知函数f(x) = | x|( x —a), a>0.(1) 作出函数f (x)的图象；(2) 写出函数f (x)的单调区间；(3) 当x€ ［0,1］时，由图象写出f(x)的最小值.x x —a , x>0,解：(1)f(x) = €其图象如图所示.—x x—a , x v 0,⑵由图知，f (x)的单调递增区间是(一a, 0) , j|,+m j;单调递减区间是［,2 !!a⑶ 由图象知，当2> 1，即a >2时，f (X )min = f ⑴=1 — a ；‘ a 卄“ 同 a 2当 0 v 2三 1,即卩 0v a W2 时，f (x )min = f I 2 = — ~a—4， 0v a w 2,综上，f ( x ) min =4丨1 — a, a >2.二、专项培优练(一)易错专练一一不丢怨枉分f (2x + 1)是奇函数，贝U 函数y = f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称()B. ( — 1,0)当 x € ( — 1,0)时，由 xf (x )>0 得 x € ( — 1,0); 当 x € (0,1)时，由 xf (x )>0 得 x € ?; 当 x € (1,3)时，由 xf (x )>0 得 x € (1,3). 故 x € ( — 1,0) U (1,3).3 . (2019 •合肥质检)对于函数f (x )，如果存在X o M 0,使得f (X o ) = — f ( — X o )，则称(X o ,f (x o ))与(一X 0,f ( — X 0))为函数图象的一组奇对称点.若f (x ) = e x —a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是 _________ .1. (2019 •大同质检)已知函数A. (1,0)D.1 2, 0解析：选C 因为f (2x + 1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x + 1)的图象向右平移°个单位得到2•函数f (x )是周期为 的偶函数，当 x € [0,2]时，f (x ) = x — 1,则不等式 xf (x )>0在(一1,3)上的解集为(A. (1,3)B. ( — 1,1)C. ( — 1,0) U (1,3)D. ( — 1,0) U (0,1)解析：选C 作出函数f (X )的图象如图所示.解析：依题意，知f(X) = —f( —X)有非零解，由f(X) = —f( —X)得，e x—a=—(e —x—1 r x 1 \a),即a= e x+ g > 1(X M0),所以当f (x) = e x—a存在奇对称点时，实数a的取值范围是个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为(解析：选C 当x > 0时，f (x ) = f (x — 1)，所以f (x )是以1 为周期的函数.又当 O v x wi 时，x — K0,所以f (x ) = f (x — 1) =21一x — 1 = 2即一 1. 方程 f(x) = x + a 的根的个数可看成是两个函数y = f (x )与y = x + a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数 a 的取值范围是(一s, 1).(三)难点专练一一适情自主选 16.已知函数f (x )的图象与函数 h (x ) = x + -+ 2的图象关于点 A (0,1)对称.x(1)求f (x )的解析式;a⑵ 若g (x ) = f (x ) + -，且g (x )在区间(0,2］上为减函数，求实数 a 的取值范围.—解：(1)设f (x )图象上任一点 P (x , y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P' ( — x, 2— y )在h (x )的图象上，口1 1即 2 — y =— x —-+ 2,「. y = f (x ) = x +_(x 丰0).---- 77 / ” o ” 2Z -1 $ # *答案：(1 ,+8)(二)素养专练一一学会更学通4.［数学建模］如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、 直角梯形、圆.垂直于 x 轴的直线I : x = t (0 w t w a )经过原点O 向右平 行移动，I 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y (图中阴影部分)，若函数y = f (x )的解析：选C 由y = f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项 C,后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5.［直观想J-—-2 — 1 ,f x — 1 x w 0, ,x >0,若方程 f (x ) =x + a 有A. ( —s, 0] B .[0,1) C. ( —s, 1)D .[0，+s) ( )X x⑵ g(x) = f(x) + a= x + 竽，••• g'(x) = 1 —宁••• g(x)在(o,2］上为减函数,a +1 2•••1 —-X^w 0在(0,2］上恒成立，即a+1> x在(0,2］上恒成立，•- a+1》4，即卩a》3,故实数a的取值范围是［3 ,+^).7. 若关于x的不等式4a X—1<3x —4( a>0,且a* 1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围.3解：不等式4a x—1<3x —4等价于a x—1<-x —1.4人x—1 3令f (x) = a , g(x) = 4X —1,当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x》2时,f(2) w g(2),即a2—1w 3x 2—1,4解得a w 1所以a的取值范围是0, 1 .。
(广东专用)2020高考数学总复习 第二章第二节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．(2020·汕尾模拟)函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝exD ．f(x)＝ln(x ＋1)【解析】 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f(x)＝1x满足要求； B 中f(x)＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中f(x)＝ex 是增函数；D 中f(x)＝ln(x ＋1)是增函数．【答案】 A2．若函数f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【解析】 ∵f(x)＝－x2＋2ax ＝－(x －a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1. ①又g(x)＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1＞1，∴a ＞0 ②由①、②知，0＜a≤1.【答案】 D3．定义新运算：当a≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b2，则函数f(x)＝(1x)x －(2x)，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2∵f(x)＝x －2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.【答案】 C4．已知函数f(x)＝x2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a ＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,4]B ．[2,3]C ．[2,5]D ．[3，＋∞)【解析】 ∵f(x)＝x2－2ax ＋5的对称轴方程x ＝a.又∵f(x)在(－∞，2]上是减函数，∴2≤a ，又∵x1，x2∈[1，a ＋1]，∴|f(x1)－f(x2)|≤{f(x1)，f(x2)}max －f(a)．又∵|f(x1)－f(x2)|≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1－f a ≤4，f a ＋1－f a ≤4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2a －5－a2≤46－a2－5－a2≤4解得：－1≤a≤3.综上可知：2≤a≤3.【答案】 B5．(2020·揭阳质检)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x ＜1ax ， x≥1是R 上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，32]C ．(1,2)D ．[32，2) 【解析】 依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，a≥2－a ×1＋1.解之得32≤a ＜2. 【答案】 D二、填空题6．(2020·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x ＋1)的单调增区间是________．【解析】 f(x)的定义域(－12，＋∞)， y ＝log5u 在(0，＋∞)上是增函数，且x ＞－12时，u ＝2x ＋1为增函数， 函数f(x)的增区间是(－12，＋∞)． 【答案】 (－12，＋∞) 7．(2020·东莞模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a ＞b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【解析】 依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，0＜x≤2，－x ＋3，x ＞2. 当0＜x≤2时，h(x)＝log2x 是增函数；当x ＞2时，h(x)＝3－x 是减函数，∴h(x)在x ＝2时，取得最大值h(2)＝1.【答案】 18．(2020·北京高考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x≥2，x －13， x ＜2.若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【解析】 当x≥2时，f(x)＝2x 是减函数，0＜f(x)≤1， 当x ＜2时，f(x)＝(x －1)3是增函数，f(x)＜1.结合函数的图象知，f(x)＝k 有两个不同的实根，则0＜k ＜1.【答案】 (0,1)三、解答题9．已知f(x)＝x x －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．【解】 (1)证明 任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2. ∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f(x)在(a ，＋∞)，(－∞，a)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a 的取值范围为(0,1]．10．若不等式a －1|x|＜2x 在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 不等式a －1|x|＜2x 在[1，＋∞)上恒成立， 得a －1x ＜2x ，即a ＜2x ＋1x恒成立． 令g(x)＝2x ＋1x，x ∈[1，＋∞)， ∵g′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2， 当x≥1时，g′(x)＞0，∴g(x)在x ∈[1，＋∞)上是增函数．因此g(x)min ＝g(1)＝3.∴a ＜3时，f(x)＜2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．故实数a 的取值范围是(－∞，3)．11．(2020·江西高考)设f(x)＝13x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m ＋n ＜10(m ，n ∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b)的长度为b －a)【解】 (1)易知f′(x)＝x2＋2mx ＋n∴g(x)＝f′(x)－2x －3＝x2＋2(m －1)x ＋n －3＝(x ＋m －1)2＋n －3－(m －1)2，∵g(x)在x ＝－2处取得最小值－5.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n －3－m －12＝－5，即m ＝3，n ＝2，故函数的解析式为f(x)＝13x3＋3x2＋2x. (2)因为f′(x)＝x2＋2mx ＋n ，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n ＞0即m2＞n.不妨设为x1，x2，则|x2－x1|＝2m2－n 为正整数．故m≥2时才可能有符合条件的m ，n ，当m ＝2时，只有n ＝3符合要求，当m ＝3时，只有n ＝5符合要求，当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求．。
(广东专用)2022高考数学总复习 第二章第七节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．如果f＝aa＞0且a≠1为减函数，那么g＝og错误!－1的图象是图中的【解析】易知0＜a＜1，g在1，＋∞上的增函数．【答案】 A2．2022·韶关质检函数＝2－2的图象大致是【解析】当＜0时，＝2－2是增函数，从而排除C、D又f2＝f4＝0，B不符合，选A【答案】 A3．为了得到函数＝g错误!的图象，只需把函数＝g 的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】由＝g错误!，得＝g＋3－1由＝g 图象向左平移3个单位，得＝g＋3的图象，再向下平移一个单位得＝g＋3－1的图象．【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数＝g的图象与＝e的图象关于直线＝对称，而函数＝f的图象与＝g的图象关于轴对称．若fm＝－1，则m的值为A．－e B．－错误!C．e【解析】依题意得，点m，－1位于函数＝f的图象上，点m，－1关于轴的对称点－m，－1必位于＝g的图象上．∵＝g与＝e的图象关于直线＝对称．∴g＝n ．因此－1＝n－m，∴－m＝e－1，则m＝－错误!5．函数f＝错误!的图象和函数g＝og2的图象的交点个数是A．1B．2C．3D．4【解析】在同一坐标系中画出f与g的图象，如图可知f与g的图象有3个交点．【答案】 C二、填空题6．如图2－7－1所示，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为0,0，1,2，3,1，则f错误!的值等于________．图2－7－1【解析】∵f3＝1，∴错误!＝1，∴f错误!＝f1＝2【答案】 27．2022·梅州调研若函数＝f∈R满足f＋2＝f，且∈[－1,1时，f＝||则函数＝f的图象与函数＝og4||的图象的交点的个数为________．【解析】当||＞4时，＝og4||＞1，且f∈[0,1]，在同一坐标系内作出两函数图象，可知两函数的图象有6个交点．【答案】 68．已知函数f＝错误!的图象与函数＝g的图象关于直线＝对称，令h＝g1－||，则关于h有下列命题：①h的图象关于原点对称；②h为偶函数；③h的最小值为0；④h在0,1上为减函数．其中正确命题的序号为________．将你认为正确的命题的序号都填上【解析】g＝og错误!，∴h＝og错误!1－||，∴h＝错误!∴正确的命题序号为②③三、解答题9．已知函数f＝错误!1画出f的图象的简图；2根据图象写出函数的单调递增区间．【解】1函数f的图象如图所示．2由图象可知，函数f的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．10．已知函数f＝3＋m2＋n－2的图象过点－1，－6，且函数g＝f′＋6的图象关于轴对称．1求函数f的解析式；2若函数h＝f′＋c有最小值1，试求实数c的值．【解】1由函数f图象过点－1，－6，得m－n＝－3 ①由f＝3＋m2＋n－2，得f′＝32＋2m＋n，则g＝f′＋6＝32＋2m＋6＋n，又g图象关于轴对称，所以－错误!＝0，所以m＝－3，代入①式得n＝0因此f＝3－32－22由1知f′＝32－6，∴h＝32－6＋c＝3－12＋c－3当＝1时，h有最小值c－3因此c－3＝1，∴c＝4∴实数c的值为411．2022·清远调研已知函数f＝|2－4＋3|1求函数f的单调区间，并指出其增减性；2若关于的方程f－a＝至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解】f＝错误!作出图象如图所示．1递增区间为[1,2，[3，＋∞，递减区间为－∞，1，[2,3．2原方程变形为|2－4＋3|＝＋a，设＝＋a，在同一坐标系下再作出＝＋a的图象如图则当直线＝＋a过点1,0时，a＝－1；当直线＝＋a与抛物线＝－2＋4－3相切时，由错误!得2－3＋a＋3＝0由Δ＝9－43＋a＝＝－错误!由图象知当a∈[－1，－错误!]时，方程至少有三个不等实根．。
(广东专用)2020高考数学总复习第三章第六节课时跟踪训练理
5 .4 — 3百 A ，—104+ 3 .3 B. ~10~C4百—3 C. 10 4 '3 + 3D ^Q-【答案】化简，25cos2 a — 5cos — 12= 0,3cos =— _5'a•-cos 2： 2、选择题 课时知能训练n n 1.已知函数 f(x) = cos2q + x) — cos2q — x),则f （$）等于（1 A.2 【解析】 n n f(x) = cos2(4 + x) — sin 2(x + r = — sin 2x , n n 1 * fF )= — sin6= — 2. 【答案】 Bn ^42. （2020揭阳检测）已知a 为锐角，且cos （ a 6）= 5，则cosa 的值为（） 【解析】 •/ 0v n aV 2, n • •一V 6,n 2a + 6 V 3n ， 由 cos( 得 sin( _ 3 =5， *• cos = cos[( d- n n 6)—n ]=cos( d 6)cos n +sin(n n 4 3 + 3 d 6)sin6=I Q -3.已知 sin7tn 则cos 2的值是（）5 CW2.5 D 5【解析】由 sin = -— cos5(代入 sin2 d cos2 a= 1,解得cos因此cos n * * cos aC 0 , cos 2 > 0.=—3且 cos5=2cos22— 1,1 + COS a【答案】C5 .4.已知 a,n2)，tan? . 3 =~2~, 且 2sin a sin(d ~ a 1 — tan2^3 ）则3的值为（）n A. 6 nB.4nC.35 n DP【解析】 atan^由a 1— tan2^_3 2，tan 芮 3T a€ (0, n n 2)，…a - 3.a sin (n 3•••tan T ，3=n所以2sin1 .cos *劳 n 3.【答案】 5.已知 a = (cos 2 ,«sin , b = (1,2sin —1), a€ 7tab =5则tan （弘》的值为（）1 A. 32 B.7 1 C.7 2 D.2 【解析】 由 a b = cos 2 处 sin a (2sin — a ) 2 =1 — 2sin2 a 2si n2 a- sin a 1 — sin 芮一，得 sin 5 35'又a€ （扌，n• •• cos a — 4，二 tan a — 4 5 4—3+ 1 ,, n tan 七 1 4 1 •tan( a n=1—or a —a7. 1 +4 【答案】 C 二、填空题 6.如果 氏（2冗，且 sin 芮4,那么sin( *珂+ 5 4 cos(n° 4) =【解析】4 -sin a 二,5 3 av n …cos 尸一l ,5因而sin （ ,n…於 4)+ cos(水4)7t =』2si n( 【答案】水 2）= . 2cos 话一 一鉅 一 53,25 .2.=2承[sin 50 cos 10 °+ sin 10 °s(60 - 10°)] =2 2sin(50 + 10°)= 6.10.已知函数 f(x) = 2sin xcos x + cos 2x(x € R). (1)当x 取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值.⑵若0为锐角，且f( + 9 = ¥，求tan 的值. 【解】 f(x) = sin 2x + cos 2x = 2si n(2x + 于(1)当 2x +n= 2k n+n ，n即 x = k n+ -(k € Z)时,8sin235 - 27. (2020湛江质检)〒的值是 sin 20 【解析】原式_ 2sin235 二 1 _ - cos 70 °__ ]原式= 2sin 20 ° = 2sin 20 于-2.1 【答案】 —18. (2020 佛山调研)已知 tan 2 =0- 2 .-'2, 2cos2^— sin -1n< 2 0< 2 n 贝 HnV2si n 0+ 4的值为 __________【解析】 cos — sin 丿 1 — tan 0 sin +cos 0 1 + tan ，0 由 tan 2 0 — = — 2 2, 得 tan1 — tan2 0 0 —丄或ta n 2 …tan = — 因此原式=3 + 2：.；2. 【答案】 3 + 2 2 三、解答题 9.求值:[2sin 50 +sin 10 (1+ , 3tan 10)° ,-2sin280 . ° 【解】 原式=(2si n 50 + sin 10 •os 10 + ;3s in 10 cos 10 °o)^2sin 80=(2s in 50 + 2sin 102cos 10 °寺 n 10cos 10 °o)•2cos10函数f(x)取得最大值，其值为22.2 •- f( + n=了,18•••羽sin(2 俨 2)=普，cos 2 4 g.n又T B 为锐角，即 0 v 0< 2，. O v 2 0< n•• sin 2 4 寸 1 一 cos22 4 232.• 一n sin 0 2sin 0 cos O sin 2 0 (2…tan 4 4 z~_cos 0 2cos2 0 1 + cos 2 0 2 '(1)证明：B 4 C ；1 n⑵若 cos A = — 3,求 sin(4B + §)的值.【解】（1）证明 由正弦定理，及AC 4 cosB ,AB cos C• sin Bcos C— sin Ccos B = 0,于是 sin(B — C) = 0. 又 B 、C € (0, n ,因此一 n< B — C v n. 从而B — C 4 0,所以B 4 C.⑵由 A + B + C 4 n 和(1)得 A 4 冗一2B ,1 故 cos 2B4 — cos( 一 2B) = — cos A = -.又 0< 2B < n,cos 4B 4 cos22B — sin22B =— 所以 sin(4B + sin 4Bcos cos 4Bsin n3 3 34、2— 7 ；311. （2020肇庆质检）在厶ABC 中,AC 4 A B 4 cos Bcos C得畔4 sin C cos BcosC ， 于是sin 2B 4 1 — cos22B = 2,2 3 从而sin 4B 4 2si n 2Bcos 2B =4.2 9 79.。
(广东专用)高考数学总复习 第三章第七节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a2＋c2－b2＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3【解析】 由余弦定理，cos B ＝a2＋c2－b22ac， 由a2＋c2－b2＝3ac ，∴cos B ＝32， 又0＜B ＜π，∴B ＝π6. 【答案】 A2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】 B3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．△ABC 的形状不确定【解析】 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.∵c2＝169，a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．【答案】 C图3－7－24．(2011·天津高考)如图3－7－2所示，△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63 D.66【解析】 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43a ， cos A ＝AB2＋AD2－BD22AB·AD ＝2a2－43a22a2＝13， ∴sin A ＝1－cos2A ＝223. 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 【答案】 D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 大小不能确定【解析】 ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，(2a)2＝a2＋b2－2abcos 120°，因此ab ＝a2－b2＝(a －b)(a ＋b)＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b.【答案】 A二、填空题6．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 【解析】 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，得a ＝bsin A sin B ＝532. 【答案】 53 2 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．【解析】 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝12， 又∵a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 【答案】 π68．△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，A ＝π3，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由余弦定理知，22＝b2＋c2－bc ，即b2＋c2＝bc ＋4，∴2bc≤bc ＋4，∴bc≤4，∴△ABC 的面积S ＝12bcsin π3＝34bc≤ 3.【答案】 3三、解答题9．(2011·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 【解】 (1)由题设知sin Acos π6＋cos Asin π6＝2cos A ， 从而sin A ＝3cos A ，∴cos A≠0，tan A ＝3，又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a2＝b2＋c2－2bccos A ， 得a2＝b2－c2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2. 所以sin C ＝cos A ＝13. 10．(2012·济南调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．【解】 (1)由cos 2C ＝－14，得1－2sin2C ＝－14， ∴sin2C ＝58， 又0＜C ＜π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos2C －1＝－14及0＜C ＜π， 得cos C ＝±64. 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C ，得b2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以b ＝6，c ＝4或b ＝26，c ＝4.11．(2011·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3acos A ＝ccos B ＋bcos C.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值． 【解】 (1)由3acos A ＝c·cos B ＋b·cos C 及正弦定理，得3sin Acos A ＝sin C·cos B ＋sin B·cos C ＝sin(B ＋C)，∵B ＋C ＝π－A ，且sin A≠0，∴3cos A·sin A ＝sin A ，则cos A ＝13. (2)由cos A ＝13得sin A ＝223， 则cos B ＝－cos(A ＋C)＝－13cos C ＋223sin C ， 代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3， 从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0＜φ＜π2， 则C ＋φ＝π2， 于是sin C ＝63. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝32.。
(广东专用)2020高考数学总复习第二章第八节课时跟踪训练理
A . 1 B. 2 C. 3/• x —1 = 0 或In x = 0，得x = 1.【答案】A2. (2020东莞质检)为了求函数f(x) = 2x —x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 —0.24 —0.70 —1.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是()A . (0.6,1.0)B . (1.4,1.8)C . (1.8,2.2) D. (2.6,3.0)【解析】•/ f(1.8) f(2.2) = 0.24 X —0.24) V 0,•••零点在(1.8,2.2)上.【答案】C13.已知a是函数f(x) = 2x —log*的零点，若0 V x0v a,贝U f(x0)的值满足()B . f(x0) > 0D . f(x0)的符号不确定【解析】1••• f(a) = 2a—log ^a =又f(x)在(0, + s上是增函数，•••当0V x0v a 时，f(x0) V f(a) = 0.【答案】 C4 . (2020珠海模拟)函数f(x) = |x—2|—ln x在定义域内的零点个数为()A . 0B . 1C . 2D . 3【解析】由f(x) = |x—2|—ln x = 0，得|x—2|= ln x ,令y= |x —2|与y= ln x(x >0),在同一坐标系内作两函数的图象，有两个交点.• f(x) = |x —2|—ln x在定义域内有两个零点.【答案】C5. 若函数f(x)的零点与g(x) = 4x+ 2x —2的零点之差的绝对值不超过0.25，贝U f(x)可以是( )、选择题1 f(x)x —1 In xx —3的零点个数为课时知能训练【解析】T f(x) = 0,即x—1x—3A . f(x0) = 0C . f(x0) V 0A . f(x) = 4x —1 B. f(x) = (x —1)21C. f(x) = ex—1D. f(x) = ln(x —2)【解析】•/ A、B、C、D四个选项中的零点是确定的：I 3A : x = 4，B: x= 1, C: x= 0, D: x= 2*••• g(x) = 4x + 2x —2 在R 上连续且g(》=2 + 2—2= 2 —3V 0, gg)= 2 + 1 —2= 1> 0. 设g(x) = 4x + 2x —2 的零点为x0,则4< x0 V1,II "11o v xo - 4V4，二|x0—4V 4.1因此函数f(x) = 4x —1的零点x==满足.4【答案】A二、填空题16. ___________________________________________________ “= 4”是函数f(x) = ax2 —x + 1只有一个零点”的________________________________________条件.【解析】当a=-时，△= (一1)2 —4a= 0,4••• f(x) = ax2 —x + 1 只有一个零点，但a= 0时，f(x) = ax2 —x + 1也有一个零点，1•“a 4”是函数f(x)只有一个零点”的充分不必要条件.【答案】充分不必要7. ____________________________________________________________ 若函数f(x) = 2 —|x—1|—m有零点，则实数m的取值范围是____________________________ .1【解析】令f(x) = 0，得m= (?)|x —1|,—1| >P1•0v(2)|x—1| <,1 即卩0 v m< 1.【答案】0 v m<l&设x0 是方程ln x + x= 4 的解，且x0 € (k, k+ 1), k € Z 则k = _________ .【解析】令f(x) = ln x + x —4，且f(x)在(0 ,+8递增，•/f(2) = ln 2 + 2—4<0 , f(3) = ln 3 —1>0.• f(x)在(2,3)内有解，••• k= 2.【答案】2三、解答题19. 若函数f(x) = bx+ 2有一个零点为3，求g(x) = x2 + 5x + b的零点.【解】•/ -是函数f(x)的零点，31 1•• f(?= 0,即§b+ 2= 0，解得 b =— 6.• g(x) = x2 + 5x —6, 由x2 + 5x— 6 = 0，得x = 1 或x=—6,••• g(x)的零点为1和一6.110. 设函数f(x) =(2)|x —1|, g(x) = Iog2x(x >0),试判定函数 $ (x=f(x) —g(x)在(0,2］内零点的个数.【解】(1)当x € (0,1)时，g(x) = Iog2x v 0,1 1f(x) =(2)|x—1|= (2)1 —x > 0,••方程f(x) = g(x)在(0,1)内无实根，•$ (x)= f(x) —g(x)在(0,1)内无零点.1t丄⑵当x € ［1,2］时，f(x) = Qx — 1 ,•$ (x)= f(x)—g(x)= g)x —1 —Iog2x在［1,2］上是减函数，且 $ (x的图象连续不间断，1 1又$ (1= 1—0= 1 >0, $ (2)=1 —1 = —2v 0,•$ (1)•$<v°,因此$ (x在(0,2)内有唯一零点，根据(1)、⑵知，$ (x)= f(x) —g(x)在(0,2］内有唯一的零点.11•中央电视台有一档娱乐鉴宝”节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一艺术品”的售价机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标•某次猜一种艺术品”价格在500〜1 000元之间.选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了，880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间［500,1 000］的中点750，如果主持人说低了，就再取［750,1 000］的中点875;否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数.照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格.。
(广东专用)2020高考数学总复习 第二章第七节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．如果f(x)＝ax(a ＞0且a≠1)为减函数，那么g(x)＝log 1a(x －1)的图象是图中的( )【解析】 易知0＜a ＜1，g(x)在(1，＋∞)上的增函数．【答案】 A2．(2020·韶关质检)函数y ＝2x －x2的图象大致是( )【解析】 当x ＜0时，y ＝2x －x2是增函数，从而排除C 、D.又f(2)＝f(4)＝0，B 不符合，选A. 【答案】 A3．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 由y ＝lg x ＋310，得y ＝lg(x ＋3)－1. 由y ＝lg x 图象向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图象．【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g(x)的图象与y ＝ex 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象关于y 轴对称．若f(m)＝－1，则m 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．e D.1e 【解析】 依题意得，点(m ，－1)位于函数y ＝f(x)的图象上，点(m ，－1)关于y 轴的对称点(－m ，－1)必位于y ＝g(x)的图象上．∵y ＝g(x)与y ＝ex 的图象关于直线y ＝x 对称．∴g(x)＝ln x ．因此－1＝ln(－m)，∴－m ＝e －1，则m ＝－1e. 【答案】 B5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x≤1，x2－4x ＋3， x ＞1.的图象和函数g(x)＝log2x 的图象的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图可知f(x)与g(x)的图象有3个交点．【答案】 C二、填空题6．如图2－7－1所示，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f 3)的值等于________．图2－7－1【解析】 ∵f(3)＝1，∴1f 3＝1， ∴f(1f 3)＝f(1)＝2. 【答案】 27．(2020·梅州调研)若函数y ＝f(x)(x ∈R)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈[－1,1)时，f(x)＝|x|.则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝log4|x|的图象的交点的个数为________．【解析】 当|x|＞4时，y ＝log4|x|＞1，且f(x)∈[0,1]，在同一坐标系内作出两函数图象，可知两函数的图象有6个交点．【答案】 68．已知函数f(x)＝(12)x 的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线y ＝x 对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上)【解析】 g(x)＝log 12x ，∴h(x)＝log 12(1－|x|)， ∴h(x)＝⎩⎨⎧log 121＋x －1＜x≤0，log 121－x 0＜x ＜1， ∴正确的命题序号为②③. 【答案】 ②③ 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]. (1)画出f(x)的图象的简图；(2)根据图象写出函数的单调递增区间．【解】 (1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．10．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数h(x)＝f′(x)＋c 有最小值1，试求实数c 的值．【解】 (1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3. ①由f(x)＝x3＋mx2＋nx －2，得f′(x)＝3x2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f′(x)＋6x ＝3x2＋(2m ＋6)x ＋n ，又g(x)图象关于y 轴对称， 所以－2m ＋62×3＝0， 所以m ＝－3，代入①式得n ＝0.因此f(x)＝x3－3x2－2.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x ， ∴h(x)＝3x2－6x ＋c ＝3(x －1)2＋c －3.当x ＝1时，h(x)有最小值c －3.因此c －3＝1，∴c ＝4.∴实数c 的值为4.11．(2020·清远调研)已知函数f(x)＝|x2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【解】 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．(2)原方程变形为|x2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象(如图)则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x2＋4x －3得x2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0.得a ＝－34. 由图象知当a ∈[－1，－34]时，方程至少有三个不等实根．。
(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第三节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．(2020·广州模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y2＝5B ．(x ＋5)2＋y2＝5C ．(x －5)2＋y2＝5D ．(x ＋5)2＋y2＝5【解析】 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5， 所以，圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5.【答案】 D2．已知圆C ：x2＋y2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定【解析】 因为圆上两点A 、B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心(－m 2，0)， 从而－m 2＋3＝0，即m ＝6. 【答案】 C3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x2＋y2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22【解析】 圆的标准方程为(x －1)2＋y2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322， 则点C 到直线AB 的最短距离为322－1，又|AB|＝22， S △ABC 的最小值为12×22×(322－1)＝3－ 2. 【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x20＋y20＝4，连线中点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x0＋4，2y ＝y0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2，代入x20＋y20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 A5．(2020·重庆高考)在圆x2＋y2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2【解析】 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心F(1,3)半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且AC ＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD| ＝－12×210×25＝10 2. 【答案】 B二、填空题6．(2020·潮州模拟)直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k 的范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝02x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k y ＝－3k . ∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，解得k ＞35或k ＜－35. 【答案】 (－∞，－35)∪(35，＋∞) 7．圆C 的圆心在直线2x －y －7＝0上，且与y 轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程是________．【解析】 圆心也在直线y ＝－3上，故圆心为(2，－3)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝58．(2020·佛山模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________．【解析】 由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y2＝2.【答案】 (x ＋1)2＋y2＝2三、解答题9．(2020·福建高考改编)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．【解】 法一 依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.法二 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r ， 解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.10.图8－3－1如图8－3－1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在边AD 所在直线上．求：(1)边AD 所在直线的方程；(2)矩形ABCD 外接圆的方程．【解】 (1)∵直线AB 的斜率为13，AD ⊥AB ，∴kAD ＝－3. ∵T(－1,1)在边AD 所在直线上，∴直线AD 的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)∵点A 为直线AB ，AD 的交点，∴点A 坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋2＝0，x －3y －6＝0的解， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴A(0，－2)． ∵矩形的对角线的交点即为其外接圆的圆心，∴所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.11．已知以点P 为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 、D ，且|CD|＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程；(3)设点Q 在圆P 上，试探究使△QAB 的面积为8的点Q 共有几个？证明你的结论．【解】 (1)∵kAB ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0，①又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，∴(a＋1)2＋b2＝40，②①代入②消去a得b2－4b－12＝0，解得b＝6或b＝－2.当b＝6时，a＝－3，当b＝－2时，a＝5.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.(3)∵|AB|＝42＋42＝42，∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2 2.又圆心到直线AB的距离为2102－222＝42，圆P的半径r＝210，且42＋22＞210，故点Q不在劣弧AB上，∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8.。
(广东专用)高考数学总复习 8-7 课时跟踪练习 文(含解析)
课时知能训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 2．若双曲线y 25－x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2012·惠州调研)已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 29－y 219＝1 D.x 219－y 29＝1 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7．(2012·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2面积．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 11．(2011·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．答案及解析1．【解析】 由题意知ba＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2c 2＝a 2＋b2c 2＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1. 【答案】 B2．【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53x 可知m ＝9. ∴F (0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14＝3. 【答案】 B3．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a ＞2.∴e ＝c a ＝ 1＋b a 2>1＋4＝ 5.【答案】 C4．【解析】 由题意知曲线C 2是以椭圆C 1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4， 由椭圆的离心率知c 13＝513，∴c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1. 【答案】 A5．【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→⇒|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝(210)2＝40.又|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴(|MF 1→|－|MF 2→|)2＝40－4＝36，∴2a ＝6⇒a ＝3，∴a 2＝9，b 2＝c 2－a 2＝1.∴方程为x 29－y 2＝1. 【答案】 A6．【解析】 由题意知，M 点的坐标为M (3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝－2＋15－2＝4. 【答案】 47．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12， ∴离心率e ＝c a ＝1＋b a 2＝52. 【答案】 52 8．【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q (4,0)，|PF |－|FQ |＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PQ |＋|PA |，∴当P 、Q 、A 三点共线时，|PF |＋|PA |有最小值， ∵|AQ |＝－2＋－2＝5，∴|PF |＋|PA |的最小值为4＋5＝9.【答案】 99．【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.10．【解】 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2， ∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 又s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a ·c 2－a 2≥2c 2. 于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解之得54≤e 2≤5，又e >1，∴e 的范围是e ∈[52，5]． 11．【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得{ |CF 1|＝r ＋CF |＝r －2或{ |CF 1|＝r －2，CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4.∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝355－52＋455－2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋25x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．。
(广东专用)2020高考数学总复习第七章第四节课时跟踪训练理
、选择题1已知直线a , b , c 及平面a,3,下列条件中，能使 a // b 成立的是( )A . a / a, b? aB . a / a, b / a D . a / a, aA=3 bC 正确，A 中a 与b 可能异面. B 中a , b 可能相交或异面，D 中a , b 可能异面. 【答案】 CC 中，1 // m 或I 与m 异面，C 是假命题.D 中I 与m 相交、平行或异面，为假命题.【答案】 B3. (2020佛山质检)给出下列关于互不相同的直线 I 、m 、n 和平面a 、3 丫的三个命题: ① 若I 与m 为异面直线,I? a, m? 3则a// 3② 若 all 3 I? a, m? 3 贝U I // m ；③ 若 ad 甘 1, 3门予 m , Yd=a n , I // Y 贝 m // n.其中真命题的个数为 ( )A .3B .2C .1D .0【解析】 ①中当a 与3不平行时，也可能存在符合题意的I 、m. ②中 I 与 m 也可能异面.I /y③中 I? 3 ? I /m 同理 I /n 贝 m /n 正确.3门予m【答案】 C4. 下列命题中 是假命题的是 ( )A .三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B .平面a//平面 3 a? a,过3内的一点B 有唯一的一条直线 b ,使b // aC. a// 3, 丫// S, a 、3与 Y 3的交线分别为 a 、b 、c 、d ,贝U a// b // c // dD .一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件【解析】 若两个平面平行 贝一条直线与这两个平面所成的角相等 但是一条直线与两个 平面成等角 贝这两个平面平行或相交 故 D 错误.答案】 D课时知能训练C ．a /c ,b /c【解析】 由平行公理知 2. 设 l ,m 是两条不同的直线, A .若I 丄m , m? a,贝U l 丄a C .若 I // a, m? a,贝y I // m 【解析】 A 中，I? a,得不到 由线面垂直的性质，知 m 丄a , a 是一个平面，则下列命题正确的是 B. 若I 丄a , I // m ,贝U m 丄 D .若 I //a, m // a , I 丄a, A 为假命题. B 为真命题. a 则 l /m图7-4 —105. 如图7 —4—10,若Q是长方体ABCD —A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1 后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH // A1D1，则下列结论中不正确的是（）A . EH // FGB .四边形EFGH是矩形C. Q是棱柱D. Q是棱台【解析】•/ EH // A1D1 ,••• EH // B1C1 ,••• EH //平面BB1C1C.由线面平行性质，EH // FG.同理EF// GH.且B1C1 丄面EB1F.由直棱柱定义知几何体B1EF —C1HG为直三棱柱，•四边形EFGH为矩形，Q为五棱柱.【答案】D二、填空题6. 过三棱柱ABC —A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有_________条.【解析】如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则与平面ABB1A1平行的直线有EF, GH , FG, EH , EG , FH共6条.【答案】67. （2020 •州模拟）如图7 —4 —11,棱柱ABC —A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B //平面B1CD，贝U A1D : DC1的值为_____________ .图7—4 —11【解析】设BC1A B1C = O ,连结OD ,•/ A1B //平面B1CD 且平面A1BC0 平面B1CD = OD ,••• A1B // OD ,•••四边形BCC1B1是菱形，• O为BC1的中点，• D 为A1C1 的中点，贝U A1D : DC1 = 1.【答案】1A图7-4 —12&如图7—4—12,在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_________ .(1) AC 丄BD ;(2) AC // 截面PQMN ;(3) AC = BD ;⑷异面直线PM与BD所成的角为45 °【解析】•/ PQMN是正方形，• MN // PQ,贝U MN //平面ABC ,由线面平行的性质知MN // AC ,贝U AC //平面PQMN ,同理可得MQ // BD，又MN丄QM，贝U AC丄BD，故(1)(2)正确.又••• BD // MQ，•异面直线PM与BD所成的角即为/ PMQ = 45°故⑷正确.【答案】⑶三、解答题图7—4 —139. 如图7 —4 —13,在正方体ABCD —A1B1C1D1 中，M , N , E, F 分别是棱A1B1 , A1D1 , B1C1 , C1D1的中点，试问：平面AMN与平面EFDB有怎样的位置关系？并证明你的结论.【解】平面AMN //平面EFDB.证明如下：•/ MN // EF , EF?平面EFDB , MN ?平面EFDB , • MN //平面EFDB.又AM // DF，同理可证AM //平面EFDB.•/ MN ?平面AMN , AM ?平面AMN，且MN P AM = M ,•平面AMN //平面EFDB.10. 如图7 —4—14所示，正三棱柱ABC —A1B1C1 , AA1 = 3, AB = 2,若N为棱AB的中图7-4 —14(1) 求证：AC1 //平面NB1C ; ⑵求四棱锥C1 —ANB1A1的体积.【解】⑴证明法一如图所示连结BC1和CB1交于0点，连结ON.•/ ABC —A1B1C1是正三棱柱，•••0为BC1的中点.又N为棱AB中点，•••在厶ABC1 中，N0 // AC1 ,又N0?平面NB1C , AC1 ?平面NB1C ,• AC1 //平面NB1C.法二如图所示取A1B1中点M，连结AM , C1M ,•/ N 是AB 中点，• AN 綊B1M ,•四边形ANB1M 是平行四边形，•AM // B1N ,•AM //平面CNB1 ,同理可证C1M //平面CNB1.•/ AM T C1M = M ,•平面AMC1 //平面CNB1.•AC1 //平面CNB1.⑵•/ ANB1A1 是直角梯形，AN = 1 , A1B1 = 2, AA1 = 3, •四边形ANB1A1面积为92，•/ CN 丄平面ANB1A1 ,•CN的长度等于四棱锥C1 —ANB1A1的高，•四棱锥C1 —ANB1A1的体积为迪.图7—4 —1511. （2020北京高考）如图7 —4—15,在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC,点D , E, F, G 分别是棱AP , AC , BC, PB的中点.(1) 求证：DE //平面BCP.⑵求证：四边形DEFG为矩形.⑶是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 【证明】(1)因为D , E分别为AP, AC的中点，所以DE // PC.又因为DE?平面BCP ,所以DE //平面BCP.(2) 因为D , E, F, G分别为AP , AC, BC, PB 的中点，所以DE // PC // FG, DG // AB // EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB ,所以DE丄DG ,所以四边形DEFG为矩形.(3) 存在点Q满足条件，理由如下：连结DF, EG,设Q为EG的中点.如图所示.1由⑵知，DF n EG = Q，且QD = QE = QF= QG = *EG.分别取PC, AB的中点M , N，连结ME , EN, NG , MG , MN.与⑵同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q , 且QM = QN = 1E G , 所以Q 为满足条件的点.。
(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第五节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条直线C ．两个点D ．4条直线【解析】 由(x －y)2＋(xy －1)2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0xy －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1， 即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．【答案】 C2．已知椭圆的焦点是F1，F2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 设椭圆的中心为O ，则OM 是△PF1F2的中位线，∴|MO|＋|MF1|＝a ＞c ，∴动点M 的轨迹是以点F1，O 为焦点的椭圆．【答案】 B3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0【解析】 ∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设点C(x ，y)由题意可知 12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， ∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.【答案】 B4．(2020·杭州模拟)设P 为圆x2＋y2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 设M(x ，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧ x －x0＝λx0－x y －y0＝－λy (λ＞0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝x y0＝λ＋1y由于x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴点M 的轨迹是椭圆．【答案】 B5．设圆(x ＋1)2＋y2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴a ＝52，c ＝1，则b2＝a2－c2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1. 【答案】 D二、填空题6．(2020·汕头模拟)已知A ，B 是圆O ：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．【解析】 由题意△ABC 是以点C 为直角顶点的三角形．∴|MC|＝3，故圆心M 的轨迹是以点C(1，－1)为圆心，以3为半径的圆，其轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝97．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为________．【解析】 依题意，设PM ，PN 与圆的切点为C ，D ，则|PM|－|PN|＝(|PC|＋|MC|)－(|PD|＋|DN|)＝|MB|－|NB|＝2，∴点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线(与x 轴的交点除外)的右支，c ＝3，a ＝1，b2＝8，轨迹方程为x2－y28＝1(y≠0，x ＞0)． 【答案】 x2－y28＝1(y≠0，x ＞0) 8．△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x ＞3)．【答案】 x29－y216＝1(x ＞3) 三、解答题9．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 直线l 与y 轴的交点为N(0,1)，圆心C(2,3)，设M(x ，y)，∵MN 与MC 所在直线垂直，∴y －1x ·y －3x －2＝－1，(x≠0且x≠2)， 当x ＝0时不符合题意，当x ＝2时，y ＝3符合题意，∴AB 中点的轨迹方程为：x2＋y2－2x －4y ＋3＝0，7－74＜x ＜7＋74.图8－5－410．(2020·陕西高考)如图8－5－4，设P 是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 【解】 (1)设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(xP ，yP)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧xP ＝x ，yP ＝54y ，∵P 在圆上，∴x2＋(54y)2＝25，即轨迹C 的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x225＋x －3225＝1，即x2－3x －8＝0. ∴x1＝3－412，x2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415. 11．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为－34. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点(12，0)作直线l ，与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)设P 点的坐标为(x ，y)，依题意得y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2)，化简并整理得x24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x24＋y23＝1(x≠±2)． (2)依题意得，直线l 过点(12，0)，且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎨⎧ x ＝my ＋12x24＋y23＝1，消去x 得4(3m2＋4)y2＋12my －45＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，∴y1＋y2＝－3m 3m2＋4， ∴y0＝y1＋y22＝－3m 23m2＋4， ∴x0＝my0＋12＝23m2＋4， ∴k ＝y0x0－2＝m 4m2＋4， ①当m ＝0时，k ＝0，②当m≠0时，k ＝14m ＋4m，又|4m ＋4m |＝4|m|＋4|m|≥8， ∴0＜|k|≤18，∴－18≤k≤18，且k≠0， 综合①②，直线AM 的斜率k 的取值范围为[－18，18]．。
(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第四节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．(2020·清远质检)已知直线l ：y ＝k(x －1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π 【解析】 由题意知，|k ＋3|k2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π. 【答案】 D2．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．5【解析】 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2r2－d2＝29－5＝4.【答案】 B3．过点(－4,0)作直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB|＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3，当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.则有|3k －2|k2＋1＝3，∴k ＝－512，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 【答案】 B4．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x ，y)满足OM →·CM →＝0，则y x＝( ) A.33 B.33或－33C. 3D.3或－ 3【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k|k2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3.【答案】 D5．(2020·广州模拟)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a>0，b>0)始终平分圆M ：x2＋y2＋8x ＋2y＋1＝0的周长，则1a ＋4b的最小值为( ) A ．8 B ．16C ．1D ．20【解析】 由圆M 化为(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16，∴圆M 的圆心M(－4，－1)．依题意，直线l 过圆心M(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，从而(1a ＋4b )＝(1a ＋4b)(4a ＋b) ＝8＋b a ＋16a b≥8＋216＝16， 当且仅当b a ＝16a b ，即b ＝12，a ＝18时，取等号， ∴1a ＋4b的最小值为16. 【答案】 B二、填空题6．直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a.由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C(－2,3)的连线必垂直于l ，又kAB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 【答案】 x －y ＋5＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.【解析】 公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，由已知得，圆心(0,0)到公共弦的距离为1，∴1a＝1，∴a ＝1.【答案】 18．已知圆O 的方程为x2＋y2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是________．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1,3)，故设PQ 方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，由PQ 与圆O 相切得， |3－k|k2＋1＝2，即k2＋6k －7＝0，解得k ＝1或k ＝－7. 【答案】 1或－7三、解答题9．已知曲线C ：x2＋y2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.(1)求证：不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)求证：当m≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上．【证明】 (1)曲线C 的方程为x2＋y2－20＋m(－4x ＋2y ＋20)＝0，故其经过圆x2＋y2－20＝0与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点．又因为直线－4x ＋2y ＋20＝0与圆x2＋y2－20＝0相切于点(4，－2)，所以不论m 取何实数，曲线C 恒过定点(4，－2)．(2)曲线C 的方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5m2－20m ＋20＝5(m －2)2.当m≠2时，5(m －2)2>0.所以曲线C 表示一个圆，且圆心P(2m ，－m)在定直线x ＋2y ＝0上．10．(2020·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O.(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F(4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设圆心为C(a ，b)，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率kOC ＝b a ＝－1，故b ＝－a ，则|OC|＝22，即a2＋b2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2，结合点C(a ，b)位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q(m ，n)符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －42＋n2＝42m2＋n2≠0m ＋22＋n －22＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q(45，125)符合题意． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为(－34，0)．(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则OA →＋OB →＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③ 因P(0,2)、Q(6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k.。
(广东专用)2020高考数学总复习 第九章第四节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图9－4－1(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图9－4－1(2)．由这两个散点图可以判断()图9－4－1A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【解析】由散点图可得两组数据均线性相关，且图(1)的线性回归方程斜率为负，图(2)的线性回归方程斜率为正，则由此散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．【答案】 C图9－4－22．(2020·陕西高考)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图9－4－2)，以下结论正确的是()A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．【答案】 A3．已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点()x 1 2 3 4 5y 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8A.(0,0)B．(2,1.8)C ．(3,2.5)D ．(4,3.2)【解析】 ∵回归直线一定过点(x ，y )， 又x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.85＝2.5，∴回归直线一定过点(3,2.5)． 【答案】 C 4．(2020·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176【解析】 ∵x ＝176，y ＝176，又回归直线一定过(x ，y )，∴经检验A 、B 、D 错误，C 正确． 【答案】 C5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( ) A ．99% B ．97.5% C ．95% D ．90%【解析】 可计算k ＝11.377＞6.635. 【答案】 A 二、填空题6．某市居民2020～2020年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．【解析】 居民家庭的年平均收入按从小到大排依次为：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图，由图可知家庭年平均收入与年平均支出有正的线性相关关系． 【答案】 13 正7．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧中b ∧＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．【解析】 x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ∧.∴a ∧＝60.∴y ∧＝－2x ＋60. 令x ＝－4，∴y ∧＝(－2)×(－4)＋60＝68.【答案】 688．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 男 13 10 女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k ＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．【解析】 ∵k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%. 【答案】 5% 三、解答题 9．(2020·惠州模拟)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗2325302616(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；(2)若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧.【解】 (1)m ，n 的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10个．设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，所以P(A)＝310， 故事件A 发生的概率是310.(2)由数据得x ＝12，y ＝27,3xy ＝972，∑3i ＝1xiyi ＝977，∑3i ＝1x2i ＝434,3x 2＝432由公式，得b ∧＝977－972434－432＝52，a ∧＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ∧＝52x －3.10．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加 班级工作 不太主动参 加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由． (参考下表) P(K2≥k) 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解】 (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， ∴抽到积极参加班级工作的学生的概率P1＝2450＝1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， ∴抽到不太主动参加工作且学习积极性一般的学生的概率P2＝1950，(2)由列联表知，k ＝50×18×19－6×7225×25×24×26＝15013≈11.5，由k ＞6.635，∴有99%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．11．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)内的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂： 分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数 12638618292614乙厂： 分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计附：K2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，P(K2≥k) 0.05 0.01 k3.8416.635【解】 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品， 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 合计5005001 000k ＝1 000×360×180－320×1402500×500×680×320≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。
(广东专用)2020高考数学总复习 第九章第一节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．(2020·天津高考)阅读如图9－1－11所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为()图9－1－11A．0.5B．1C．2D．4【解析】当x＝－4时，|x|＝4＞3，执行x＝|－4－3|＝7，当x＝7>3，执行x＝|7－3|＝4>3，x再赋值为x＝|4－3|＝1.当x＝1<3，则y＝21＝2，输出2.【答案】 C图9－1－122．如图9－1－12的程序框图输出的S是126，则①应为()A．n≤5?B．n≤6?C．n≤7?D．n≤8?【解析】∵2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，∴应填入n≤6.【答案】 B3．某流程图如图9－1－13所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()图9－1－13A ．f(x)＝|x|xB ．f(x)＝12x －1＋12C ．f(x)＝ex －e －x ex ＋e －xD ．f(x)＝lg sin x 【解析】 由程序框图可知，输出的函数应是奇函数且有零点的函数，A 中f(x)为奇函数而无零点，B 中f(x)为奇函数无零点，C 中f(x)为奇函数且零点为0，符合题意，D 中f(x)不是奇函数．【答案】 C4．阅读如图9－1－14的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )图9－1－14A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)【解析】 若x ∉[－2,2]，则f(x)＝2∉[14，12]，不合题意； 当x ∈[－2,2]时，f(x)＝2x ∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]． 【答案】 B5．如图9－1－15(1)是某县参加2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )图9－1－15A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?【解析】 统计身高在160～180 cm 的学生，即A4＋A5＋A6＋A7.当4≤i≤7时符合要求．【答案】 C二、填空题6．(2020·江西高考)如图9－1－16所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．图9－1－16【解析】 当n ＝1时，s ＝1；当n ＝2时，s ＝3×2＝6；当n ＝3时，s ＝9×3＝27；当n ＝4时，输出s ＝27.【答案】 27图9－1－177．若f(x)＝ax(a ＞0，a≠1)，定义由如图9－1－17所示框图表述的运算(函数f －1(x)是函数f(x)的反函数)，若输入x ＝－2时，输出y ＝14，则输入x ＝18时，输出y ＝________. 【解析】 ∵f(x)＝ax ，∴f －1(x)＝logax.∵x ＝－2≤0，∴a －2＝14，∴a ＝2 ∴f －1(x)＝log2x∵x ＝18＞0，∴y ＝log218＝－3. 【答案】 －38．如图9－1－18给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有________个．图9－1－18【解析】 由框图可知，当x≤2时，若x2＝x ，则x ＝0,1，当2＜x≤5时，若2x －3＝x ，则x ＝3，当x ＞5时，若1x＝x ，则x ＝±1(舍去)． ∴满足x ＝y 的x 值共有3个．【答案】 3三、解答题9．设计求1＋3＋5＋7＋…＋31的算法，并画出相应的程序框图．【解】 算法如下：第一步，令S ＝0，i ＝1；第二步，若i≤31，则执行第三步；否则，结束算法，输出S ；第三步，S ＝S ＋i ；第四步，i ＝i ＋2，返回第二步．程序框图：10．到银行办理汇款(不超过10万元)，银行收取一定的手续费．汇款额度不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元．设计一个描述汇款额为x 元，银行收取手续费y 元的算法，并画出相应的程序框图．【解】 由题意可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， 0＜x≤100，1%x ， 100＜x≤5 000，50， 5 000＜x≤100 000.算法如下：第一步，输入x.第二步，若0＜x≤100，则y ＝1；否则执行第三步．第三步，若100<x≤5 000，则y ＝1%x ；否则执行第四步．第四步，若5 000＜x≤100 000，则y ＝50；否则输出“输入有误”．第五步，输出y.程序框图如图所示：11．(2020·茂名模拟)已知数列{an}的各项均为正数，观察如图9－1－19程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021. 试求数列{an}的通项公式；图9－1－19【解】 当i ＝1时，a2＝a1＋d ，M ＝1a1a2，S ＝1a1a2，当i＝2时，a3＝a2＋d，M＝1a2a3，S＝1a1a2＋1a2a3.当i＝3时，a4＝a3＋d，M＝1a3a4，S＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4……因此由程序框图可知，数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d.当k＝5时，S＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋1a4a5＋1a5a6＝(1a1－1a2＋1a2－1a3＋1a3－1a4＋1a4－1a5＋1a5－1a6)1d＝(1a1－1a6)1d＝5a1a6＝511∴a1a6＝11，即a1(a1＋5d)＝11，①当k＝10时，S＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1a10a11＝(1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1a10－1a11)1d＝(1a1－1a11)1d＝10a1a11＝1021，∴a1a11＝21，即a1(a1＋10d)＝21，②由①②解得a1＝1，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.。
高考数学总复习 第八章第八节 课时跟踪训练 理试题
卜人入州八九几市潮王学校课时知能训练一、选择题1．(2021·调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是() A．y＝3x2或者y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或者y＝3x2D．y＝－3x2或者y2＝9x【解析】圆的HY方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y2＝2p1x或者x2＝－2p2y，那么(－3)2＝2p1或者1＝6p2，∴2p1＝9或者2p2＝，∴抛物线方程为y2＝9x或者x2＝－y，那么y2＝9x或者y＝－3x2.【答案】D2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的间隔是4，那么点P到该抛物线焦点的间隔是()A．4B．6C．8D．12【解析】如图，抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，过抛物线上一点P作准线的垂线PE，连结PF，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.【答案】B3．点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的间隔与点P到抛物线焦点间隔之和获得最小值时，点P的坐标为()A．(，－1)B．(，1)C．(1,2)D．(1，－2)【解析】如图，∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的间隔．过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，那么点K为取最小值时的所求点．当y＝－1时，由1＝4x得x＝.所以点P的坐标为(，－1)．【答案】A4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假设直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2,0)，设A点的坐标为(－2，n)，那么＝－，解得n＝4，又PA⊥l，由(4)2＝8x，得x＝6.∴P(6,4)，∴|PF|＝＝8.【答案】B5．抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B两点在抛物线上，∴①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.【答案】B二、填空题6．抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，那么a的值是________．【解析】由题意知＝－2，∴a＝－8.【答案】－87．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，那么p的值是________．【解析】双曲线的左焦点坐标为(－，0)，抛物线的准线方程为x＝－，∴－＝－，∴p2＝16，又p＞0，∴p＝4.【答案】48．(2021·模拟)假设点P到直线y＝－1的间隔比它到点(0,3)的间隔小2，那么点P的轨迹方程是________．【解析】由题意可知点P到直线y＝－3的间隔等于它到点(0,3)的间隔，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其HY方程为x2＝12y.【答案】x2＝12y三、解答题图8－8－19．如图8－8－1，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A 到抛物线准线的间隔等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【解】(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线的HY方程为y2＝4x.(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－.那么FA所在直线的方程为y＝(x－1)．MN所在直线的方程为y－2＝－x.解方程组，得.∴N(，)．10．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)假设＝2，求直线l的方程．【解】(1)由题意可知，F(1,0)．∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，联立，消去y得x2－6x＋1＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴所求圆的圆心坐标为(3,2)，半径r＝＋1＝4，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16(2)由题意可知直线l的斜率必存在，设为k，那么直线l的方程为y＝k(x－1)．由得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么由＝2，得(x1－1，y1)＝2(1－x2，－y2)∴y1＝－2y2③由①②③得k2＝8，k＝±2∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．11．(2021·模拟)抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)假设直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且＝a，＝b，对任意的直线l，a＋b是否为定值？假设是，求出a＋b的值；否那么，说明理由．【解】(1)联立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝＝2p，由2p＝4得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，那么直线l与x轴交点为M(－，0)，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0，∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.由＝a，得(x1＋，y1)＝a(－x1,1－y1)，∴a＝＝－，同理可得b＝－，∴a＋b＝－(＋)＝－(2＋)＝－1，∴对任意的直线l，a＋b为定值－1.。
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课时知能训练
一、选择题
1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x236－y2108＝1 B.x29－y227
＝1 C.x2108－y236＝1 D.x227－y29
＝1 【解析】 由题意知b a
＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由{ b2＝3a2c2＝a2＋b2c2＝36，得{ a2＝9b2＝27，
∴双曲线方程为x29－y227
＝1. 【答案】 B
2．若双曲线y25－x2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53
x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53
x 可知m ＝9. ∴F(0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14
＝3. 【答案】 B
3．(2020·惠州调研)已知双曲线x2a2－y2b2
＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a
＞2. ∴e ＝c a ＝ 1＋b a
2>1＋4＝ 5. 【答案】 C
4．设椭圆C1的离心率为513
，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.x242－y232＝1
B.x2132－y252
＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122
＝1 【解析】 由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4，
由椭圆的离心率知c 13＝513
，∴c ＝5，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，
∴曲线C2的标准方程为x216－y29＝1. 【答案】 A 5．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.x29－y2＝1 B ．x2－y29
＝1 C.x29－y219＝1 D.x219－y29
＝1 【解析】 ∵MF1→·MF2→＝0，
∴MF1→⊥MF2→⇒|MF1→|2＋|MF2→|2＝(210)2＝40.
又|MF1→|·|MF2→|＝2，
∴(|MF1→|－|MF2→|)2＝40－4＝36，
∴2a ＝6⇒a ＝3，
∴a2＝9，b2＝c2－a2＝1.
∴方程为x29
－y2＝1. 【答案】 A
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 由题意知，M 点的坐标为M(3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝3－42＋±15－02＝4.
【答案】 4
7．(2020·揭阳模拟)中心在原点焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．
【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12
， ∴离心率e ＝c a
＝ 1＋b a 2＝52
. 【答案】 52 8．已知F 是双曲线x24－y212
＝1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q(4,0)，|PF|－|FQ|＝4，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PQ|＋|PA|，
∴当P 、Q 、A 三点共线时|PF|＋|PA|有最小值， ∵|AQ|＝4－12＋0－42＝5，
∴|PF|＋|PA|的最小值为4＋5＝9.
【答案】 9
三、解答题 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：MF1→·MF2→＝0；
(3)求△F1MF2面积．
【解】 (1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 ∵MF1→＝(－3－23，－m)，
MF2→＝(23－3，－m)．
∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，
∵M 点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1→·MF2→＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4 3.
由(2)知m ＝±3.
∴△F1MF2的高h ＝|m|＝3，
∴S △F1MF2＝6.
10．双曲线x2a2－y2b2
＝1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 【解】 直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 由a>1，得点(1,0)到直线l 的距离d1＝b a －1a2＋b2
. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b a ＋1a2＋b2
， ∴s ＝d1＋d2＝2ab a2＋b2＝2ab c
. 又s≥45c ，得2ab c ≥45
c ，即5a·c2－a2≥2c2.
于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解之得54≤e2≤5，又e>1， ∴e 的范围是e ∈[52，5]． 11．(2020·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y2＝4，(x －5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)已知点M(355，455
)，F(5，0)，且P 为L 上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P 的坐标．
【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y)，半径为r.
圆(x ＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x －5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得{ |CF1|＝r ＋2|CF|＝r －2或{ |CF1|＝r －2，|CF|＝r ＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝25＞4，
∴圆C 的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，
其方程为x24
－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝
355－52＋455－02＝2.
直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得
⎩⎨⎧
y ＝－2x ＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x ＋84＝0. 解得x1＝14515(舍去)，x2＝655
. 此时y ＝－255
. ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255
)．。