大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２）
cos sin 1.()2,()()22
()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π
==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数
2x 1
n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin
21C X (1) x
n e x x n a D a π
→-=--==>、x 时，与相比是（　）
Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）
Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1
X cos
n
=
2
00000001(
)
5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o
C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）
Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
二、填空题
1d 1
2lim 2,,x d x
ax b
a b →++=ｘｘ２
２１１、（ ）＝ｘ+1
、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：
ｘ
２
３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１
ｘ５、若则的值分别为：
ｘ＋2x-3
1 In 1x + ;
2 322y x x =-;
3 2
log ,(0,1),1x
y R x
=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m
lim
lim 2
(1)(3)3477,6
x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-=
三、判断题
1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）
2、0sin lim
x x
x
→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）
3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）
4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）
5、设
函
数
ｆ
(x)
在
[]
0,1上二阶可导且
'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有
1~5 FFFFT
四、计算题
1用洛必达法则求极限2
1
2
lim x x x e →
解：原式=2
2
2
1
1
1
330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x
--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求
解：332233
33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0
f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴=
3 2
4
lim(cos )
x x x →求极限
4
I cos 22
4
I cos lim 0
22000002
lim 1
(sin )
4
cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224
n x
x x n x x
x x x x x x e e x In x x x x In x x x x x
x e →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式
4 (3y x =-求 511
I 3112
322
1531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅
---⎤
=-+-⎥---⎦
解：
5 3tan xdx ⎰
2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1
tan tan cos cos 1
tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx x
xd x dx x xd x d x
x
x In x c
=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰解：原式=（ = = = =
6arctan x xdx ⎰
求
222
222
22211arctan ()(arctan arctan )22111
(arctan )2111arctan (1)211arctan 22
xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x x
x c
=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式=
= = =
五、证明题。

1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-
[][]1221
222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),'(0
()01)()00()00,,(),,()()0
,()0'()31f f f x f f x f x f x x x x f x x x x x f x f x x x f f ξξξξξξ=-<=>∴∈==+∞=+∞>==∴∃∈⋅==+且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x 在上连续，在（）内可导且至少（），s t 而3110x x ≥∴+-=与假设相矛盾方程有且只有一个正实根
2、arcsin arccos 1x 12
x x π
+=-≤≤证明（）
[][]
()arcsin arccos '()0,1,1()(0)arcsin 0arccos 02
(1)arcsin1arccos12
(1)arcsin(1)arccos(1)2
()arcsin arccos 1,12
f x x x
f x x f x c f f f f x x x x π
π
π
π
=+=-=∈-∴===+==+=
-=-+-=
∴=+=
∈-证明：设综上所述，，
六、应用题
1、描绘下列函数的图形
21y x x
=+
322
3
.Dy=(-,0)(0,+)121
2.y'=2x-'02
''2''0,1x x x y x y x
y x ∞⋃∞-=
===+==-解：1令得令得
3.
4.补充点7179
(2,).(,).(1,2).(2,)2222
---
50
lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线
6如图所示：
2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值
12()22(1)(1)'()2(0)'()0,1,1Df x R
x x f x x x x x
f x x x =-+=-
=≠==-=解：令得
由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和
单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）
且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。