数学第六章 实数单元测试附解析

数学第六章 实数单元测试附解析
一、选择题
1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=
p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=31
62
=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =
12
；② F(24)=3
8；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则
F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．一个正数a 的平方根是2x ﹣3与5﹣x ，则这个正数a 的值是（ ） A ．25
B ．49
C ．64
D ．81
3．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则
（ ） A ．132
B ．146
C ．161
D ．666
4．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．
A ．（0，21008）
B ．（0，-21008）
C ．（0，-21009）
D ．（0，21009）
5．2，估计它的值( ) A ．小于1
B ．大于1
C ．等于1
D ．小于0
6．下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．1的值（ ） A ．在6和7之间
B ．在5和6之间
C ．在4和5之间
D ．在7和8之间
8．下列各数中3.14，0.1010010001…，﹣1
7
，2π有理数的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．若4a =，且a ＋b ＜0，则a －b 的值是（ ） A ．1或7
B ．﹣1或7
C ．1或﹣7
D ．﹣1或﹣7
10．在下列实数中，无理数是( ) A ．
337
B ．π
C ．25
D ．
13
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．
12．已知M 是满足不等式36a -<<的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤
3722
-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．
13．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为
2k n （其中k 是使2
k
n
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：
若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．
14．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．
15．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____．
16．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
17．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 2x y +的值为______．
18．若x ＜0323x x ____________． 1946________．
20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点
O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．
三、解答题
21．观察下列各式： (x －1)(x+1)=x 2－1 (x －1)(x 2+x+1)=x 3－1 (x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1 ……
（1）根据以上规律，则(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x －1)(x n +x n －1+x n －
2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
22．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：
a ⊕
b ⊕
c =
2a b c a b c --+++.如：(1)-⊕2⊕3=123(1)23
52
---+-++=.
①根据题意，3⊕(7)-⊕11
3
的值为__________； ②在651128
,,
,,0,,,,7
77999
---这15个数中，任意取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a ⊕b ⊕c ”运算，在所有计算结果中的最大值为__________；最小值为__________．
23．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =. 例如：因为328=，所以()3
(8)23g g ==，
因为1021024=， 所以()10
(1024)2
10g g ==.
（1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：
若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 根据运算性质解答下列各题： ①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探
究： 操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与
表示的点重合； 操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是__________________； 操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
25．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：0,?0,?
0,?a b a b a b a b a b a b ->>⎧⎪
-==⎨⎪-<<⎩
则则则； 192与2的大小 ∵1922194-= 161925<< 则4195<< ∴19221940-=> ∴
1922>
请根据上述方法解答以下问题：比较223-与3-的大小． 26．阅读理解．
459253． ∴151＜2
51的整数部分为1， 5152．
解决问题：已知a 17﹣3的整数部分，b 17﹣3的小数部分． （1）求a ，b 的值；
（2）求（﹣a ）3+（b +4）2172＝17．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F（2）=1
2
，故①正确；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小
∴F（24）= 42
=
63
，故②是错误的；
∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F（27）=31
=
93
，故③错误；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.
正确的共有2个．
故答案为B．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．
2．B
解析：B
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
3．B
解析：B 【解析】
分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案． 详解：1.52=2.25，可得出有2个1； 2.52=6.25，可得出有4个2； 3.52=12.25，可得出有6个3； 4.52=20.25，可得出有8个4； 5.52=30.25，可得出有10个5； 则剩余6个数全为6.
故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146. 故选：B.
点睛本题考查了估算无理数的大小.
4．D
解析：D
【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.
详解：因为P 1（1，-1）=（0，2）； P 2（1，-1）=P 1(P 1(1,-1）)=P 1(0,2)=(2,-2)； P 3（1，-1）=P 1（P 2(2,-2)）=(0,4)； P 4（1，-1）=P 1（P 3(0,4)）=(4,-4)； P 5（1，-1）=P 1（P 4(4,-4)）=(0,8)； P 6（1，-1）=P 1（P 5(0,8)）=(8,-8)； ……
P 2n-1（1，-1）=……=(0,2n )； P 2n （1，-1）=……=(2n ,-2n ). 因为2017=2×
1009-1， 所以P 2017=P 2×1009-1=（0，21009）. 故选D.
点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.
5．A
解析：A 【分析】
首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可.
【详解】
<<，
∵23
-<<-，
∴22232
<<，
∴021
-的值大于0，小于1.
2
所以答案为A选项.
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
6．B
解析：B
【分析】
根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.
【详解】
①正确；
②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；
③正确；
④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
利用36＜38＜49得到671进行估算．
【详解】
解：∵36＜38＜49，
∴67，
∴51＜6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
直接利用有理数的定义进而判断得出答案．
【详解】
解：3.14，0.1010010001…，-17 ，2π 3.14，-1
7
＝-2共3个. 故选C ． 【点睛】
此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键．
9．D
解析：D 【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a 与b 的值，即可求出
-a b 的值．
【详解】
解：∵3a ==， 且a +b <0， ∴a =−4，a =−3；a =−4，b =3， 则a −b =−1或−7． 故选D ． 【点睛】
本题考查实数的运算，掌握绝对值即二次根式的运算是解题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】
解：
337，1
3是有理数， π是无理数， 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
二、填空题
11．、、、． 【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53； 如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：53、17、5、1．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x≤的
解析：±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】
解：∵M a
<<a的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x≤
2
2
的最大整数，
∴N＝2，
∴M＋N＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键．
13．．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；
第五次：1×3+5解析：8．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：1352
2k
，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；
第六次：8
2k
，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循
环．
因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．
故答案为8．
14．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
82，2，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
15．1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1
解析：1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x ＝3，y ＝2或x ＝3，y ＝﹣2，
则x ﹣y ＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟
解析：3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴25,8x y ==-，
∴=，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．
18．0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x＜0，
∴，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是
解析：0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x＜0，
x x
=-+=，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．19．6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解
解析：6
【分析】
的整数部分．
【详解】
∵246=，2636=，2749=
又∵36＜46＜49
∴6＜7
6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
20．【分析】
点对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径半圆弧周长
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：12π
+
【分析】
点O '对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即12π
+ 故答案为：
12π+．
【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．
三、解答题
21．（1）x 7－1；（2）x n+1－1；（3）51312
-． 【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1-1）=51312
- 故答案为：（1）x 7－1；（2）x n+1
－1；（3）51312
-． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
22．（1）3
（2）53
（3）117
-
【分析】 （1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；
（2）分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．
【详解】
解：①根据题中的新定义得：
3⊕()7-⊕113=()()111137373332
---++-+= ②当a-b-c≥0时，
原式()12
a b c a b c a =
--+++=, 则取a 的最大值，最小值即可，
此时最大值为89，最小值为67-； 当a-b-c≤0时，
原式()12a b c a b c b c =-+++++=+， 此时最大值为785993b c +=
+=，最小值为6511777b c ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵586113977
>>->-
∴综上所述最大值为
53，最小值为117
-. 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键．
23．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.
【分析】
（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；
（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），
7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16
g g g =-，再代入求解.
【详解】
解：（1）g （2）=g （21）=1，
g （32）=g （25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），
∵g （7）=2.807，g （2）=1，
∴g （14）=3.807；
7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；
②∵()3g p =.
∴22
(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416
g g g p =-=-. 【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
24．（1）2 (2)①2--5，3（3）
71937,,288
【分析】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O ，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：
CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=9
4
，得出AB、BC、CD的
值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．【详解】
操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，则折痕表示的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3-（-1）=-1-a，
a=-2-3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=9
4
，
∴AB=9
4
，BC=
9
4
，CD=
9
2
，
x=-1+9
4
+
9
8
=
19
8
，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，a+a+2a=9，
a=9
4
，
∴AB=9
4
，BC=
9
2
，CD=
9
4
，
x=-1+9
4
+
9
4
=
7
2
，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=9
4
，
∴AB=9
2
，BC=CD=
9
4
，
x=-1+9
2
+
9
8
=
37
8
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是19
8
或
7
2
或
37
8
．
25．2233
>-
【分析】
根据例题得到223(3)523
--=-523.【详解】
解：223(3)523
--=-
∵162325
<，
∴4235
<<，
∴223(3)5230
-=->，
∴2233
>-.
【点睛】
此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.
26．（1）a＝1，b17﹣4；（2）±4．
【分析】
（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【详解】
解：（1<，
∴4<＜5，
∴1﹣3＜2，
∴a＝1，b4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜5是解题关键．。