高考理科数学一轮复习(教学指导)正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径) a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C
变形形式
a ＝2R sin_A ，
b ＝2R sin_B ，
c ＝2R sin_C ；
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b
2R
，
sin C ＝c
2R
；
a ∶
b ∶
c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a
sin A
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ；
cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca ；
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
2.三角形解的判断 A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数
一解
两解
一解
一解
(1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)．
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝1
2
ab sin C .
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
常用结论
1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.
2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin
A ＋
B 2＝cos
C 2； (4)cos
A ＋
B 2＝sin C
2
. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B ．
二、教材衍化
1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π
6 B ．π3
C.2π3
D ．5π6
解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2
3
π.
2．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 解析：因为23sin 60°＝4sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝
1
2×2×23＝2 3.
答案：2 3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )
(4)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．
1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝c
sin C ，
所以sin B ＝b sin C
c ＝40×
3220
＝3>1.
所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．
解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B
3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形
利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求边长
(一题多解)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数
列，C ＝120°.
(1)求边长a ；
(2)求AB 边上的高CD 的长．
【解】 (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，
由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋（a ＋2）2－（a ＋4）2
2a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，
所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.
(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝1
2
c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACB c ＝3×5×3
27＝153
14，
即AB 边上的高CD ＝153
14.
法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7
sin 120°，
即sin A ＝33
14
，
在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝153
14，
即AB 边上的高CD ＝153
14
.
角度二 求角度
(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B
－sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ．
(1)求A ；
(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .
【解】 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32
cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－2
2
.
由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝2
2
，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24
.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．
1．(2020·安徽安庆二模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a
b
等于 ( )
A.3
2 B ．43
C. 2
D ． 3
解析：选D.由b sin 2A ＝a sin B ，及正弦定理得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，得cos A ＝1
2.
又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得a
b ＝ 3.故选
D.
2．(2020·河南郑州一模)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2
＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )
A.π6或2π
3 B ．π3
C.2π3
D ．π6
解析：选A.由b 2＋c 2－3bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc
2bc ＝
32，则A ＝π
6
， 由bc ＝3a 2，得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝3
4，
即4sin(π－C －A )sin C ＝3，
即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π
6sin C ＝3， 即4⎝⎛
⎭
⎫32sin C ＋12cos C sin C ＝23sin 2C ＋2sin C cos C ＝3，
即3(1－cos 2C )＋sin 2C ＝3－3cos 2C ＋sin 2C ＝3，则－ 3 cos 2C ＋sin 2C ＝0， 则3cos 2C ＝sin 2C ，则tan 2C ＝3， 即2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π
3
，故选A.
判断三角形的形状(典例迁移)
(2020·重庆六校联考)在△ABC 中，cos 2 B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的
对边)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【解析】 已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝a
c ①.由余弦定理得cos B ＝
a 2＋c 2－
b 22a
c ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．
【答案】 A
【迁移探究1】 (变条件)将“cos 2B 2＝a ＋c 2c ”改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，试判断
△ABC 的形状．
解：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，
所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π
2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
【迁移探究2】 (变条件)将“cos 2B 2＝a ＋c 2c ”改为“sin A sin B ＝a
c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝
3bc ”，试判断△ABC 的形状．
解：因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a
c ，所以b ＝c .
又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2.
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3，
所以△ABC 是等边三角形．
(1)判定三角形形状的2种常用途径
(2)判定三角形形状的3个注意点
①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；
③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2020·河南洛阳一模)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B (2－cos C )
＝sin 2C 2＋1
2
，则△ABC 为( )
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．锐角非等边三角形
D ．钝角三角形
解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()
A ＋
B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△AB
C 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .
因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1
2
，
所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－1
2cos C ，
所以－12[]
cos (
)
A ＋
B －cos （A －B ）(2－cos
C )＝1－1
2
cos C ，
所以－12(－cos C －1)(2－cos C )＝1－1
2cos C ，
即(cos C ＋1)(2－cos C )＝2－cos C ，
整理得cos 2C －2cos C ＝0，即cos C (cos C －2)＝0，所以cos C ＝0或cos C ＝2(舍去)，
所以C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形，故选B.
与三角形面积有关的问题(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin
A ＋C 2
＝b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解】 (1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin A ＋C
2＝sin
B ．
由A ＋B ＋C ＝180°，
可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2.
因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝
3
4a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2.
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°， 所以30°<C <90°，故1
2<a <2，
从而
38<S △ABC <32
. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛
⎭⎫
38
，32.
求解三角形面积问题的基本思维
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值，余弦值)，一般结合题意求这个角的两边或
两边之积，再代入公式求解；
(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积； (3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
1．(2020·福建厦门一模)在△ABC 中，cos B ＝1
4，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面
积等于( )
A.14 B ．12
C.32
D ．
154
解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝1
4，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ；由余
弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·1
4＝4a 2＝4，解得a ＝1，可得c ＝2，所以
△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝1
2
×1×2×
1－⎝⎛⎭⎫142＝154
.故选D.
2．(2020·陕西汉中一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cos B )．
(1)求角B 的大小；
(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角三角形△ACD 的面积为15，求BC 的长．
解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )， 因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π
6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π
6＝1， 因为B ∈(0，π)， 所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π
3
.
(2)由题意，可得S △ACD ＝1
2
CD ·CA sin ∠ACD
＝1
2×2×4sin ∠ACD ＝15， 解得sin ∠ACD ＝
154
. 又因为△ACD 为锐角三角形， 所以cos ∠ACD ＝
1－sin 2∠ACD ＝1
4
，
在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×
1
4＝16，所以AD ＝4，
在△ACD 中，由正弦定理得
CD sin A ＝AD
sin ∠ACD
， 则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝15
8，
在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝AC
sin B
， 所以BC ＝AC sin A
sin B
＝ 5.
三角形中最值问题
一、求角的三角函数的最值
若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 【解析】 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 28ab －2
4≥6－24( 3 a ＝ 2 b 时取等号)，故cos C 的最小值是6－24
. 【答案】
6－2
4
在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；
(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2
2，
又因为0<B <π，所以B ＝π
4
.
(2)由(1)知A ＋C ＝3π
4
，所以
2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π
4－A ＝2cos A －22cos A ＋2
2
sin A ＝
22cos A ＋2
2
sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎫A －π4. 因为0<A <3π4，所以当A ＝π
4
时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.
此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．
二、求边的最值
(1)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． (2)如图，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ＝BC ＝1，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，BD 的最大值为________．
【解析】 (1)因为
BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3
sin 60°
，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋4sin A ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋φ)，
因为φ∈(0，2π)，A ∈⎝
⎛⎭⎫0，2π
3，所以AB ＋2BC 的最大值为27. (2)设∠ACB ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则∠ABC ＝π－2θ，∠DCB ＝θ＋π
2，由余弦定理可知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即AC ＝DC ＝
2＋2cos 2θ＝2cos θ⎝
⎛⎭⎫0<θ<π
2，由余弦定理知，BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos ∠DCB ，即BD 2＝4cos 2θ＋1－2×1×2cos θ·cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
2＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π
4＋3.由0<θ<π
2，可得π
4<2θ＋π4<5π
4，则()BD 2max ＝22＋3，此时θ＝π
8
，因此(BD )max ＝2＋1. 【答案】 (1)27 (2)2＋1
边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．
三、求三角形面积的最值
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC
的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为________．
【解析】 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sinB ．又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，
得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2
3π.由S
＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab
4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋
ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝⎛⎭⎫
ab 42
≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48.
【答案】 48
利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．
[基础题组练]
1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π
2，则角C ＝( )
A.π
12 B ．π6
C.π4
D ．π3
解析：选B.因为在△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π
2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝
3
3
，
因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
6
，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B. 2．(2020·江西上饶一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值是( )
A.4
3 B ．34
C ．－43
D ．－34
解析：选C.因为S ＝1
2ab sin C ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
所以由2S ＝(a ＋b )2－c 2，
可得ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab ·cos C )， 整理得sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，
所以（sin C －2cos C ）2sin 2C ＋cos 2C ＝4，sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C sin 2C ＋cos 2
C ＝4，化简得3tan 2C ＋4tan C ＝0，
因为C ∈(0，π)， 所以tan C ＝－4
3
，故选C.
3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π
2，
所以△ABC 为直角三角形，故选B.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )
A. 2 B ． 3 C.32
D ．2
解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2
＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝3
2
，故选C.
5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝
33
2且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )
A ．5＋7
B ．12
C ．10＋7
D ．5＋27
解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝1
2bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos
A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.
6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且有a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则A ＝________．
解析：由3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，得3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ，所以3sin (A ＋C )＝－b cos A ，即3sin B ＝－b cos A ，又a sin A ＝b sin B ，所以3
cos A ＝－b sin B ＝
－
a sin A ，从而sin A cos A ＝－13⇒tan A ＝－33，又因为0<A <π，所以A ＝5π
6. 答案：5π6
7．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π
3
，则△ABC 的面积为________．
解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62
＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝
1
2×43×23×sin π
3
＝6 3.
法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2
＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π
2，所以△ABC
的面积S ＝1
2
×23×6＝6 3.
答案：6 3
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝7
2bc ，
b >
c ，则b
c
＝________．
解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B
2＝0.因为sin C ＝sin(A
＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π
3.由
余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b
c
＝2.
答案：2
9．(2020·河南郑州一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 2
4S
.
(1)求sin A sin C ；
(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长． 解：(1)因为△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ，sin B ＝b 2
4S ，
所以4×⎝⎛⎭⎫12ac sin B ×sin B ＝b 2，所以ac ＝b
2
2sin 2B
， 所以由正弦定理可得sin A sin C ＝sin 2B 2sin 2B ＝1
2.
(2)因为4cos A cos C ＝3，sin A sin C ＝1
2
，
所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝12－34＝－1
4，
因为b ＝15，所以ac ＝b 22sin 2B ＝b 2
2（1－cos 2B ）＝（15）22×⎝⎛⎭
⎫1－116＝8，
所以由余弦定理可得15＝a 2＋c 2＋12ac ＝(a ＋c )2－3
2
ac ＝()
a ＋c 2
－12，
解得a ＋c ＝33，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos
B ．
(1)求角B ；
(2)若b ＝27，tan C ＝
3
2
，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋
a 2cos B ，
又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ．由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A
＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝1
2.
因为B ∈()0，π，所以B ＝π
3.
(2)由tan C ＝
32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277
，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
32×277＋12×217＝321
14
. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A
sin B
＝
27×
321
143
2
＝6，所以△ABC 的面积为1
2ab sin C
＝12×6×27×21
7
＝6 3. [综合题组练]
1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B ，
b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )
A ．4 3
B ．2 3
C ．2
D ． 3
解析：选A.因为在△ABC 中，2a －c b ＝cos C
cos B ，
所以(2a －c )cos B ＝b cos C ，
所以(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，
所以2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A ，
所以cos B ＝12，即B ＝π
3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，
所以ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，
所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3
4
ac ≤4 3.故选A.
2．(2020·江西抚州二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＋c ＝3，则a 的最小值为( )
A ．1
B ． 3
C ．2
D ．3
解析：选B.在△ABC 中，因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ， 所以3sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 即3sin A cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以cos A ＝1
3
.
因为b ＋c ＝3，所以两边平方可得b 2＋c 2＋2bc ＝9，由b 2＋c 2≥2bc ，可得9≥2bc ＋2bc ＝4bc ，解得bc ≤9
4，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝b 2
＋c 2－23bc ＝(b ＋c )2－8bc 3≥9－83×9
4＝3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以a 的最小值为 3.
故选B.
3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝1
3
，b ＝4，S △ABC ＝42，则△ABC 的周长为________．
解析：由cos B ＝13，得sin B ＝223，由三角形面积公式可得12ac sin B ＝12ac ·22
3＝42，
则ac ＝12①，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得16＝a 2＋c 2－2×12×1
3，则a 2＋c 2＝24②，联
立①②可得a ＝c ＝23，所以△ABC 的周长为43＋4.
答案：43＋4
4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc .若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．
解析：在△ABC 中，因为(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ， 所以a 2＋b 2－c 2
ab
(a cos B ＋b cos A )＝c ，
由正、余弦定理可得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，所以2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，
又sin C ≠0，所以cos C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3，B ＝2π
3－A ，
所以由正弦定理a sin A ＝b sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝c 32，可得a ＝c sin A
32，b ＝c sin ⎝⎛⎭⎫2π
3－A 32
，
因为a ＋b ＝2，所以c sin A
32＋c sin ⎝⎛⎭⎫2π
3－A 32
＝2，
整理得c ＝3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝332sin A ＋32cos A ＝1
sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π6，
因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π
6，可得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，所以c ＝1sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈[1，2)． 答案：[1，2)
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π
6. (1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理
a sin A ＝b
sin B
，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π
6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3
.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π
3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b
＝7.
由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝2
7.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝1
7
，
所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝60°. (1)若△ABC 的面积为33，a ＝13，求b －c ； (2)若△ABC 是锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围． 解：(1)由S △ABC ＝33，得1
2bc sin A ＝33，
即1
2
bc sin 60°＝33，得bc ＝12.
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝13， 所以(b －c )2＝13－bc ＝1，所以b －c ＝1或b －c ＝－1. (2)因为A ＝60°，所以B ＋C ＝120°，所以C ＝120°－B . 所以sin B sin C ＝sin B sin(120°－B )
＝sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ＝34sin 2B ＋1－cos 2B 4
＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2B －12cos 2B ＋12＝1
2
sin ()
2B －30°＋14. 因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝120°－B <90°，得B >30°， 所以30°<B <90°，则30°<2B －30°<150°， 所以12<sin(2B －30°)≤1，14<12sin(2B －30°)≤12，
所以12<12sin(2B －30°)＋14≤34，
所以sin B sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，34.。