奥数数论题库14-质数合数分解质因数_知识例题精讲

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
2． 质因数与分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
3． 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，
12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
4. 部分特殊数的分解
111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨
教学目标
5-5质数合数分解质因数
=⨯⨯⨯.
=⨯⨯⨯；10101371337
=⨯⨯；2008222251
200733223
5. 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2
K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.
=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
例如：149很接近1441212
例题精讲
模块一、质数合数的基本概念的应用
【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.
【例 3】(“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？
【例 4】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组
【例 5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.
【例 6】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
【例 7】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少
模块二、分解质因数
【例 8】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?
【例 9】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？
【例 10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？
【例 12】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？
【例 13】 3个质数的倒数之和是16611986
，则这3个质数之和为多少．
【例 14】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为
1872．那么原来的乘积是多少?
【例 15】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙
两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少？
模块三、质数合数综合型题目
【例 16】 P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？
【例 17】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的
表示方法至少有13种。

那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．
【例 18】 已知P,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=
【例 19】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位
数.求这两个整数分别是多少？
【例 20】 如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是
质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。

求出所有的两位幸运数
【例 21】 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．。