江苏省南通市高考数学全真模拟试题及参考答案

江苏南通高考数学全真模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合{0,1,2}A =，则A 的子集个数为 ．
2.已知复数12i z a =+,22i z =-（其中0a >，i 为虚数单位）.若12||||z z =，则a 的值为 ．
3.执行如图所示的流程图，则输出的结果S = ．
4.若直线1e
y x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是 ．
5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．
6.已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +(,)a b ∈R 的方差为12，则a 的值为 ．
7.我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．
8.在平面直角坐标系中，如果双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2(0)c c >，那么当,a b 任意变化时，a b c
+的最大值是 ．
9.已知函数21,0()(1),0
x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不
同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．
10.已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8
π的等差数列，若123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+=，则2315[()]f a a a -= ．
11.在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆
222:((49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ．
12.已知实数6n ≤，若关于x 的不等式2(2)80xm x n +--≥对任意的[4,2]x ∈-都成立，则44
3m n m n
-的最小值为 ． 13.已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若2sin()3
αβ+=，则sin()αβ-的值为 ． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D .
（1）求cos CAD ∠的值；
（2）求点C 的坐标.
16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2
ABC π∠=.
（1） 求证：//BC 平面11AB C ；
（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .
17. 已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.
（1）将y 表示成x 的函数.
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为，O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程和离心率.
（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.
19. 已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.
（1）设0c =.
①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；
②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值.
（2） 设()f x 在
1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立.
20. 若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为
1||m i i i a b =-∑. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.
（2）记A 为满足递推关系111n n n
a a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n
b 和{}n
c 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.
（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.
（附加题）
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1：几何证明选讲]
如图，AB BC ，分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =.
B.[选修4-2：矩阵与变换]
在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数）.现以O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.
D.[选修4-5：不等式选讲]
已知,a b 为互不相等的正实数，求证：333
4()()a b a b +>+.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a .
（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；
（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =
，且221,1(),2n n
n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩. （1）计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；
（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1. 8
2. 1
3.
12 4. 0 5. 14 6. 2± 7. 1:27
8. 9. 11[,)32 10. 21316π 11. 7 12. 803
- 13. 15- 14. 5 二、解答题
15.解：（1）设BAD α∠=，CAD β∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5
α=，
故cos cos(60)βα=-=°1cos 2αα=
=，
即4cos 10
CAD +∠=. （2）设点(,)C x y .
由（1）知sin sin(60)βα=-=°13cos sin 2210αα-=， 因为5AC AB ==，
所以5cos x β==5sin y β=-=，
故点C . 16.证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BC B C .
因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，
所以//BC 平面11AB C .
（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB ∩底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ， 且由2
ABC π∠=知AB BC ⊥，
所以BC ⊥平面11A ABB .
又11//BC B C ，
故11B C ⊥平面11A ABB .
而11B C ⊂平面11AB C ，
所以平面11A ABB ⊥平面11AB C .
17. 解：（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =，
则22400BC x =-， 所以22
4400k y x x =+-(020)x <<.
因为当x =时，0.065y =，
代入表达式解得9k =， 所以22
49400y x x =
+-(020)x <<. （2）因为2249400y x x =+-， 所以32289(2)'(400)
x y x x ⨯-=--=-422322188(400)(400)x x x x ---. 令'0y =，得422
188(400)x x =-，
所以2160x =
，即x =.
当0x <<'0y <，所以函数2249400y x x
=
+-为减函数；
当20x <<时，'0y >，所以函数2249400y x x =+-为增函数. 所以
当x =，即点C 到城A 的距离
为km 时，函数2249400y x x =+-(020)x <<有最小值.
18. 解：（1）由题意知椭圆:C 22
111
3x y m m
+=， 所以21a m =，213b m
=，
故2a == 解得16
m =， 所以椭圆C 的方程为22
162
x y +=.
因为2c ==，
所以离心率c e a ==. （2）设线段AP 的中点为D .
因为BA BP =，所以BD AP ⊥.
由题意知直线BD 的斜率存在，
设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，
则点D 的坐标为003(,)22
x y +，直线AP 的斜率003AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-
=， 故直线BD 的方程为000033()22
y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故22000
9(0,)2x y B y +-. 由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得2020
23(0,)2y B y --. 因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形
2000
23113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 2000
233(||||)22y y y --=+
0033(2||)22||
y y =+
32≥⨯
=． 当且仅当0032||2||
y y =
时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB
面积的最小值为
19.解：（1）当0c =时，32()f x ax bx b a =-+-.
①若a b =，则32()f x ax ax =-，
从而2
'()32f x ax ax =-，
故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --. 将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，
解得00x =或01x =.
②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a
=
<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，
所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，
从而()f x 的最大值为(1)0f =.
（ii ）若0b >，列表：
所以()f x 的最大值为(1)0f =.
综上，()f x 的最大值为
0.
（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.
不妨设12x x <，则12()()f x f x <.
因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，
所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.
因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，
故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，
从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，
故假设不成立.
既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.
20. 解：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.
（2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±. 由111n n n
a a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p =-，411
p a p -=+，5a p =，…. 所以15a a =，26a a =，….
因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4.
所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，13a b =*()k N ∈， 数列{}n c 中，33a c -=，2
2a c -=-，113a c -=-，12a c =*()k N ∈. 因为1
11
||||k k i i i i i i b c b c +==-≥-∑∑， 所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 因为17
||3k i i
i b c =-=∑，
所以34564854
11||||i i i i
i i b c b c ⨯⨯==-=-=∑∑7
86420163⨯=， 因此，当3456m <时，
1||2016m
i i i b c =-<∑. 故m 的最大值为3455. （3）假设T 中的元素个数大于或等于17.
因为数列{}n a 中，0n a =或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）. 那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a .
设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，
222c d f ==，333c d f ==. 因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在{}n c 与{}n d 中，i i c d ≠(4,5,6,7)i =至少有3个成立.
不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠.
由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1.
又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.
同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“i i f c =(4,5,6)i =中至少有两个成立”和“i i f d =(4,5,6)i =中至少有两个成立”中必有一个成立.
故71||2i i i f
c =-≤∑和7
1||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾. 所以T 中的元素个数小于或等于16.
（附加题）
21.【选做题】
A.解：易得90ADO ACB ∠=∠=°，
又A A ∠=∠，
故Rt Rt ADO ACB ∆∆∽， 所以BC AC OD AD
=. 又2AC AD =，
故2BC OD =.
B.解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ，
则cos90sin9001sin90cos9010A --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
°°°°. 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B ， 则10102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
， 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022M BA -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦. C.解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨
=⎩（α为参数）， 因为22sin cos 1αα+=，
所以22(1)1x y -+=，即22
20x y x +-=，
化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
D.证明：因为0a >，0b >，
所以要证3334()()a b a b +>+，
只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，
即要证2224()()a ab b a b -+>+，
只需证23()0a b ->，
而a b ≠，故23()0a b ->成立.
【必做题】
22.解：（1）由题意知基本事件数为3
9C ，
而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，
则用插空法，有37C 种可能， 故所求事件的概率3739C 5C 12
P ==. （2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；
1ξ=的情况有7种:{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}； 2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}；
4ξ=的情况有1种：{1,5,9}.
故随机变量ξ的分布列如下：
因此，75()121616E ξ=⨯
+⨯31153416168
+⨯+⨯=. 23.解：（1）213(1)122
f S ==+=， 4111113(2)23412
f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=. （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >.
下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <.
（i ）由（1）知当3n =时，()1f n <.
（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()1
12f k k k k =
+++<+，
那么11(1)12f k k k +=++++11122122
k k k +++++ 1111()122k k k k =++++++1112122k k k
++-++ 11111()()21222k k k k
<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)
k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =-
-<++． 所以当1n k =+时，()1f n <也成立.
因此，当3n ≥时，()1f n <.
综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <.。