2019-2020学年数学人教A版选修4-5课件：模块复习与小结
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一、知识结构
二、要点提示 1．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)加(减)：a＞b⇒a＋c＞b＋c； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； (5)乘方：a＞b＞0⇒an＞bn，其中n为正整数，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒n a＞n b，其中 n 为正整数，且 n≥2；
所以154
7＝12(4x＋5y＋6z)，即
4x＋5y＋6z＝152
7 .
又 由 柯 西 不 等 式 得 (4x ＋ 5y ＋ 6z)2≤(x2 ＋ y2 ＋ z2)(42 ＋ 52 ＋ 62)，当且仅当4x＝5y＝6z＝115547时等号成立，
所以1524×7≤(x2＋y2＋z2)×77，即 x2＋y2＋z2≥24245. 将三角形进行分割，构造出柯西不等式的形
式，并求最值．
【例 5】 1,2,3，…)．
设 数 列 {an} 满 足
a1
＝
2
，
an
＋
1
＝
an
＋
1 an
(n
＝
(1)证明：an＞ 2n＋1对一切正整数 n 均成立； (2)令 bn＝ ann (n＝1,2,3，…)，判断 bn 与 bn＋1 的大小，并说
明理由．
【规范解答】 (1)①当 n＝1 时，a1＝2＞ 2×1＋1，不等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 ak＞ 2k＋1. 则当 n＝k＋1 时， a2k＋1＝a2k＋a12k＋2＞2k＋3＋a12k＞2(k＋1)＋1， 所以当 n＝k＋1 时，ak＋1＞ 2k＋1＋1成立． 综上可知，an＞ 2n＋1对一切正整数 n 均成立．
4．绝对值的三角不等式 定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0 时等号成立． 定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且 仅当(a－b)(b－c)≥0时等号成立． 推论1：||a|－|b||≤|a＋b|； 推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)因为 x1 是方程 f′(x)＝x 的一个根， 所以 x1＝f′(x1)， 且 x1＋x2＝1－b，于是 b＋x1＝1－x2， 所以 f′(t)－x1＝f′(t)－f′(x1)＝(t－x1)(t＋x1＋b)＝(t－ x1)(t＋1－x2)． 因为 0＜t＜x1＜x2，x1＋x2＝1－b，所以 t－x1＜0. 又根据条件可知 x2－x1＞1，即 x1＋1－x2＜0. 所以 t＋1－x2＜x1＋1－x2＜0， 所以 f′(t)－x1＞0，故 f′(t)＞x1.
பைடு நூலகம்
证法二(分析法)：要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1. 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1. 由于 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1， 只要证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 即(ad－bc)2≥0，显然成立． 故|ac＋bd|≤1.
证法三(柯西不等式)： ∵a，b，c，d∈R，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 又 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴1≥(ac＋bd)2. ∴|ac＋bd|≤1.
x1－x22＋y1－y22
＋
x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x32＋y1－y32.
7．三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 均为实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋ b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2. 当且仅当 bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝ 1,2,3)时，等号成立．
所以 m≥ 54m2－2m＋54， 从而 m2≥54m2－2m＋54，且 m≥0， 即 m2－8m＋5≤0，且 m≥0， 解得 4－ 11≤m≤4＋ 11. 所以 m 的取值范围为[4－ 11，4＋ 11]．
不等式与平面向量的结合比较密切，在不等 式的证明和求解中，平面向量证法简洁明快，此类问题关键是 “还向量本来面目”．
(3)证明：因为切线的倾斜角范围是0，π4∪34π，π，所以 切线的斜率为[ －1,1] ，故条件可转化为：当 x∈[ －1,1] 时， |f′(x)|≤1，所以|f′(0)|＝|c|≤1，|f′(1)|＝|1＋b＋c|≤1，
故|1＋b|＝|1＋b＋c－c|≤|1＋b＋c|＋|－c|≤1＋1＝2，即|1 ＋b|≤2，所以－3≤b≤1.
定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时等号成立．
语言表述为：三个正数 a，b，c 的算术平均值a＋3b＋c不小
于三个正数 a，b，c 的几何平均值3 abc.
3．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法： 若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c； 若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R；
【例 3】 设函数 f(x)＝13x3＋12bx2＋cx＋d(b，c，d 为常数)， 方程 f′(x)＝x 有两个正实根 x1，x2，且|x1－x2|＞1.
(1)求证：b2－2b＞4c； (2)若 0＜t＜x1＜x2，试比较 f′(t)与 x1 的大小； (3)若 f(x)在[ －1,1] 上的切线倾斜角取值范围是0，π4∪ 34π，π，求证：－3≤b≤1.
三、题型探究 【例1】 已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋ d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1. 【规范解答】 证法一(综合法)：∵a，b，c，d 都是实数， ∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋2 c2＋b2＋2 d2＝a2＋b2＋2 c2＋d2. 又∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴|ac＋bd|≤1.
定理 2：(柯西不等式的向量形式)设 α，β 为平面上的两个
向量，则|α·β|≤|α|·|β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或
相反(即两个向量共线)时成立．
定理 3：(二维形式的三角形不等式)设 x1，y1，x2，y2 为任
意实数，则 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22. 推 论 ： 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 为 任 意 实 数 ， 则
【规范解答】 (1)因为 f′(x)＝x2＋bx＋c， 故方程 f′(x)＝x 可化为 x2＋(b－1)x＋c＝0， 故(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝[－(b－1)]2－4c＝b2－2b＋1 －4c. 又|x1－x2|＞1， 所以(x2－x1)2＝b2－2b＋1－4c＞1，即 b2－2b＞4c.
证明不等式的方法是多种多样的，要根据不 等式的特点选择适当的证法，一般地说，如果能用分析法寻找 出证明某个不等式的途径，那么就能用综合法证明不等式．
【例 2】 已知函数 f(x)＝log2(x2＋2)，a＝(m,1)，b＝12，m2 ， 若 f(a·b)≥f(|a－b|)，试求 m 的取值范围．
10．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤 进行：
(1)(奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立； (2)(假设与递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立， 证明当n＝k＋1时命题也成立． 综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立． 这种证明方法称为数学归纳法．
8．一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a21＋a22＋…＋ a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2. 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝ kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及步 骤：
第一步：令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的 根；
第二步：把这些根由小到大排序，把数轴分为若干个区 间；
第三步：在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符 号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
第四步：这些解集的并集就是原不等式的解集．
9．排序不等式 设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn， c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则有 a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn(顺序和)≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn(乱序和)≥a1bn＋a2bn －1＋…＋anb1(反序和)． 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等 于顺序和．
【规范解答】 由 f(x)＝log2(x2＋2)知，f(x)为偶函数，且在 (0，＋∞)上为单调增函数，
于是由 f(a·b)≥f(|a－b|)，得 a·b≥|a－b|，因为 a＝(m,1)，b
＝ 12，m2 ， 所 以
a·b
＝
m×
1 2
＋
1×
m 2
＝
m
，
|a
－
b|
＝
m－122＋1－m2 2＝ 54m2－2m＋54，
(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
2．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时等 号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时等号成立． 语言表述为：两个正数 a，b 的算术平均值a＋2 b不小于两个 正数 a，b 的几何平均值 ab.
＝
nn＋1
1 n＋1＋
[ nan
nn＋1－(n＋1)]
＝
n
1 n＋1＋
( nan
n－
n＋1)＜0，
∴bn＋1＜bn.
方法三：作平方差比较法 b2n＋1－b2n＝na＋2n＋11－an2n＝n＋1 1a2n＋a12n＋2－an2n ＝n＋1 12＋a12n－an2n＜n＋1 12＋2n1＋1－2n＋ n 1 ＝n＋1 12n1＋1－1n＜0， 故 b2n＋1＜b2n.又 bn＞0，因此 bn＋1＜bn.
不等式与方程、函数的联系十分紧密，关键 是要合理转化．
【例4】 △ABC之三边长为4,5,6，P为三角形内部一点P 到三边的距离分別为x，y，z，求x2＋y2＋z2的最小值．
【规范解答】 因为 cos C＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝34.
故
sin
C＝
7 4.
S△ABC＝12AC·BC·sin C＝154 7. 因为 S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC，
方法二：作差比较法
bn＋1－bn＝
ann＋＋11－
an ＝ n
n1＋1an＋a1n－
an n
＝
1 nn＋1an[
n－(
n＋1－
n)a2n]
＜
1 nn＋1an[
n－(
n＋1－
n)(2n＋1)](由(1)的结论)
＝
nn＋1
1 n＋1＋
[ nan
n(
n＋1＋
n)－(2n＋1)]
(2)方法一：作商比较法
bbn＋n 1＝aann＋n1＋n1
＝1＋a12n
n＋n 1＜1＋2n1＋1
n n＋1
＝22n＋n＋11n＋n 1＝2 2nn＋n＋1 1＝
nn＋＋12122－14＜1，
又由(1)知，an＞0，∴bn＞0.∴bn＋1＜bn.
5．不等式的证明方法 (1)比较法； (2)综合法与分析法； (3)反证法和放缩法．
6．二维形式的柯西不等式 定理 1：(二维形式的柯西不等式)设 a，b，c，d 均为实数， 则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中等号当且仅当 ad＝bc 时成 立． 推论：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时， 等号成立)； (2)(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2(a，b，c，d∈R＋)(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)； (3) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号 成立)．
二、要点提示 1．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)加(减)：a＞b⇒a＋c＞b＋c； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； (5)乘方：a＞b＞0⇒an＞bn，其中n为正整数，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒n a＞n b，其中 n 为正整数，且 n≥2；
所以154
7＝12(4x＋5y＋6z)，即
4x＋5y＋6z＝152
7 .
又 由 柯 西 不 等 式 得 (4x ＋ 5y ＋ 6z)2≤(x2 ＋ y2 ＋ z2)(42 ＋ 52 ＋ 62)，当且仅当4x＝5y＝6z＝115547时等号成立，
所以1524×7≤(x2＋y2＋z2)×77，即 x2＋y2＋z2≥24245. 将三角形进行分割，构造出柯西不等式的形
式，并求最值．
【例 5】 1,2,3，…)．
设 数 列 {an} 满 足
a1
＝
2
，
an
＋
1
＝
an
＋
1 an
(n
＝
(1)证明：an＞ 2n＋1对一切正整数 n 均成立； (2)令 bn＝ ann (n＝1,2,3，…)，判断 bn 与 bn＋1 的大小，并说
明理由．
【规范解答】 (1)①当 n＝1 时，a1＝2＞ 2×1＋1，不等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 ak＞ 2k＋1. 则当 n＝k＋1 时， a2k＋1＝a2k＋a12k＋2＞2k＋3＋a12k＞2(k＋1)＋1， 所以当 n＝k＋1 时，ak＋1＞ 2k＋1＋1成立． 综上可知，an＞ 2n＋1对一切正整数 n 均成立．
4．绝对值的三角不等式 定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0 时等号成立． 定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且 仅当(a－b)(b－c)≥0时等号成立． 推论1：||a|－|b||≤|a＋b|； 推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)因为 x1 是方程 f′(x)＝x 的一个根， 所以 x1＝f′(x1)， 且 x1＋x2＝1－b，于是 b＋x1＝1－x2， 所以 f′(t)－x1＝f′(t)－f′(x1)＝(t－x1)(t＋x1＋b)＝(t－ x1)(t＋1－x2)． 因为 0＜t＜x1＜x2，x1＋x2＝1－b，所以 t－x1＜0. 又根据条件可知 x2－x1＞1，即 x1＋1－x2＜0. 所以 t＋1－x2＜x1＋1－x2＜0， 所以 f′(t)－x1＞0，故 f′(t)＞x1.
பைடு நூலகம்
证法二(分析法)：要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1. 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1. 由于 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1， 只要证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 即(ad－bc)2≥0，显然成立． 故|ac＋bd|≤1.
证法三(柯西不等式)： ∵a，b，c，d∈R，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 又 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴1≥(ac＋bd)2. ∴|ac＋bd|≤1.
x1－x22＋y1－y22
＋
x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x32＋y1－y32.
7．三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 均为实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋ b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2. 当且仅当 bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝ 1,2,3)时，等号成立．
所以 m≥ 54m2－2m＋54， 从而 m2≥54m2－2m＋54，且 m≥0， 即 m2－8m＋5≤0，且 m≥0， 解得 4－ 11≤m≤4＋ 11. 所以 m 的取值范围为[4－ 11，4＋ 11]．
不等式与平面向量的结合比较密切，在不等 式的证明和求解中，平面向量证法简洁明快，此类问题关键是 “还向量本来面目”．
(3)证明：因为切线的倾斜角范围是0，π4∪34π，π，所以 切线的斜率为[ －1,1] ，故条件可转化为：当 x∈[ －1,1] 时， |f′(x)|≤1，所以|f′(0)|＝|c|≤1，|f′(1)|＝|1＋b＋c|≤1，
故|1＋b|＝|1＋b＋c－c|≤|1＋b＋c|＋|－c|≤1＋1＝2，即|1 ＋b|≤2，所以－3≤b≤1.
定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时等号成立．
语言表述为：三个正数 a，b，c 的算术平均值a＋3b＋c不小
于三个正数 a，b，c 的几何平均值3 abc.
3．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法： 若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c； 若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R；
【例 3】 设函数 f(x)＝13x3＋12bx2＋cx＋d(b，c，d 为常数)， 方程 f′(x)＝x 有两个正实根 x1，x2，且|x1－x2|＞1.
(1)求证：b2－2b＞4c； (2)若 0＜t＜x1＜x2，试比较 f′(t)与 x1 的大小； (3)若 f(x)在[ －1,1] 上的切线倾斜角取值范围是0，π4∪ 34π，π，求证：－3≤b≤1.
三、题型探究 【例1】 已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋ d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1. 【规范解答】 证法一(综合法)：∵a，b，c，d 都是实数， ∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋2 c2＋b2＋2 d2＝a2＋b2＋2 c2＋d2. 又∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴|ac＋bd|≤1.
定理 2：(柯西不等式的向量形式)设 α，β 为平面上的两个
向量，则|α·β|≤|α|·|β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或
相反(即两个向量共线)时成立．
定理 3：(二维形式的三角形不等式)设 x1，y1，x2，y2 为任
意实数，则 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22. 推 论 ： 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 为 任 意 实 数 ， 则
【规范解答】 (1)因为 f′(x)＝x2＋bx＋c， 故方程 f′(x)＝x 可化为 x2＋(b－1)x＋c＝0， 故(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝[－(b－1)]2－4c＝b2－2b＋1 －4c. 又|x1－x2|＞1， 所以(x2－x1)2＝b2－2b＋1－4c＞1，即 b2－2b＞4c.
证明不等式的方法是多种多样的，要根据不 等式的特点选择适当的证法，一般地说，如果能用分析法寻找 出证明某个不等式的途径，那么就能用综合法证明不等式．
【例 2】 已知函数 f(x)＝log2(x2＋2)，a＝(m,1)，b＝12，m2 ， 若 f(a·b)≥f(|a－b|)，试求 m 的取值范围．
10．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤 进行：
(1)(奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立； (2)(假设与递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立， 证明当n＝k＋1时命题也成立． 综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立． 这种证明方法称为数学归纳法．
8．一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a21＋a22＋…＋ a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2. 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝ kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及步 骤：
第一步：令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的 根；
第二步：把这些根由小到大排序，把数轴分为若干个区 间；
第三步：在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符 号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
第四步：这些解集的并集就是原不等式的解集．
9．排序不等式 设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn， c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则有 a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn(顺序和)≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn(乱序和)≥a1bn＋a2bn －1＋…＋anb1(反序和)． 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等 于顺序和．
【规范解答】 由 f(x)＝log2(x2＋2)知，f(x)为偶函数，且在 (0，＋∞)上为单调增函数，
于是由 f(a·b)≥f(|a－b|)，得 a·b≥|a－b|，因为 a＝(m,1)，b
＝ 12，m2 ， 所 以
a·b
＝
m×
1 2
＋
1×
m 2
＝
m
，
|a
－
b|
＝
m－122＋1－m2 2＝ 54m2－2m＋54，
(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
2．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时等 号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时等号成立． 语言表述为：两个正数 a，b 的算术平均值a＋2 b不小于两个 正数 a，b 的几何平均值 ab.
＝
nn＋1
1 n＋1＋
[ nan
nn＋1－(n＋1)]
＝
n
1 n＋1＋
( nan
n－
n＋1)＜0，
∴bn＋1＜bn.
方法三：作平方差比较法 b2n＋1－b2n＝na＋2n＋11－an2n＝n＋1 1a2n＋a12n＋2－an2n ＝n＋1 12＋a12n－an2n＜n＋1 12＋2n1＋1－2n＋ n 1 ＝n＋1 12n1＋1－1n＜0， 故 b2n＋1＜b2n.又 bn＞0，因此 bn＋1＜bn.
不等式与方程、函数的联系十分紧密，关键 是要合理转化．
【例4】 △ABC之三边长为4,5,6，P为三角形内部一点P 到三边的距离分別为x，y，z，求x2＋y2＋z2的最小值．
【规范解答】 因为 cos C＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝34.
故
sin
C＝
7 4.
S△ABC＝12AC·BC·sin C＝154 7. 因为 S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC，
方法二：作差比较法
bn＋1－bn＝
ann＋＋11－
an ＝ n
n1＋1an＋a1n－
an n
＝
1 nn＋1an[
n－(
n＋1－
n)a2n]
＜
1 nn＋1an[
n－(
n＋1－
n)(2n＋1)](由(1)的结论)
＝
nn＋1
1 n＋1＋
[ nan
n(
n＋1＋
n)－(2n＋1)]
(2)方法一：作商比较法
bbn＋n 1＝aann＋n1＋n1
＝1＋a12n
n＋n 1＜1＋2n1＋1
n n＋1
＝22n＋n＋11n＋n 1＝2 2nn＋n＋1 1＝
nn＋＋12122－14＜1，
又由(1)知，an＞0，∴bn＞0.∴bn＋1＜bn.
5．不等式的证明方法 (1)比较法； (2)综合法与分析法； (3)反证法和放缩法．
6．二维形式的柯西不等式 定理 1：(二维形式的柯西不等式)设 a，b，c，d 均为实数， 则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中等号当且仅当 ad＝bc 时成 立． 推论：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时， 等号成立)； (2)(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2(a，b，c，d∈R＋)(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)； (3) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号 成立)．