2019版高考数学复习函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课后作业理

2.2 函数的单调性与最值
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72 答案 B
解析 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于
x ＝2对称，又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因
为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52.故选B.
2．(2017·武汉调研)若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2
－4x ＋3)的增区间是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，4)
答案 B
解析 ∵f (x )＝ax ＋1在R 上递减，∴a <0. 而g (x )＝a (x 2
－4x ＋3)＝a (x －2)2
－a . ∵a <0，∴在(－∞，2)上g (x )递增．故选B.
3．若函数y ＝log a (x 2
＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x ＝2时，y ＝log a (22
＋2×2－3)＝log a 5，
∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋2x －3>0，x <－1，
解
之得x <－3.故选A.
4．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f x
x
在区间(0，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
答案 A
解析 ∵f (x )＝x 2
－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝
f x x ＝x ＋a
x
－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.
5．(2018·太原模拟)已知f (x )＝x 2
－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )
A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)
B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)
C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)
D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案 B
解析 ∵f (－x )＝(－x )2
－cos(－x )＝x 2
－cos x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∴f (－0.5)＝f (0.5)．
又∵f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0.
∴f (x )在(0,1)上是增函数，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)．故选B.
6．(2018·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12 答案 C
解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3
－2.
∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.故选C.
7．(2018·天津质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －1>f (1)的实数x 的取值
范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 ∵f (x )为R 上的减函数， ∴由f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1x －1>f (1)得1x －1<1.
解得x <1或x >2.
∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选D.
8．已知a >0，设函数f (x )＝2018x ＋1
＋2010
2018x
＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )
A ．2018
B ．2019
C ．4028
D ．4027 答案 C
解析 由题意得f (x )＝2018x ＋1
＋2010
2018x
＋1 ＝2018－8
2018x
＋1
. ∵y ＝2018x
＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴f (x )＝2018－
8
2018x
＋1
在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4036－82018a ＋1－8
2018－a
＋1
＝4028.故选C.
9．(2017·集宁期末)函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B
解析 ∵当a ＝0时，f (x )＝1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递减，故a ＝0舍去， ∴a ≠0，此时f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a
x ＋2
， 又因为y ＝
1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递减， 而函数f (x )＝
ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递增， ∴1－2a <0，即a >1
2
.故选B.
10．(2018·山西联考)若函数f (x )＝log 0.2(5＋4x －x 2
)在区间(a －1，a ＋1)上递减，且
b ＝lg 0.2，
c ＝20.2，则( )
A ．c <b <a
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．b <a <c 答案 D
解析 f (x )定义域为{x |－1<x <5}，令u ＝5＋4x －x 2
，y ＝log 0.2u ，u (x )在(－1,2)上单调增，且y ＝log 0.2u 为单调减函数，由复合函数单调性知f (x )在(－1,2)上为减函数，(a －1，
a ＋1)⊆(－1,2)即⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋1≤2，
a －1≥－1
⇒0≤a ≤1，又由于b ＝lg 0.2<0，所以a >b ，c ＝20.2
>20
＝1，
c >a >b .故选D.
二、填空题
11．(2017·山东济宁模拟)若函数f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
________．
答案 ⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1 解析 因为函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
a －1<0，0<a <1，log a
a －－2a
⇒
22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
22，1. 12．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若
g (x )＝－x ＋m ＋e x 的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．
答案 －1
解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x 保值区间为[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x
≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.
13．(2017·济南期中)已知函数f (x )＝x 2
＋a
x
，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为________．
答案 (－∞，16]
解析 ∵函数f (x )＝x 2
＋a x
在x ∈[2，＋∞)上单调递增，
∴f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a
x
2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．
∴2x 3
－a ≥0，
∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤2×23＝16.
∴实数a 的取值范围为(－∞，16]．
14．(2018·濮阳模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1
＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．
给出下列命题：
①函数f (x )＝x 2
(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x
(x ∈R )是单函数；
③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③④
解析 对于①，若f (x )＝x 2
，则f (x 1)＝f (x 2)时x 1＝x 2，或x 1＝－x 2，故①错误；对于②，
f (x )＝2x 是R 上的增函数，当f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，故②正确；对于③，由单函数的定
义，可知其逆否命题：f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；对于④，假若f (x 1)＝f (x 2)时，有x 1≠x 2，这与单调函数矛盾，故④正确．
三、解答题
15．(2017·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，
且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2
3
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解 (1)证明：设x 1>x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，
∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．
而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝2.
∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 16．已知函数f (x )＝a －
1|x |
. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1
x
，
设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，
f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝
x 2－x 1x 1x 2
>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意，a －1
x
<2x 在(1，＋∞)上恒成立，
设h (x )＝2x ＋1
x
，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．
任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，
h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
2－1x 1x 2.
∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴2－
1
x 1x 2
>0，∴h (x 1)<h (x 2)，
∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．
故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3].。