2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.2 函数的单调性与最值 Word版含答案.docx

§2.2函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
知识拓展
函数单调性的常用结论
(1)对∀x 1，x 2∈D (x
1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是
减函数．
(2)对勾函数y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，
a ]．
(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1
x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))
3．[P31例4]函数y ＝2
x －1在[2,3]上的最大值是______．
答案 2
4．[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]
解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.
题组三 易错自纠
5．函数y ＝212
log (4)x -的单调递减区间为________．
答案 (2，＋∞)
6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6
解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a
2，＋∞， 令－a
2
＝3，得a ＝－6.
7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x ≥1，
－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．
答案 2
解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1
x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x
＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.
题型一 确定函数的单调性(区间)
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
典例 (1)函数y ＝212
log (231)x x －＋的单调递减区间为( )
A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，3
4 C.⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫3
4，＋∞ 答案 A
解析 由2x 2－3x ＋1>0，
得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，1
2∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝12
log t ，
∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18
，
∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12
log t 在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数y ＝212
log (231)x x －＋的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________． 答案 [－1,0]，[1，＋∞)
解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2 解析式含参数的函数的单调性
典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1
x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．
解 函数f (x )＝ax 2＋1
x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．
证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 2
1－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣
⎡⎦⎤
a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－1
4
.
又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2
＞0，
从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 引申探究
如何用导数法求解本例？
解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3
－1
x 2
，
因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，
所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，
所以函数f (x )＝ax 2＋1
x
(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．
思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．
跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝2
231
1
()3
x x -+的单调递增区间为( )
A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞
答案 B
解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数y ＝2
231
1
()3
x
x -+的单调递增区间是⎝
⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，3
2 解析 y ＝－(x －3)|x |
＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤0，3
2.
题型二 函数的最值
1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3
解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．
答案 26－6
解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.
3．已知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________. 答案 2
5
解析 由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2， 即⎩⎨⎧
1a －2＝1
2，1a －12＝2，
解得a ＝2
5
.
思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小
典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－1
2，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 答案 D
解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<5
2<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式
典例 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为
____________．
答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－a >0，a ＋3>0，
a 2－a >a ＋3，
解得－3<a <－1或a >3，
所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 命题点3 求参数范围
典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y ＝x －5
x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ＝－3
B ．a ＜3
C ．a ≤－3
D ．a ≥－3
(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，
log a
x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，1
3 C.⎣⎡⎭⎫
17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3
x －a －2
，
由题意知⎩
⎪⎨⎪
⎧
a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.
∴a 的取值范围是a ≤－3.
(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －1＜0，0＜a ＜1.
(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，
∴17≤a ＜1
3
， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13.
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0成立，
那么a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫
32，2
解析 对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
＞0.
所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ＞0，a ＞1，
(2－a )×1＋1≤a ，
解得3
2
≤a ＜2.
故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫
32，2.
(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19
log x )>0的解集为________________．
答案 ⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫1
2＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．
∴f (19
log x )＞f ⎝⎛⎭⎫12或f (19
log x )＞f ⎝⎛⎭
⎫－12， ∴19
log x ＞12或－1
2
＜19
log x ＜0，
解得0＜x ＜1
3
或1＜x ＜3.
∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.
1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )
A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．先递增再递减
答案 C
解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的． 2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y ＝212
log (6)x x -++的单调递增区间为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，3
B.⎝⎛⎭⎫－2，1
2 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝
⎛⎭⎫－∞，12 答案 A
解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12
log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6
在(－2,3)上的单调递减区间．
利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫
12，3，故选A.
3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝ln(x ＋1)
D ．y ＝2－
x
答案 D
解析 y ＝1
1－x
与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；
y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－
x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)
答案 C
解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.
5．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 21
5，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b
答案 C
解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 21
5＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，
且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C.
6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －a )2
，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
答案 D
解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1
x ＋a ≥2
＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值， 需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.
7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)
解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，
所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．
答案 [0,1) 解析 由题意知 g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x >1，0，x ＝1，
－x 2，x <1，
函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．
9．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a
在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________． 答案 [1，＋∞)
解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a
， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，
若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范
围为________．
答案 (1,2]
解析 由题意，得12＋12
a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.
11．已知函数f (x )＝－2x ＋1
，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，
且f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭
⎫－2x 2＋1 ＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)
. 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
故f (x )在区间[0,2]上是增函数．
因此，函数f (x )＝－2x ＋1
在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23
. 12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．
解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2，
①当a 2
≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.
由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.
∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.
②当0<a 2
<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.
由－2a ＋2＝3，得a ＝－12
∉(0,4)，舍去． ③当a 2
≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.
由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.
∵a ≥4，∴a ＝5＋10.
综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.
13．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a ＞0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________． 答案 8
解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧ x (2x －a )，x ＞a 2，
－x (2x －a )，x ≤a 2
(a ＞0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧ a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.
14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．
答案 (－∞，－2)
解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，
∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，
即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，
∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，
∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．
15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭
⎫18＝________. 答案 34
解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.
由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12
. 令x ＝13
，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14. 由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12
， 令x ＝23
，可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14， 因为19<18<29
且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，
所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.
16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12
时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x
＋2， 任取1≤x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭
⎫12x 1－12x 2 ＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2
， ∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.
又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72
. (2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x
>0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝－3.
∴a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。