高级微观经济学讲义-第五讲汇总

通过证明可得： ，即消费 者愿付的保险金R与风险规避程度是大致成正 比例的：投保人越是厌恶风险，他便越愿支 付高一些的保险金；反之，则会只愿承担低 一些的保险金。
u ( w )
a
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消费者为了免灾，宁肯支付一个确定的 R 给保 险公司。从而得到一个确定的效用水平u ( w0 R ) , 由确定性等值定义可得： E[u ( w0 h )] u ( w0 R )
m2
期值
(1 r )
O
m1
现值
m1 (m2 /(1 r ))
c1
图6.2 跨时期预算线
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• 消费者的选择与利率
均衡条件及均衡点的位置 借入者的最优消费点位置
MRSc1c2
C2
u Muc1 c1 1 r u Muc2 c2
p0
以上那种买进又卖掉某种资产去实现一个确定的回 报的方式，称为无风险套利。 只要有套利机会，现存的金融市场就是不均衡的。
②如果一个人是一位出借者，C1<m1 ，m2<C2 ，则
利率上升以后，他们仍会是出借者。新的均衡 消费点一定在原均衡消费点的左上方。
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③如果一个人是一位借款者，C1＞m1，m2＞C2， 则利率下降以后，他仍会是借款者。新的均衡 消费点一定在原均衡消费点的右上方。
n 利用泰勒公式：u ( w0 R ) u ( w0 ) Ru ( w) o(u ( w0 ))
h2 E[u ( w0 h)] E[u ( w0 ) hu ( w0 ) u ( w0 ) o(u n ( w0 ))] 2 E (h 2 ) u ( w0 ) E (h)u ( w0 ) u ( w0 ) o(u n ( w0 ) 2 u ( w 0 ) Ru ( w0 ) u ( w0 ) ku ( w0 ) ku ( w0 ) R kRa ( w) u ( w0 )
r t lim(1 ) e r t t
第一期的1元钱到第t期的价值为(1+r)t－ 1 ，也就是说第 t 期的 1 元钱相当于第一 1 期的 t 1 元钱的价值。
(1 r )
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•无风险套利与无套利条件 在均衡时，种种资产的回报率必然相等。 设金融资产是无风险的，资产所带来的回报是完全 确定，那么，各种金融资产的回报必然是相等的。 设人们有两个投资机会，一是买下某种资产A，该 资产的价格现在为P0 ，在将来的价格为P1 ，对P1与 P0大家都知道的。另一个投资机会是把钱存入银行， p1 达到均衡条件时有：1 r
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将以上两式变形可以得到以下形式 m2 1 c2 m1 (1+r)c1+c2=(1+r)m1+m2 及 c1 1 r 1 r 这两式都可写成以下形式P1C1+P2C2=P1m1+P2m2 在 上 左 式 里 ， P1=1+r ， P2=1 ； 在 上 右 式 里 ， P1=1，p 2
1 。在上左式中，因P2=1，即末 1 r
来的消费价格为 1 ，所以，称上左式是以未来
值或期值表示的跨期预算约束线。同理，上右
式被称为以现值表示的跨时期预算线。
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跨时期预算线AB可用图6.2表示
c2
m2 (1 r ) m1
m( m1 , m2 )
u ( w ) 2c R a ( w ) w上升时， 这样，当 u ( w ) b 2cw 也上升，说明这个人越 Ra ( w ) 富越怕风险。这样，他会在财富上升时愿支付更
，
多的保险金（R）。
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例2，假定有一个人，其财产初值为W0， 效用函数形式为 u( w )=-e-AW=-exp(-AW)（A>0） 则 R ( w ) u ( w )
出借人在利率上升时仍是出借人
m2
c1
m1
借入者在利率下降时仍是借入者
c1
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•名义利率，通货膨胀率与实际利率
名义利率就是金融机构二期之间的通胀率为 π，那么，两
时期的价格水平有如下关系：P2=P1+π
1 r 1 r 实际购买力： 1
C2
m2 C2
C2
m2
O m1 C1
O
C1
m1
C1
借入者的最优消费点位置
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出借者的均衡点消费点位置
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利率变化对预算线、消费者跨期决策的影响
①若利率r上升，则预算线更会陡，但仍会经过初
始禀赋点（ m1 ， m2 ），即利润上升（或下降）
是使预算线经过点（m1，m2）的一种旋转。
微观经济分析
Microeconomic Analysis Lecture 5 风险规避、风险投资与跨期决策 Risk Aversion，Risk Investment & Intertemporal Choice
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一、对保险金的进一步说明
• 关于保险金R与规避风险程度(Ra(w))之间的 u ( w ) 关系 R k kR ( w )
（2）保险公司的净赔率是多少？ （ 3 ）车主按公平保险费投保与不投保相比，其 期望效用水平有多少改进？
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三、跨时期的最优决策
• 跨期的预算约束
考虑两个时期 t=1 与 t=2 ，且消费者在这两个时期的消费量 分别为c1和c2，利率为r，两期的货币量分别m1和m2。 如果消费者在第一期储蓄了（ m1 － c1 ），这样，若 p2=1 ， 他在第二期能够的消费量为 C2=m2+(1+r)(m1-C1) ，该式 表明，消费者在时期 2 能够消费的量是他的收入 m2 ，加 上他在时期 1 的储蓄（ m1 － c1 ），再加上他在储蓄上所 获的利息r(m1－c1)。 如果该消费者是一个借款者（透支者），那么，他在时期 2 能 够 消 费 的 数 量 为 c2=m2 － r(cr － m1) － (c1 － m1) =m2+(1+r)(m1－c1)。 上面两式其实就是跨时期的预算约束线方程。
• 只有在r=P，保险价格等于发生灾祸的概 率时，两种状态下的边际效用相等才是 w w 最优条件，这时 b g 。
wb wg • 如果r不等于P， ，即最优条件不再 满足。
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应用举例
例：汽车保险中的一个实例。某人的一辆汽车， 在“没有遇上小偷”时的价值为100000元；如 果“遇上小偷”，车子有损失，汽车的价值会 下降至80000元。设“遇上小偷”的概率为25%， 车主的效用函数形式为lnw。问 （ 1 ）在公平保险价下，他买多少数额的保险才 是最优的？
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例：如你拥有 35000 元的财产，但有1%的概率你 会丧失10000元，99%的概率你的财产会安然无 恙。如果我们设投保的财产为 k ，每单位财产 的保险费为r，则在出现财产损失时，你的财产 为 35000 － 10000 ＋ k － rk=25000+k-rk ；在没有 出现财产损失时，你的财产为35000－rk。而你 的财产的原始值为 35000 ，如不买保险，则你 有两种可能：35000元与25000元。这两种可能 的财产值相当于你拥有的两种不同物品的数量。 于是，我们可以用预算线来表示，在图6.1中， A 点是没投保时两种或然结果的组合； B 点是 买了价值为 k 的财产保险后两种或然结果的组 合。
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③预算线：要写出预算线，必须知道不同的或然 品的价格。预算线上每一点的价值为预期值。 每两点的预期价值都相等（这里的预算约束是 指A点的价值要等于B点的价值）。 A的预期价值为 wg 0.99×35000＋0.01× 25000 =34900，所以 A(初始bingfu) 35000 r B点应满足P(25000 1 r ＋k－rk)＋(1－P) B （xuanzhe) (35000－rk)=34900， 35000 rK 这里P为遇灾的概率。 O 25000 25000 K rK wb 可以看出，这条预算 线的斜率为 wg r 图6.1 或然状态下的预算线

实际利率r*=(r－π)/(1+π)。（只有）当π非常小时，
r*=r－π，即实际利率=名义利率－通货膨胀率。
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四、现值与套利行为
• 现值与贴现
贴现是金融市场上的一种基本业务， 经过贴现，一笔未来资产就成为现值。
x x PV 2 1 r (1 r ) F (1 r )T
有兴趣的同学可参阅陈传璋等《数学分析》185 页
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• 风险升水（P）与风险大小之间的关系 在消费者是风险厌恶者时，风险升水（P）的 高低与风险本身的大小成正比例。
u ( w)
o
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w
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• 风险升水（P）（这里，由于E(h)=0,P=R（保险 金））与投保人的财富的绝对水平不一定有关系。 一个人财富多少与其愿支付的保险金之间的关系 取决于这个人的效用函数形式。 例 1 ： 如 果 某 人 的 效 用 函 数 是 u(w)=a+bw–cw2 （a>0,b>0,c>0），则风险规避程度Ra(w)为
a
u ( w )
这说明，这个人愿支付的保险金（R）与 其财产（W）无关。
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二、不确定条件下的风险决策的基本原则
• 不确定条件下消费者的预算约束与边际替代率 独立性假设 即若A≥B，C≠A，且C≠B，则有P· A+(1-P)·C≥P·B+(1-P)， 由此可得E(u(w))=pu(w0)+(1-p)u(w1) 不确定条件下的预算约束 ①或然结果：不同条件下出现的结果。 ②或然品：同一种但在不同状态下提供的商品称为或然 品。根据阿罗（Arrow）与德布鲁（Debru）的定义，同 一种财产在不同状态下（如出现灾害与不出现灾害）是 不一样的商品。 根据这种理由，我们可以象描述一个消费者面临两种消 费品的情形一样，来画出不同状态下两种不同或然财产 （或然品）的预算线。
④如果某人是个出借者，那末利率下降就得可能 使决定改变而成为借款者；利率上升可能使一 个借款者变成一个出借者。 ⑤若消费者一开始是个借款者，利率上升以后他 仍决定做一个借款者，那么，他的境况必定变 坏。
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用显示性偏好弱公理表述
c2
r上升后的预算线
c2
m2 m1
wb wg
该式表明：当消费者在不确定条件下消费行为达到最 优时，必有其在两种状态的边际效用相等。这也给出 了风险决策的一个基本原则。此式还可以得 * w 出 w* b g ，即设立使消费者投资者在好坏两种可 能性下有相等的财产值。
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进一步的说明
wb 1 r
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不确定条件下的边际替代率（MRS） E(U(w))=pu(wb)+(1-p)u(w8)
MRSb .g
u( w ) p wb u( w ) (1 p ) wg
这里MRSb.g表示的是期望效用不变时好状态下 与坏状态下的财产之间的替代率。
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• 不确定条件下最优选择的条件 最优条件的表述 按消费者行为的最优理论，可得 p u ( w) wb r u ( w ) 1 r (1 p ) wg 但是，若保险公司的保险价是公平价，那么，其期望 利润应等于零，则期望利润 =rk － P· K－(1 －P)· O=rk － P· K=0，即r=P。将r=P代入上式，有u( wb ) u( wg )