新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程椭圆及其标准方程教案新人教A版选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标核心素养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养学生的数学运算素养.
2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养.
2008年9月25日21时10分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台阶．请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么？
下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) 焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c )与(0，c )
a ，
b ，
c 的关系 c 2＝a 2－b 2
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．
( )
(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆．
( ) (3)方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)表示的曲线是椭圆．
( )
[提示] (1)× (2)√ (3)×
2．设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
D [由椭圆方程知a 2
＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A ．x 2100＋y 236＝1
B ．
y 2400＋x 2
336
＝1 C ．y 2
100＋x 2
36
＝1 D ．y 220＋x 2
12
＝1 C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8， 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝36，
所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 2
36
＝1.]
4．方程x 2a 2＋y 2
a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．
(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2
＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]
求椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，
142. [解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2
－c 2
＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为
x 225＋y 2
9
＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a ＝
4－0
2
＋32＋2
2
＋4－0
2
＋32－2
2
＝
12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2
－c 2
＝4 2.
所以椭圆的标准方程为y 236＋x 2
32
＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16
b
2＝1.
又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2
＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 2
32
＝1.
(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2
＋2b 2
＝1，1a 2
＋144b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝8，
b 2
＝4.
所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧
4b 2
＋2a 2
＝1，
1b 2
＋14
4a 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
b 2
＝8，
a 2
＝4.
则a 2
＜b 2
，与a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2
＋By 2
＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－
2)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
4A ＋2B ＝1，A ＋14
4B ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝18，
B ＝1
4，
所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2
a 2＝1(a ＞
b ＞0)或整式形式
mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求与椭圆x 225＋y 2
9
＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．
[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 2
9＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c
2
＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
因为c 2
＝16，且c 2
＝a 2
－b 2
，故a 2
－b 2
＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以3
2
a 2＋
15
2
b 2
＝1，
即9a 2＋15
b
2＝1
②.
由①②得a 2＝36，b 2
＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 2
20
＝1.
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2
25＋λ＋y 2
9＋λ
＝1.
又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋15
9＋λ
＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 2
20
＝1.
椭圆中的焦点三角形
【例2】 (1)已知椭圆x 2
16＋y 2
12＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线
段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )
A ．3∶5
B ．3∶4
C ．5∶3
D ．4∶3
(2)已知椭圆x 24＋y 2
3＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，
则△PF 1F 2的面积为________．
[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．
(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解． (1)C (2)33
5 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易
得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2
－|PF 2|2
＝4c 2
＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，
从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.
(2)由x 24＋y 2
3＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2
＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.
在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2
＝|PF 1|2
＋|F 1F 2|2
－2|PF 1||F 1F 2|cos∠PF 1F 2，即|PF 2|2
＝|PF 1|2
＋4＋2|PF 1|.
①
由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ② 由①②联立可得|PF 1|＝6
5
.
所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝33
5
.]
椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝(|PF 1|
＋|PF 2|)2
－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解．
1．本例(2)中，把“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠PF 1F 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． [解] 由椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且
|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.
∴|PF 2|2
＝|PF 1|2
＋|F 1F 2|2
. 从而(4－|PF 1|)2
＝|PF 1|2
＋4， 则|PF 1|＝3
2
，
因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝3
2.
故所求△PF 1F 2的面积为3
2
.
2．本例(2)中方程改为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，且“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝
120°”，若△PF 1F 2的面积为3，求b 的值．
[解] 由∠F 1PF 2＝120°，△PF 1F 2的面积为3，可得12|PF 1||PF 2|·sin∠F 1PF 2＝
3
4|PF 1|·|PF 2|＝3，∴|PF 1||PF 2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a .再利用余弦定理可得4c 2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos 120°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－|PF 1|·|PF 2|＝4a 2
－4，
∴b 2＝1，即b ＝1.
与椭圆有关的轨迹问题
[探究问题]
1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？
[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c .
2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？
[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．
(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝g
x ，y ，y 1＝h x ，y .
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简
即可．
【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 2
8＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨
迹方程为______________．
(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2
＋y 2
＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交
CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．
[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．
(1)x 2
＋y 2
2＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，
又x 204＋y 20
8＝1， 所以
2x 2
4
＋
2y
2
8
＝1，
即x 2
＋y 2
2
＝1.]
(2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.
∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52
，c ＝1 ，∴b 2
＝
a 2－c 2＝254－1＝214
.
∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2
214＝1，
即4x 2
25＋4y
2
21
＝1.
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义
直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，
y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
[跟进训练]
2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 2
4＋y 2
＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方
程．
[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋12，y ＝y
2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2x －1，
y 0＝2y .
∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 2
4＋y 2
＝1上，∴x 20
4＋y 2
0＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得
2x －1
2
4
＋(2y )2
＝1.
故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋4y 2
＝1.
1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．
2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)．
(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2
，b 2
的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2
＝b 2
＋c 2
求出c ，即可写出焦点坐标．
(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2
n
＝1，当m ＞n ＞0时，
方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n
＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．
3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2
＝θ，如图．
(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．
(3)|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos θ.
(4)S △PF 1F 2＝12
|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．
4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．
1．椭圆x 2
25＋y 2
＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2
＋ky 2
＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
B [椭圆方程可化为x 2
＋y
2
4k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
4k >1，4
k －1＝1，
解得k ＝2.]
3．若方程x 2m ＋y 2
2m －1
＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1 [由方程x 2m ＋y 2
2m －1＝1表示椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞0，
2m －1＞0，
m ≠2m －1，
解得m ＞1
2
且
m ≠1.]
4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
x 2
25
＋y 2
9
＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，
∴1
2×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2
＝b 2
＋c 2
＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2
9
＝1.]
5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝
⎛
⎭⎪
⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2
＝4， ∵点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
3，
32是椭圆上的一点， ∴
32
4
＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫322b
2
＝1，∴b 2＝3，∴c 2
＝1，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．。