2016年湖北省黄冈市中考一模数学

2016年湖北省黄冈市中考一模数学
一、选择题(共7小题，每小题3分，满分21分)
1.在-4，0，-1，3这四个数中，最大的数是( )
A.-4
B.0
C.-1
D.3
解析：∵|-4|=4，|-1|=1，
∴-4＜-1，
∴-4，0，-1，3这四个数的大小关系为-4＜-1＜0＜3.
答案：D.
2.计算(a2b)3的结果是( )
A.a6b3
B.a2b3
C.a5b3
D.a6b
解析：(a2b)3
=(a2)3·b3
=a6b3
即计算(a2b)3的结果是a6b3.
答案：A.
3.下列不等式变形正确的是( )
A.由a＞b得ac＞bc
B.由a＞b得-2a＞-2b
C.由a＞b得-a＜-b
D.由a＞b得a-2＜b-2
解析：∵a＞b，
∴①c＞0时，ac＞bc；②c=0时，ac=bc；③c＜0时，ac＜bc，
∴选项A不正确；
∵a＞b，
∴-2a＜-2b，
∴选项B不正确；
∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴选项C正确；
∵a＞b，
∴a-2＞b-2，
∴选项D不正确.
答案：C.
4.设x1，x2是方程x2+5x-3=0的两个根，则x12+x22的值是( )
A.19
B.25
C.31
D.30
解析：∵x1，x2是方程x2+5x-3=0的两个根，
∴x1+x2=-5，x1x2=-3，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=25+6=31.
答案：C.
5.如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( )
A.仅有甲和乙相同
B.仅有甲和丙相同
C.仅有乙和丙相同
D.甲、乙、丙都相同
解析：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
则主视图相同的是甲和丙.
答案：B.
6.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
解析：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线，
修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线，
修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜线的倾角变大.
因此选项A、B、D都不符合要求.
答案：C.
7.如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点.现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是( )
1)
B.(1，)
-2)
D.(2，)
解析：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，
∴∠POQ=120°，
∵AP=OP，
∴∠BAO=∠POA=30°，
∴∠MOQ=30°，
在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，
∴MQ=1，
则P的对应点Q的坐标为(1，，
答案：B
二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)
8.已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的底面半径是_____. 解析：设底面半径为r，则
60π=πr×10，
解得r=6cm.
答案：6.
9.因式分解：ax2-ay2=_____.
解析：ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
答案：a(x+y)(x-y).
10.计算：(π-2016)0-(1
2
)2+tan45°=_____.
解析：原式=1-1
4
+1=
3
1
4
，
答案：
3 1 4
11.如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为_____.
解析：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=65°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B
=180°-65°-40°
=75°，
即∠ACB的度数为75°.
答案：75°.
12.在如图所示(A，B，C三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_____区域的可能性最大(填A或B或C).
解析：由题意得：S A＞S B＞S C，
故落在A区域的可能性大.
答案：A.
13.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的4
9
，则
AB：DE=_____.
解析：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(AB
DE
)2=
4
9
，
∴AB：DE=2：3.
答案：2：3.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x
轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=k
x
(k≠0，x＞0)的图象过点B，E.若AB=4，
则k的值为_____.
解析：设正方形ODEF 的边长为a ，则E(a ，a)，B(4，a+4)， ∵点B 、E 均在反比例函数y=
k
x
的图象上， ∴ 44
k a a k a ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＝＝
，解得
或
(舍去).
当
时，k=a 2
2
答案：
三、解答题(共10小题，满分78分)
15. 先化简，再求值：22222a ab b b
a b a b
-++-+，其中a=-2，b=1.
解析：首先把分子分母分解因式，再约分化简，然后根据同分母的分数相加，分母不变分子
相加进行计算，结果要化为最简形式，再把a=-2，b=1代入化简后的结果可得出分式的值.
答案：原式=
()()()2
a b b a b a b a b
-++-+
=
a b b
a b a b -+
++ =b a b
+， 把 a=-2，b=1代入得：原式=
2
21
--+=2.
16. 2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回.统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全统计表和统计图；
(2)打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为_____；
(3)求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？
解析：(1)被调查的100人减去其他收入的人数即可得到年收入在6万元的人数；
(2)用小于100的人数除以总人数即可得到小于100平米的所占比例；
(3)用加权平均数计算即可.
答案：(1)100-10-30-9-1=50人，
∴年收入为6万元的有50人；
如图：
(2)由统计图可知打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数为52人，
∴52÷100=52%；
(3)4.810650*********
100
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=7.5(万元).
故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元.
17.在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘(每个转盘都被分成3等份)一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目.
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是_____；
(2)若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率.
解析：(1)根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；(2)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验.列举出所有情况，求出即可.
答案：(1)∵转动转盘①一共有3种可能，
∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：1
3
；
故答案为：1
3
；
(2)分别转动两个转盘一次，列表：(画树状图也可以)
共有9种，它们出现的可能性相同.由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，
所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”(记为事件A)的结果有2种，
所以P(A)=2
9
.
18.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数.
解析：(1)在证明△BEC ≌△DEC 时，根据题意知，运用SAS 公理就行； (2)根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=
1
2
∠BED ，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD. 答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC=CD ，∠ECB=∠ECD=45°. ∴在△BEC 与△DEC 中，
BC CD ECB ECD EC EC ⎪
∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△BEC ≌△DEC(SAS). (2)解：∵△BEC ≌△DEC ， ∴∠BEC=∠DEC=
1
2
∠BED. ∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF. ∴∠EFD=60°+45°=105°.
19. 某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.
(1)求每个篮球和每个排球的销售利润；
(2)已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案.
解析：(1)设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得到方程组；即可解得结果；
(2)设购进篮球m 个，排球(100-m)个，根据题意得不等式组即可得到结果. 答案：(1)设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元， 根据题意得：79355
1020650
x y x y ⎩+⎨
+⎧＝＝，
解得：25
20x y ⎧⎨
⎩
＝＝， 答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；
(2)设购进篮球m 个，排球(100-m)个，
根据题意得：()200160100174001002
m m m
m +-≤-≥⎧⎪
⎨⎪⎩， 解得：
100
3
≤m ≤35， ∴m=34或m=35，
∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案.
20.若正比例函数y1=-x的图象与一次函数y2=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-1.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)直接写出方程组
y x
y x m
-
⎨
⎩+
⎧＝
＝
的解；
(3)在一次函数y2=x+m的图象上求点B，使△AOB(O为坐标原点)的面积为2.
解析：(1)先将x=-1代入y=-x，求出y的值，得到点A坐标，再将点A坐标代入y=x+m，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
(2)方程组的解就是正比例函数y=-x的图象与一次函数y=x+m的交点，根据交点坐标即可写出方程组的解；
(3)根据三角形的面积公式解答即可.
答案：(1)将x=-1代入y=-x，得y=1，
则点A坐标为(-1，1).
将A(-1，1)代入y=x+m，得-1+m=1，
解得m=2，
所以一次函数的解析式为y=x+2；
(2)方程组
y x
y x m
-
⎨
⎩+
⎧＝
＝
的解为
1
1
x
y⎩
-
⎧
⎨
＝
＝
；
(3)设直线y=x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C(0，2)，D(-2，0)，∵A(-1，1)，
∴S△AOC=S△AOD=1
2
×2×1=1，
①当B点在第一象限时，则S△BOC=1，设B的横坐标为m，
∴S△BOC=1
2
×2×m=1，解得m=1，
∴B(1，3)；
②当B点在第三象限时，则S△BOD=1，设B的纵坐标为n，
∴S△BOD=1
2
×2×(-n)=1，解得n=-1，
∴B(-3，-1).
综上，B的坐标为(1，3)或(-3，-1).
21.如图，小俊在A处利用高为1.8米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)(参
=1.414
=1.732)
解析：设楼EF 的高为x 米，根据正切的概念用x 表示出DG 、BG ，根据题意列出方程，解方程即可.
答案：设楼EF 的高为x 米，则EG=EF-GF=(x-1.8)米，
由题意得：EF ⊥AF ，DC ⊥AF ，BA ⊥AF ，BD ⊥EF ，
在Rt △EGD 中，DG=EG tan EDG =3
(x-1.8)，
在Rt △EGB 中，，
∴CA=DB=BG-DG=
3(x-1.8)， ∵CA=12米，
(x-1.8)=12，
解得：≈12.2，
答：楼EF 的高度约为12.2米.
22. 如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P.
(1)求证：AP 是⊙O 的切线；
(2)OC=CP ，AB=6，求CD 的长.
解析：(1)连接AO ，AC(如图).欲证AP 是⊙O 的切线，只需证明OA ⊥AP 即可；
(2)利用(1)中切线的性质在Rt △OAP 中利用边角关系求得∠ACO=60°.然后在Rt △BAC 、Rt
△ACD 中利用余弦三角函数的定义知CD=4.
答案：(1)证明：连接AO ，AC(如图).
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E 是CD 的中点，
∴CE=DE=AE.
∴∠ECA=∠EAC.
∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA.
∵CD 是⊙O 的切线，
∴CD ⊥OC.
∴∠ECA+∠OCA=90°.
∴∠EAC+∠OAC=90°.
∴OA ⊥AP.
∵A 是⊙O 上一点，
∴AP 是⊙O 的切线；
(2)解：由(1)知OA ⊥AP.
在Rt △OAP 中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA ，即OP=2OA ，
∴sinP=OA OP =12
， ∴∠P=30°.
∴∠AOP=60°.
∵OC=OA ，
∴∠ACO=60°.
在Rt △BAC 中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC=AB tan ACO
∠， 又∵在Rt △ACD 中，∠CAD=90°，∠ACD=90°-∠ACO=30°，
∴CD=
AC cos ACD ∠=30cos ︒ =4.
23. 某企业为一商场提供家电配件，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1(元)与月份x(1≤x ≤9，且x 取整数)之间的函数关系如下表：
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为100元，生产每件配件的人力成本为5元，其它成本3元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤9，且x 取整数)，10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9(10≤x≤12，且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1月份，每件配件的原材料价格均比去年10月上涨8元，人力成本比去年增加1元，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少8a%.这样，该月完成了17万元利润的任务，请你计算出a的值.
解析：(1)根据表格可以得到y1与x之间的函数关系式，根据函数图象可以得到y2与x之间的一次函数关系式；
(2)根据题意可以分别求出当1≤x≤9时的最大利润和10≤x≤12时的利润的最大值，然后进行比较，即可求得去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)根据题目中的信息可以列出相应的关系式，从而可以求得a的值.
答案：(1)设y1=kx+b，
由表格可得，
56 258 k b
k b
+
+
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
解得
2
54 k
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴y1=2x+54(1≤x≤9，x取整数)，
设y2=ax+b，
由函数图象可知，点(10，73)，(12，75)在函数的图象上，
∴
1073 1275
a b
a b
⎨
⎩
+
+
⎧＝
＝
解得，
1
63 a
b
⎧
⎨
⎩
＝＝
∴y2=x+63(10≤x≤12且x取整数)，
即y1=2x+54(1≤x≤9，x取整数)，y2=x+63(10≤x≤12且x取整数)；
(2)设去年第x月的利润为w万元，
当1≤x≤9且x去整数时，
w=(100-5-3-y1)×p1
=(92-2x-54)(0.1x+1.1)
=-0.2x2+1.6x+41.8
=-0.2(x-4)2+45
∵1≤x≤9，
∴当x=4时，w取得最大值，此时w=45；
当10≤x≤12且x取整数，
w=(100-5-3-y2)p2
=(92-x-63)(-0.1x+2.9)
=0.1(x-29)2，
∵10≤x≤12且x取整数，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=36.1；
∵45＞36.1
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润是45万元；
(3)由题意可得，
[100(1+a%)-81-6-3]×(-0.1×12+2.9)(1-8a%)=17
解得a1=2.5，a2=0(舍去)
即a的值为2.5.
24.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA 为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
(4)设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.
解析：(1)由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；
(2)找到点B关于抛物线对称轴的对称点A，取AB与抛物线对称轴的交点即可；
(3)分别过点P，A作AP的垂线，取点Q，根据等腰直角三角形构建全等三角形即可求解；
(4)根据以AB为边和以AB为对角线进行讨论，结合菱形的性质进行求解即可.
答案：(1)由题意可求，A(0，2)，B(-1，0)，点C的坐标为(4，0).
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+1)，
把点A(0，2)代入，解得：a=-
12， 所以抛物线的解析式为：y=-
12(x-4)(x+1)=-12x 2+32
x+2， (2)如图1
物线y=-
12x 2+32x+2的对称轴为：x=32
， 由点C 是点B 关于直线：x=32的对称点，所以直线AC 和直线x=32的交点即为△GAB 周长最小时的点G ，
设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，把A(0，2)，点C(4，0)代入得：.
204n m n
⎨⎩+⎧＝＝， 解得：122
m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，
所以：y=-
12
x+2， 当x=32时，y=54
， 所以此时点G(32，54)； (3)如图
2
使△PAQ 是以PA 为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q 的坐标：Q 1(72，32)，Q 2(-12，-32)，Q 3(2，72)，Q 4(-2，12
)， 证明Q 1：过点Q 1作Q 1M ⊥x 轴，垂足为M ，
由题意：∠APQ 1=90°，AP=PQ 1，
∴∠APO+∠MPQ 1=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠MPQ 1，
在△AOP 和△MPQ 1中，
11190AOP PMQ PAO MPQ AP Q P ⎧⎪⎨⎪⎩
∠∠︒∠∠＝＝＝＝， ∴△AOP ≌△MPQ 1，
∴PM=AO=2，Q 1M=OP=
32， ∴OM=72
， 此时点Q 的坐标为：(72，32
)； (4)存在 点N 的坐标为：(0，-2)，
，2)，
，2)，(-
52，2).。