四川省双流中学2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题(精编含解析)

根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D 【解析】 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数； 月跑步平均里程不是逐月增加的； 月跑步平均里程高峰期大致在 9，l0 月份，故 A，B，C 错. 本题选择 D 选项. 4.4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘 坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）
A.
为真命题 B.
为真命题
C.
为真命题 D. 为真命题
【答案】A
【解析】
命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目标”，则命题 是“第一次射击没击中目
标”，命题 是“第二次射击没击中目标”， 命题 “两次射击至少有一次没有击中目标”是
，
故选 A.
6.6.已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若
由正弦定理得
，即
解得 ，
，
所以
.
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利
用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求
角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经
14.14.设公比不为 1 的等比数列 满足
，且
成等差数列，则数列 的前 4 项和为
__________．
【答案】 . 【解析】 【分析】
：由等比中项求解 ，由等差中项求解 ，由等比数列的求和公式求解 。
【详解】：公比不为 1 的等比数列 满足
，所以
，解得
，
，
，
成等差数列，故
，解得
， ，由
【点睛】：等比中项的性质：
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由
得
，解得
.
考点：等差数列.
视频
7.7.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之
剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数 除以正整数 后的
余数为 ，则记为
，例如
【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题 的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点。
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.17.已知向量
，将 的图像向右平移 个单位后，再保
持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 的图像.
，因为
【点睛】：本题考查了频率分布直方图，频率为小长方形的面积，求某范围内的概率，那么概率为范围内的
小长方形的面积之和。平均数和方差是比较数据优劣的两个重要数据，当平均数一致时，我们比较方差的
大小。
19.19.如图，四棱锥
中，
且 底面 ， 为棱 的中点.
（1）求证：直线 （2）当四面体
平面 ； 的体积最大时，求四棱锥
【解析】
【分析】
：（1）由微信支付人数的频率分布直方图可知，微信支付人数低于 50 千人的概率为 。
（2）补全列联表，由卡方公式判断独立性。 （3）根据平均数和方差比较两种支付方式的优劣。 【详解】：
(1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：
. （2）根据题意，补全列联表可得：
支付人数 千人
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟，所以概率 B。
。故选
5.5.在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目
标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ）
C. 10
D. 0
，则
（）
：由函数的对称性，和等差数列的增减性，得出
的值。
【详解】：函数
为定义域 上的奇函数，则
，由
，可得
，关于点 中心对称，那么
关于
点
中心对称，由等差中项的性质和对称性可知：
，故 ，由题意：
，由此 ，若 ，则
。故选 A 【点睛】：已知函数的奇偶性，再进行平移变换，如果是奇函数，平移后有对称中心。如果是偶函数，平移 后有对称轴。
.现将该问题以程序框图（6 题图）给出，执行该程序框图，
则输出的 等于（ ）
A. 13 B. 11 C. 15 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】
：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
【详解】：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
最后：
，输出 的值，故选 A。
【点睛】：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步
的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】
分析：（1）取 的中点 N,证 平面
详解：（2）设
，当四面体
的体积最大时，求出 ，进而求得四棱锥
的体积．
（Ⅰ）因为
，设 为 的中点，所以
，
又 平面 ， 平面 ，所以
，又
，
所以 平面 ，又
，所以
平面 ．
（Ⅱ）
，设
，
则四面体
的体积
当
，即
时体积最大
又 平面 ， 平面 ，所以
，等差中项的性质：
可得： 。 ，等比数列的前 项和公式
。
15.15.在 中， 边上的中线 最小值是__________． 【答案】-8. 【解析】 【分析】
，若动点 满足
，则
的
：由
，得出点
三点共线，所以
，由向量加法的平行四边形法则，
，得出
关于 的函数表达式，最后求解即可。
【详解】：由
线，
，所以
为-8。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
：由于 为单调递增的函数，且 是函数的零点，根据 和 互为“零点相邻函数”的定义， 的零
点在 之间，再对二次函数 的根的个数进行分类讨论。
【详解】：
， 为单调递增的函数，且 是函数唯一的零点，由
数”，则 的零点在 之间。
（1）当 有唯一的零点时， ，解得 ，解得 满足题意；
常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18.18.支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的
人数作了对比.从全国随机抽取了 100 个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分
布直方图如下.
记 表示事件“微信支付人数低于 50 千人”，估计 的概率； 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为支付人数与支付方式有关；
纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运
算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.3.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”
每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
，所以
，由向量的共线定理可知点
三点共
，其中
解得最小值
【点睛】：向量三点共线定理：，
三点共线的充要条件是：若
，则
。向量加法
遵循平行四边形法则，两向量之和往往可以转化为一个向量从而简化式子结构。利用函数的思想求解最值
是解决最值问题的常见转换思想。
16.16.在三棱锥
中，
，则三棱锥
外接球的体积的最小
值为__________．
文科数学
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.1.已知集合
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
：先解 A、B 集合，再取并集。
，则 等于（ ）
【详解】：先解 【点睛】：一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
（1）求函数 的解析式；
（2）若
，且
【答案】(1)
(2)
.
【解析】
，求 的面积. .
分析：（1）由题意，化简得
，利用图象的变换得
；
（2）由
，求得
角形的面积．
，在由正弦定理求得 ，及 的值，即可利用三角形的面积公式求得三
详解：（1）
，
的图像向右平移 个单位后，函数解析式变为
，
则
（2）∵
，∴
，∴
，∴
；
，线段 中点的横坐标为 3，则
，
，由此解得 【点睛】：到焦点的距离转化为到准线的距离，由此与交点的坐标产生关系，过焦点的弦长公式
。 9.9.一个几何体三视图如下，则其体积为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 ：在长方体中还原立体图为三棱锥。 【详解】：在长方体中还原立体图为三棱锥如下图所示，由此解得体积为 4，故选 D
支付人数 千人
总计
微信支付
62
38
100
支付宝支付
34
66
100
总计
96
104
200
则有
，
故有 99%的把握认为支付人数与支付方式有关.
（3）由频率分布直方图可得，微信支付 100 个地区支付人数的平均数为：
； 支付宝支付 100 个地区支付人数的平均数为：
比较可得：
，故支对根的个数进行分类讨论。
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.13.某校今年计划招聘女教师 人，男教师 人，则 满足
__________人．
【答案】10.
【解析】
可行域内正整数解为
,所以
，则该学校今年计划招聘教师最多 ,即学校今年计划招聘教师最多 人
【答案】 . 【解析】
【分析】
：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与 的函数关系式，求解体对角线的最小
值，由此得出外接球的体积的最小值。
【详解】：如图所示，三棱锥
的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线
，设
，那么
,
,所以
。由题意，体积的最小值即为
最小，
，所以当 时， 的最小值为 ，所以半径为 ，故体积的最小值为 。
【点睛】：由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长 方体为模型，还原三视图。长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求解很方便。
10.10.已知函数
为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数
，数列 为
等差数列，且公差不为 0，若
A. 45 B. 15 【答案】A 【解析】 【分析】
，
，所以
，所以 的面积
为 【点睛】：求离心率的关键是建立 这是学生的难点。
，解得 ，所以该双曲线的离心率 。故选 C 三个量之间的关系式，利用图形的几何性质建立等式可以简化计算，
12.12.对于函数 和 ，设
互为“零点相邻函数”.
与
是（ ）
，若所有的 ，都有
，则称 和
互为“零点相邻函数”，则实数 的取值范围
，故选 B
2.2.复数 满足
A.
B.
，则在复数平面内复数 对应的点的坐标为（ ）
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析：先求出复数的模，两边同除以 ，从而可得结果.
详解：
，
， 在复数平面内复数 对应的点的坐标为
，故选 D.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握
支付人数 千人
支付人数 千人
总计
微信支付
支付宝支付
总计
根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进行比较. 附：
0.050
0.010
3.841
6.635
0.001 10.828
【答案】(1)
.
(2)列联表见解析; 有 99%的把握认为支付人数与支付方式有关. （3）支付宝支付更加优于微信支付.
数之间的关系式。
8.8.过抛物线 =（ ）
的焦点作直线交抛物线于 两点，若线段 中点的横坐标为 3，
，则
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 ：先设 的坐标，表示出线段 中点的横坐标为 3 的表达式，因为 过焦点，由过焦点的弦长公式
，解出 。
【详解】：设 的坐标分别为
11.11.若 是双曲线
的右焦点，过 作该双曲线一条渐近线的垂线于两条渐近线交于
两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则该双曲线的离心率 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
：分析图形，已知
，表示出
程式，再求解离心率 。
【详解】：
，再用 的关系式表示出线段 ，最后利用面积公式建立 的方
如图所示：设
互为“零点相邻函
（2）当 在 之间有唯一零点时， （3）当 在 之间有两个点时，
,解得
;
,解得
综上所述，解得
。故选 D。
【点睛】：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用
方法，数形结合是解决函数问题的基本思想，我们要灵活的应用。已知区间内的零点求参数问题，利用零