高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》难题汇编及解析

新数学复习题《平面向量》专题解析
一、选择题
1．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v
，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA
BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
2．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为,P Q 在圆
222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r
的最小值为（ ）
A ．18-
B ．19-
C ．18+
D ．19+【答案】B 【解析】 【分析】
设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
2
23MP MQ ⋅≥-u u u r u u u u r ，得到答案.
【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
2
2
2
22(
)12
PQ C D QC =-=
Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=--
故()
2
322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
3．若向量a b r r ，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C 3
D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
4．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v
，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263BD OA O
C =-u u u v u u u v u u u v
C ．5163
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；
【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
12OD OA =u u u v u u u v ，
∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144
AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】
()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
6．已知向量(sin ,cos )a αα=r
，(1,2)b =r
， 则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r
r 取得最大值，则1tan 2
α= D ．||a b -r r 1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r
取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2
k k Z π
αϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1
tan 2
α=
，则C 正确.
D 选项，||a b -=
=r r
的最大值为
1=，选项D 正确.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r
，则x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r
r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求
解，得到答案. 【详解】
由题意，向量(1,1)a =r
，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r
r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r
，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于
8．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2
2
C ．2
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求2
2
1
216y y -=，结合22
1244
y y CD =-即可求解 【详解】
如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，22221212
1212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ，
()2
22221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016
y y y y ---= 解得2
2
1
216y y -=（0舍去），所以2222
12124444
y y y y CD -=-==
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
9．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则
1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()4
2
AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)[()]4
2
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u
v u u u v u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()4
2
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)4
2
AC AB AO BC =-+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
所以22
1(|
|)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
10．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
11．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即
可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
12．平面向量a →与b →
的夹角为π3
，()2,0a →
=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．3
B 6
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ，
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，
|2|2a b ∴-=r r
，
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
13．已知ABC V 为直角三角形，,6,82
C BC AC π
=
==，点P 为ABC V 所在平面内一
点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．252
-
B ．8-
C ．172
-
D ．175
8
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据,2
C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则2
2
325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当
3
=2=2
x y ，时,取得最小值.
【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r
，
则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2
325252(2)2222x y ⎛
⎫=-+--≥- ⎪⎝
⎭.
故选:A. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
14．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu
r =2，则
△ABC 的面积为（ ） A 2B ．
3
2
C ．22
D ．42【答案】C 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面
积．
【详解】
在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2﹣3b2＝2ac，
可得cosB
2221
23 a c b
ac
+-
=
=，则sinB
22
=，
BA
u u u r
⋅BC=
u u u r
2，可得cacosB＝2，则ac＝6，
∴△ABC的面积为：
1122
6
223
acsinB=⨯⨯=22．
故选C．
【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
15．在菱形ABCD中，4
AC=，2
BD=，E，F分别为AB，BC的中点，则
DE DF
⋅=
u u u r u u u r
（）
A．
13
4
-B．
5
4
C．5 D．
15
4
【答案】B
【解析】
【分析】
据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,
DE DF
u u u r u u u r
，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC与BD交于点O，以O为原点，BD
u u u r
的方向为x轴，CA
u u u r
的方向为y轴，建立直角坐标系，
则
1
,1
2
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
2
F
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，(1,0)
D，
3
,1
2
DE
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u r
，
3
,1
2
DF
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
u u u r
，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
16．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．23- B ．43- C ．8
3- D ．2-
【答案】D
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r ， 则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
17．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[0,
C ．[0,4]
D ．[0,8] 【答案】D
【解析】
【分析】 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22
(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】
设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
， 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，
设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=
的距离d =
≤，可得[0,8]t ∈.
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD
所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()0,0A ∴
，(B
，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB
的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()222001x x +=-解得01x =-
(E ∴-
(C Q ，()5,0D CD ∴
所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r
()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16
C ．52
D ．410【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，
最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒
，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】
因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。