高二数学上学期第二次月考试题(含解析).doc

2019学年度第一学期第二次月考阶段测试
高二数学试题
本试卷满分160分，考试时间120分钟。

填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分。

答案写在答题卡相应位置）1. 抛物线的准线方程为：______________。

【答案】
【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1
考点：本题考查抛物线的标准方程
点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为
2. 已知椭圆的离心率_______。

【答案】
【解析】已知椭圆，
故答案为：。

3. 函数，则的导函数____________。

【答案】
【解析】根据余弦函数的求导法则和指数函数的求导法则得到。

故答案为：。

4. 设为虚数单位，为实数），则__________。

【答案】
【解析】由题干知道
根据复数相等的概念得到
故答案为：2.
5. 已知双曲线（＞0）的一条渐近线为，则______。

【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.
6. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____。

【答案】
【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。

故得到
故得到椭圆方程为：。

故答案为：。

7. 函数的最大值是____________。

【答案】
【解析】∵f（x）=，∴f′（x）=，
令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴f max（x）=f（e）=．
故答案为：。

8. 已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的标准方程为________。

【答案】
【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|
＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为
9. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是
______________。

【答案】
【解析】试题分析：在上上是单调减函数，
，，设，，则.
考点：导数的应用，一元二次方程的根的分布.
10. 椭圆的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_________。

【答案】
【解析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
由题设条件知AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°，
故答案为：．
点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；将几何图形的特点和圆锥曲线联系到一起。

求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。

11. 曲线在点处的切线方程为________。

【答案】
【解析】根据题意得到：另x=1得到再另x=0得到
故得到，求导得到将点代入方程可得结果。

由上述条件得到方程为：。

故答案为：。

12. 已知则
__________。

【答案】
【解析】由题意得，根据上述等式的计算规律，利用归纳推理可知，
所以第个式子中，
所以.
13. 已知圆上任一点处的切线方程为类比上述结论有：椭圆
上任一点处切线方程为：_____________。

【答案】
【解析】类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用代x2，用代y2，即可得过椭圆上一点的切线方程为．
故答案为：.
14. 已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围是
____________。

【答案】
【解析】对任意b＞a＞2，＜1恒成立，
等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞2），
则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（2，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=在（2，+∞）上恒成立，
∴m≥﹣x2+x（x＞2），
∴m≥；
∴m的取值范围是[-2，+∞）．
故答案为：。

二、解答题（本大题共8小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）若都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立。

（2）求证：
【答案】(1)见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可。

解析：
（1）假设＜2和＜2都不成立，即≥2和≥2同时成立．∵x＞0且y＞0，∴1+x≥2y，且1+y≥2x．
两式相加得2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．这与已知条件x+y＞2矛盾，
∴＜2和＜2中至少有一个成立．
（2）原式子等价于2，两边平方得到
，得证。

16. 已知椭圆C的方程为；
（1）求k的取值范围；
（2）若椭圆C的离心率，求的值。

【答案】（1）k∈（1，5）∪（5，9）（2）2或8
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的方程的定义得到解出这个不等式即可；（2）要分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况，结合求解即可。

解析：
（1）∵方程表示椭圆，
则
（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=
∴c=
②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=。

∴c=
∴k=8；
∴k的值为2或8．
17. 已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间。

【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，根据单调性和极值的定义的到结果即可；（2）对函数求导，分和两种情况下讨论函数的单调性进而得到函数的单调区间。

解析：
（1）
（2），
当，：；；
，
，。

18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出商品11千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，问，销售价格为多少时，利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）a=2 （2）x=4时取最大值42
【解析】试题分析：（1）根据题意得到当销售价格为5元/千克时，每日可售出商品11千克，
x=5时，y=11，代入方程即可。

（2）根据题意得到利润的表达式，研究这个函数的单调性求得最值即可。

解析：
（1）依题意，，解得a=2。

（2）
求导可得：
比较
可得 .
19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
⑵若P是椭圆上一点且在x轴上方，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，求p点坐标。

【答案】（1）（2）
.....................
解析：
（1）由题意焦点坐标为
设则，解得
所以；
（2）若为直角顶点，则
若为直角顶点，则
若为直角顶点，则∵，PF1+PF2=4，∴PF1·PF2=2，
=，
故
点睛：这个题目考查了椭圆方程的求法，以及点在椭圆上的应用，焦三角形的面积的表示方式。

求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意
的应用。

和焦三角形相关可以想到面积公式，定义应用，周长为定值，等。

20. 已知函数在处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意的均有求实数k的取值范围；
（3）设为两个正数，求证：
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，得到进而求出解析式；（2）研究函数的单调性，使得函数的最小值大于0即可；（3）当时，和两种情况；构造函数证得
，将式子化简即可。

解析：
（1）由得，
由题意：，解得，所以．
（2）令，
则，令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以的最小值为，
由题意知，解得，故实数的取值范围是．
（3）当时，结论显然成立，否则不妨设，
设则
当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数.从而当时，∵，∴，即
得，
化简得，
故．
点睛：点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。

对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

21. 设数列满足.
（1）求；
（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明
【答案】（1），，（2）
【解析】试题分析：（1）由已知等式：令n=1，再将代入即可求得的值；再令n=2并将的值就可求得的值；最后再令n=2并将的值就可求得的值；（2）由已知及（1）的结果，可猜想出的一个通项公式；用数学归纳法证明时应注意格式：①验证时猜想正确；②作归纳假设：假设当时，猜想成立，在此基础上来证明时猜想也成立，注意在此证明过程中要充分利用已知条件找出之间的关系，并一定要用到假设当时的结论；最后一定要下结论．
试题解析：（1）由条件，依次得，
，， 6分
（2）由（1），猜想. 7分
下用数学归纳法证明之：
①当时，，猜想成立； 8分
②假设当时，猜想成立，即有， 9分
则当时，有，
即当时猜想也成立， 13分
综合①②知，数列通项公式为. 14分
考点：１．数列的概念；２．归纳猜想；３．数学归纳法．
22. 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且．
（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2）若λ＝，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．
【答案】（1）（2）
【解析】试题解析：
解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
因为，所以E(0，3，5λ)．
从而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)． 2分
当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，
所以＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得＜λ＜．
即实数λ的取值范围是(，)． 5分
（2）当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
由得
取x＝1，得y＝，z＝1，
所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，，1)． 7分
易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．
因为cos< n1，n2>＝，
从而|cosθ|＝． 10分
考点：利用空间向量求夹角，利用空间向量求二面角。