江西省宜春市樟树中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

樟树中学2025届高三年级上学期第一次月考
数学试卷
考试范围：第一至第四章 考试时间：2024.10
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）A
．
B ．
C ．
D ．
3．已知命题“”是假命题，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列三个关于函数的命题：①只需将函数
的图象向右平移
个单位即可得到的图象；②函数的图象关于对称；③函数在上单调递增．其中，真命题的序号是（ ）A ．①
B ．②
C ．③
D ．以上皆不对
5．已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）
A ．
B ．
{}
2
,560A x y B x x x ⎧==
=--≥⎨⎩A B = (][),13,-∞-+∞ (](),13,-∞-+∞ [)1,3-(]
3,6()sin (0)f x x ωω=>π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ππ,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
ω=3
4
14
32
12
{}
32,12x x x mx ∀∈-≤≤->m 4
m >-4
m ≥-6
m >-6
m ≥-()πsin 2sin23f x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
()g x x =
π
6
()f x ()f x 5π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x ππ,63⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
()()sin cos 2023,f x x x x g x =++()f x ()y g x =
C ．
D ．
6．在中，角的对边分别为，已知周长为3
，则的最小值为（ ）A ．
B ．
C ．3
D ．
7．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A ．3
B ．4
C.5
D ．6
8．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实
数的取值可以是（ ）A ．B ．3
C ．
D ．二、多选题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9．下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知定义在R 上的函数满足，当时，，则（ ）A ．B ．为奇函数
C ．在R 上单调递减
D ．当时，11．设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若函数是偶函数，则的最小值是______．
13．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．
ABC △,,A B C ,,a b c ABC △41
a b c
++32
94
103
1x ()e 2x
f x x =+-2x ()4e 2x
g x x -=-+12x x +()()2ln 1,143,1
x x f x x x x ⎧+>-⎪=⎨--
-≤-⎪⎩()()2
2312y f x af x a =++-a 3
-2
e -2
e 2230x x --≤31
x -<<13
x -<<13
x -<≤13
x -≤≤()f x ()()()f x y f x f y +=+0x >()()0,24f x f >=()510
f =()f x ()f x 1x <-()()
22f x f x ->1,0a b >>ln 2a b =-a b
=e
b a -=2024a b
=e
ab ≤()()()2cos 2(0)f x x x θθθ=
+++>θ()f x [],a b (),a b ()0,x a b ∈()()()()0f b f a f x b a '-=-0x ()y f x =[],a b
试求函数在区间上的“中值点”______．
14．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：（本题共5小题，共77分）
15．（本小题满分13分）已知非空集合．（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围．16．（本小题满分15分）已知函数，对，有
（1）求的值及的单调递增区间；（2）若，求；（3）将函数图象上的所有点，向右平移
个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象．若，求实数的取值范围．
17．（本小题满分
15分）已知的周长为20，角所对的边分别为（1）若，求的面积；（2）若
，求的值．
18．（本小题满分17分）已知函数，在时最大值为2，最小值
为1．设．（1）求实数的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．()e x
g x =[]0,1,x y 2x y +=22
12x y a x y ≤+++a {}{}
121,25P x a x a Q x x =+≤≤+=-≤≤3a =()
R P Q ðx P ∈x ∈Q a ()ππsin2cos cos2cos 022f x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛
⎫=-+<<
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭x ∀∈R ()π3f x f ⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
ϕ()f x ()00π1
0,,43x f x ⎡⎤
∈=⎢⎥⎣⎦0sin2x ()y f x =π
24
()y g x =[]()2
0,πsin223x x x m m ∃∈+≤-m ABC △,,A B C ,,a b c π
,74
C c =
=ABC △ABC △7a =tan A ()2
2(0,0)g x mx mx n m n =-+>>[]1,2x ∈()()
g x f x x
=
,m n []1,1x ∈-()
2410x x g k -⋅+<k x ()332log 310log a
f
x a x
+
--=a
19．（本小题满分17分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）记（1）中切线方程为，比较的大小关系，并说明理由；（3）若时，，求的取值范围．
()1
e
e x
f x x x +=-()y f x =()()
1,1f --()y F x =()(),f x F x 0x >()()ln 2e 1f x x a x -≥---a
樟树中学2025届高三年级上学期第一次月考 数学
参考答案：
题号123456891011答案
B
C
D
C
D
C
C
BC
ABD
ACD
三、填空题12．
13． 14．四、解答题15．解：（1）已知集合．
当时，，又；
（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，所以，所以；
当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：．
16．解：（1），因为对，有，可得当时，取得最值，所以，可得，又，所以，
所以，由，可得，所以的单调递增区间为．
（2）由，可得，，所以，π3()ln e 1-4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦{}{}121,25P x a x a Q x x =+≤≤+=-≤≤3a ={}
{}47,47R P x x P x x =≤≤=<>或ð{}(){}
R 25,24Q x x P Q x x =-≤≤∴=-≤< ðx P ∈x ∈Q P Q {}25,Q x x P =-≤≤≠∅0
12215a a a ≥⎧⎪
+≥-⎨⎪+≤⎩
02a ≤≤0a ={}1P =Q 2a ={
}
35P x x =≤≤Q {}
02a a ≤≤()()sin2cos cos2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=+=+x ∀∈R ()π3f x f ⎛⎫≤
⎪⎝⎭
π3x =
()f x ππ2π,32k k ϕ⨯+=+∈Z π
π,6k k ϕ=-+∈Z π02ϕ<<π
6
ϕ=-()πsin 26f x x ⎛
⎫=-
⎪
⎝
⎭
πππ2π22π,262k x k k -+≤-≤+∈Z πππ,63k x k k π-+≤≤+∈Z ()f x ()πππ,π63k k k ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦Z ()()00π1
π0,,,sin 2436x f x f x x ⎡⎤
⎛
⎫
∈==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭0π
ππ2,663x ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦0π1sin 263x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭0πcos 26x ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
所以．（3）将函数图象上的所有点，向右平移
个单位后得到函数的图象，进而可得，
令，只需，
令，因为，所以，
所以，因为，可得，
所以，因为，所以当时，，所以
，
即，解得或．所以m 的取值范围为或．17．解：（1）在中，由余弦定理，可得
，由，则
，得，由的周长为20，即，则，所以
，即
，
所以，
故的面积为，．（2）根据题意，如图所示，圆为
，切点分别为，则
，
0000ππππ
ππ
sin2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫
⎛
⎫
=-+=-+-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =π
24
πππsin 2sin 22464y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦()πsin 4g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭()[]πsin2sin cos 2sin cos ,0,π4h x x x x x x x x ⎛
⎫=
-+=-+∈ ⎪⎝
⎭2min ()23h x m m ≤-πsin cos 4t x x x ⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭[]0,πx ∈ππ3π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦t ⎡∈-⎣2
2
(sin cos )12sin cos t x x x x =-=-22sin cos 1x x t =-2
2
15
124
y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭t ⎡∈-⎣1t =-min ()1h x =-2231m m -≥-(21)(1)0m m --≥12m ≤
1m ≥1
2
m ≤1m ≥ABC △222cos 2a b c C ab +-=,74C c π
==22492a b ab
+-=
22
49a b +=+ABC △20a b c ++=13a b +=222169a b ab ++=492169ab ++=)
2120ab +=120ab ====-(11sin 1203022S ab C =
=-=O ABC △D E F 、、OD OE OF ===
,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥
由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点，则，且，由中，即，
所以，又，即，所以，则，则，
在中
，即
18．解：（1）由可知关于对称，又，所以函数在上单调递增，可得，即，解得．
（2）由（1）可知，则不等式，可化为，
所以，令
，又，可得
，即，显然函数为对称轴，所以在上单调递增，由题意得，即（3），所以，即为，可化为：，令，即，
O ,,BE BD CE CF AD AF ===1
2
OAD BAC ∠=∠ABC △7a =7BC =7BE CE BD CF +=+=20a b c ++=20BC AB AC ++=20BE CE BD CF AD AF +++++=77220AD ++=3AD =Rt OAD △tan OD OAD AD ∠==22tan tan tan 21tan OAD BAC OAD OAD ∠∠=∠===-∠tan A =
()2
2(0,0)g x mx mx n m n =-+>>()g x 1x =0m >()g x []1,2()()11
22
g g ⎧=⎪⎨
=⎪⎩12n m n -=⎧⎨=⎩1,2m n ==()2
22g x x x =-+()
2410x x g k -⋅+<()
2
2222410x
x x k -⨯+-⨯+<()
2
(4)2
223x
x x k -⋅+>1
2x
t =[]1,1x ∈-11,222x t t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
2321k t t >-+2
1321,3y t t t =-+=1,22t ⎡⎤∈
⎢⎥⎣⎦()2min 1321,,22k t t t ⎡⎤
>-+∈⎢⎥⎣⎦
3
4
k >
()()2
2g x f x x x x
=
=+-()332log 310log a f x a x +
--=33322log 2310log log a x a x x
+
-+--=()2
33log 31log 220x a x a -+++=()()
3log 0,x λλ=∈+∞()23112201a a -+++=
所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有两个不相等的正实数根，
满足，，解得，
所以实数的取值范围为．19．解：（1）依题意，，而，故，
故所求切线方程为，即．
（2）由（1）知，结论；，下面给出证明：令，则，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，即．（3）依题意得，则在上恒成立，
令，则，令，得，故当时，，当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，当时，，此时；
当时，令，显然在区间上单调递增，又，故存在，使得，则，而，不合题意，舍去．综上所述，的取值范围为．
x ()332log 310log a
f
x a x
+
--=()2
1311220a a -+++=12,λλ()()2
1212Δ9(1)4220310220
a a a a λλλλ⎧=+-+>⎪
+=+>⎨⎪⋅=+>⎩119
11a a a a ⎧
<->-
⎪⎪>-⎨⎪>-⎪
⎩
或19a >-a 1,9⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
()1e 1f -=-()()1
1e e x f x x ++'=-()1e f '-=-()e 1e 1y x -+=-+e 1y x =--()e 1F x x =--()()f x F x ≥()()()1
e
1x m x f x F x x +=-=+()()11e x m x x +=+'1x <-()()0,m x m x '<(),1-∞-1x >-()()0,m x m x '>()1,-+∞()()10m x m ≥-=()()f x F x ≥1e ln 2x x x x ax +---≥()ln 1
e
ln 11x x x x ax ++-++-≥()0,+∞()e 1x
g x x =--()e 1x
g x '=-()0g x '=0x =(),0x ∈-∞()0g x '<()0,x ∈+∞()0g x '>()g x (),0-∞()0,+∞()()00g x g ≥=0a ≤1
0,e
ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥0a >()ln 1h x x x =++()h x ()0,+∞()221110,120e e h h ⎛⎫=-<=>
⎪⎝⎭02
1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()00h x =01
000e ln 20x x x x +---=00ax >a (],0-∞。