高中物理选修3-1学案：3.6带电粒子在匀强磁场中的运动

6带电粒子在匀强磁场中的运动
［学习目标］i.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析方法,会推导匀速圆周运动的半径公式和周期公式.2.知道质谱仪、盘旋加速器的构造和工作原理.
自主预习
一、洛伦兹力的特点
由于洛伦兹力的方向总是与速度方向垂直』洛伦兹力对粒子不做功.
二、带电粒子在匀强磁场中运动
1 .假设v//B,洛伦兹力F = Q,带电粒子以速度v做匀速直线运动.
2 .假设v,B,带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动.
2
(1)向心力由洛伦兹力提供,即qBv= m-.
mv
(2)轨道半径：r =—
(3)周期：T = 2qBm,T与速度v无关.
1 .用途：测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具.
2 .运动过程：...................................................... 1 -
(1)带电粒子经过电压U的加速电场加速,qU = 2mv2①.
(2)垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中,做匀速圆周运动, r = ~'②
qB
由①②得「=等.
3 .分析：如图1所示,根据带电粒子在磁场中做圆周运动的半径九4二就可以判断带电粒子比荷的大小,如果测出半径且电荷量,就可求出带电粒子的质量.—
四、盘旋加速器
1 .构造图(如图2所示)
2 .工作原理
(1)电场的特点及作用
特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的电场.
作用：带电粒子经过该区域时被加运
(2)磁场的特点及作用
特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中.
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动, 从而改变运动方向,半个周期后再次进
入电场.
［即学即用］
1 .判断以下说法的正误.
(1)在同一匀强磁场中做匀速圆周运动的同一带电粒子的轨道半径跟粒子的运动速率成正比.(V)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比. (X )
(3)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度增大而减小. (X )
(4)因不同原子的质量不同,所以同位素在质谱仪中的半径不同. (,)
(5)利用盘旋加速器加速带电粒子, 要提升加速粒子的最终能量, 和
D形盒的半径R.(V)
2 .质子和施子由静止出发经过同一加速电场加速后, 沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场,
应尽可能增大磁感应强度B
接交流电源
图2
那么它们在磁场中的速度大小之比;半径之比为；周期之比为
［导学探究］如图3所示,可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转.
(1)不加磁场时,电子束的运动轨迹如何？加上磁场时,电子束的运动轨迹如何？
(2)如果保持出射电子的速度不变,增大磁感应强度,轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感 应强度不变,增大出射电子的速度,圆半径如何变化？ ［答案］(1) 一条直线 圆 (2)减小增大 ［知识深化］
1 .分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动,要紧抓洛伦兹力提供向心力,即 qvB = m2.
2,同一粒子在同一磁场中,由 r=mv 知,r 与v 成正比；但由T= 注知,T 与速度无关,
qB qB
与半径大小无关.
【仞1］如图4所示,MN 为铝质薄平板,铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场 (未
画出).一带电粒子从紧贴铝板上外表的
P 点垂直于铝板向上射出,从 Q 点穿越铝板后到达
PQ 的中点..粒子穿越铝板时,其动能损失一半,速度方向和电荷量不变. 不计重力.铝 板上方和下方的磁感应强度大小之比为
( )
A. 1 ： 2
B. 2 ： 1
C.V 2 : 2
D.V 2 : 1
［答案］C
一 ................................................ . . ... 1 C
［解析］设带电粒子在 P 点时初速度为V 1,从Q 点穿过铝板后速度为 V 2,那么E k1=2mv 12,
E k2 = ：mv 22；由题意可知 E k1 = 2E k2,即引mv 12=mv 22,那么以=乎.由洛伦兹力提供向心力, 2 2
V 2
1
二、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的问题分析 1 .圆心确实定方法：两线定一点 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上.
如图5甲所示,入射点 P 和出射点M 的速度方向,可通过入射点和出射点作速度的垂 线,两条直线的交点就是圆心.
一 2
mv 2
mv 即qvB= 不,得8 =媪,由题意可知 □ _2 Bj_v2£2__2 「2-1,所以 B 2—V 2「— 2 .
图4
图5
(2)圆心一定在弦的中垂线上.
如图乙所示,作P、M连线的中垂线,与其中一个速度的垂线的交点为圆心.
2 .半径确实定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形. 做题时一定要做好辅助线,由圆的半径和其他
几何边构成直角三角形.由直角三角形的边角关系或勾股定理求解.
3 .粒子在磁场中运动时间确实定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为“时,其运动时
(2)当v一定时,粒子在磁场中运动的时间t = 1, l为带电粒子通过的弧长.
［仞21如图6所示,一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速
度v射入宽度为d的匀强磁场中, 穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为0= 60°, 求电子的质量和穿越磁场的时间.
图
2,%Be 2 .晶
［曰于］3v 9v
［解析］过M、N作入射方向和出射方向的垂线,两垂线交于.点,O点即电子在磁场中做
匀速圆周运动的圆心,过N做OM的垂线,垂足为P,如下图.由直角三角形OPN知, 电子运动的半径为r=Sn60-亍乎d①
2
由牛顿第二定律知 evB = m;②
联立①②式解得m=
殁d B
e
3V
电子在磁场中运动的周期为
T /H3嗅皿 1 eB 3v 3v
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为 a= 0= 60
故电子在磁场中的运动时间为 1L X 4® ；2 ' 6 6 3v — 9v
-总结提升- --------------------------------- ,
处理带电粒子在磁场中的运动问题时通常要按以下三步进行: (1)画轨迹：即确定圆心,画出轨迹并通过几何方法求半径；
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角度与圆心角、运动时间相联 系,运动的时间与周期相联系；
(3)用规律：运用牛顿第二定律和圆周运动的规律,特别是周期公式、半径公式.
针对练习 如图7所示,一个带负电的粒子(不计重力)以速度v 由坐标原点射入磁感应强度 为B 的匀强磁场中,速度方向与
x 轴、y 轴均成45°.该粒子电量为一 q,质量为m,那么
该粒子通过x 轴和y 轴的坐标分别是多少?
M K X XXX
K
夕* K X
4
X X
［答案］需0 0,一驾
［解析］由题意知粒子带负电,根据左手定那么可判断出带电粒子将沿顺时针方向转动,轨迹
2
如下图,由洛伦兹力提供向心力得： Bqv=mvR
三、质谱仪
［导学探究］如图8所示为质谱仪原理示意图.设粒子质量为 m 、电荷量为q,加速电场电 压为U,偏转磁场的磁感应强度为 B,粒子沉着器 A 下方的小孔S i 飘入加速电场,其初速 度几乎为0.那么粒子进入磁场时的速度是多大？打在底片上的位置到
S 3的距离多大？
U \ 51 m "KTSJ I i Si [I 口 I 口
;
［答案］
［解析］质谱仪工作原
理：带电粒子经加速电场
U 加速,然后经过 S 3沿着与磁场垂直的方
向进入匀强磁场 B,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,最后打到照相底片 D 上.由动能
-I ............................................. mv 解得运动轨迹的半径为：R=的
因射入时与x 轴的方向成45角,由几何关系可知,带电粒子通过 x 轴时,转过了 90角,
此时的横坐标为：x= ^R 2+ R 2 = ~~Bmv q D
同理可知,粒子经过 y 轴时,转过了 270角.此时的纵坐标为:
.2mv qB
X
2qU
m
定理知qU = 1mv2,粒子进入磁场时的速度大小为丫;、/2^,在磁场中运动的轨道半径为
r = £^mU,所以打在底片上的位置到S3的距离为KpmU.
B q q B q q
r例371现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图9所示,其中加速
电压恒定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速, 经匀强磁场偏转后从出口离开磁场. 假设
某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速, 为使它经匀强磁场偏转后仍从同
一出口离开磁场,需将磁感应强度增加到原来的12倍.此离子和质子的质量比约为〔
〕
tl；：：
I—F- * ■•
7 ：酸场
制速池场・〉■,
« ■
・••
出口7
图9
A. 11
B. 12
C. 121
D. 144
［答案］D
［解析］设质子的质量和电荷量分别为m i、q i, 一价正离子的质量和电荷量分别为m2、q2.对于任意粒子,在加速电场中,由动能定理得
由①②式联立得m= BU5,由题意知,两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r相同,加
m2 B22
速电压U不变,其中B2=12B i, q i = q2,可得=D 2=144,应选项D正确. m i B1
四、盘旋加速器
［导学探究］盘旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？对交流电源的周期有什么要求？
带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？
［答案］磁场的作用是使带电粒子盘旋,电场的作用是使带电粒子加速.交流电源的周期应
等于带电粒子在磁场中运动的周期.当带电粒子速度最大时,其运动半径也最大,即r m =
mm,可彳导:E kmr qBr/,所以要提升带电粒子获得的最大动能,应尽可能增大磁感应强
Bq 2m
度B和D形盒的半径r m.
［知识深化］
2 B2R2
1 .带电粒子通过盘旋加速器最终获得的动能E km=q2m-,由磁感应强度和D形盒的半径
决定,与加速的次数以及加速电压 U 的大小无关.
2.两D 形盒窄缝所加的交流电源的周期与粒子做圆周运动的周期相同,粒子经过窄缝处均 被加速,一个周期内加速两次.
［例4］盘旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器,其核心局部是两 个D 形金属盒,两盒分别和一高频交流电源两极相接,以便在盒内的窄缝中形成匀强电场, 使粒子每次穿过狭缝时都得到加速,两盒放在磁感应强度为
B 的匀强磁场中,磁场方向垂
直于盒底面,粒子源置于盒的圆心附近,假设粒子源射出的粒子电荷量为 q,质量为m,粒子
最大盘旋半径为R max .求： (1)粒子在盒内做何种运动； (2)所加交变电流频率及粒子角速度； (3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能.
qB qB qBR max q 2B 2R max
［答案］(1)匀速圆周运动(2)既 予⑶七「 七I ［解析］(1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动,每次加速之后半径变大.
2 7m
(2)粒子在电场中运动时间极短, 因此高频交变电流频率要符合粒子盘旋频率,
由于T =—,
qB
1 qB
qB
盘旋频率f= T = 2^m,角速度3=2 4=常. 一 2 mV max
⑶由牛顿第二定律知-Rmaj=qBv max
qBR
max
贝U V max= -------------
m 白上“匕 1 :
取大动目匕 E kmax= 2mV max
达标检测
1 .(带电粒子的运动分析)如图10所示,水平导线中有电流 I 通过,导线正下方的电子初速 度的方向与电流I 的方向相同,那么电子将(
)
2 q 2 B 2 R max 2
― 2m
嗑洌评价达标过W
图10
A.沿路径a运动,轨迹是圆
［答案］B ［解析］水平导线在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外,由左手定那么可判断电子运动轨
迹向下弯曲,又由r = mv 知,B 减小,r 越来越大,故电子的径迹是
a.应选B.
q B
2 .〔带电粒子的匀速圆周运动〕〔多项选择〕如图11所示,一单边有界磁场的边界上有一粒子源, 以与水平方向成 .角的不同速率,向磁场中射入两个相同的粒子 1和 后从边界上A 点出磁场,粒子 2经磁场偏转后从边界上 B 点出磁场, 那么〔 〕
11
［答案］AC
［解析］粒子进入磁场后速度的垂线与
OA 的垂直平分线的交点为粒子
的圆心；同理,粒子进入磁场后速度的垂线与 OB 的垂直平分线的交点为粒子 2在磁场中的 轨迹圆的圆心；由几何关系可知,两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 门：「2 = 1 ：
2,
由「=m1可知,粒子1与粒子2的速度之比为1 ： 2,故A 正确,B 错误；由于粒子在磁场 q D 中做圆周运动的周期均为 T = 27m,且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同, q B
0 .. ...... ....... ―一―
一 ,…
根据公式t=「,两个粒子在磁场中运动的时间相等,故 C 正确,D 错误.
2 兀' '
'
B.沿路径 a 运动, 轨迹半径越来越大
C.沿路径
a 运动, 轨迹半径越来越小 D.沿路径
b 运动, 轨迹半径越来越小
2,粒子1经磁场偏转
OA = AB,不计重力,
A.粒子
1与粒子 2的速度之比为 1 : 2
B.粒子 1与粒子 2的速度之比为1 ： 4
C.粒子 1与粒子 2在磁场中运动的时间之比为
D.粒子 1与粒子 2在磁场中运动的时间之比为
1在磁场中的轨迹圆
3 .〔质谱仪〕质谱仪是测带电粒子质量和分析同位素的一种仪器, 它的工作原理是带电粒子〔不计重力〕经同一电场加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动,然后利用相关规律计算出带
电粒子的质量.其工作原理如图12所示,虚线为某粒子的运动轨迹,由图可知〔〕
A.此粒子带负电
B.下极板S2比上极板S i电势高
C.假设只增大加速电压U,那么半径r变大
D.假设只增大入射粒子的质量,那么半径r变小
［答案］C ［解析］根据动能定理得,qU = 1mv2,由qvB=mp导,r =
知,该粒子带正电,故A错误；粒子经过电场要加速,因粒子带正
电,所以下极板
S2比上极板S i电势低,故B错误；假设只增大加速电压U,由上式可知,那么半径r变大,故C正确;
假设只增大入射粒子的质量,由上式可知,那么半径也变大,故D错误.
4.〔盘旋加速器〕〔多项选择〕一个用于加速质子的盘旋加速器,其核心局部如图13所示,D形盒
半径为R,垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B,两盒分别与交流电源相连. 设质
子的质量为m、电荷量为q,那么以下说法正确的选项是〔〕
图13
图12
器.由题图结合左手定那么可
...................................... 2 7m
A. D 形盒之间交变电场的周期为 — qB
B.质子被加速后的最大速度随
B 、R 的增大而增大
C.质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大
D.质子离开加速器时的最大动能与 R 成正比
［答案］AB
［解析］D 形盒之间交变电场的周期等于质子在磁场中运动的周期,
1 2 q 2B 2R 2
E km = 2mv m 2= 2m ,故 D 错庆.
当r=R 时,质子有最大速度 V m=qmR,
B 、R 越大,Vm 越大,Vm 与加速电压无关,B 正
mV/口
A 项正确；由r = F 得: qB
确,C 错误；质子离开加速器时的最大动能。