云南省昆明市石林彝族自治县石林中学2022年高二数学理模拟试题含解析

云南省昆明市石林彝族自治县石林中学2022年高二数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且∶=∶，则的面积为
A．B． C．
D．
参考答案：
B
略
2. 某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
3. 已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a1=4，则{a n}的前10项和等于( )
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）
参考答案：
C
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项公式是即可得出．
【解答】解：∵3a n+1+a n=0，a1=4，
∴，∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为﹣．
则{a n}的前10项和==3（1﹣3﹣10）．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 观察下列各式，则的末尾两位数是
（）
A．01 B．43 C．49 D．07
参考答案：
C
5. 下列命题错误的是（）
A．对于命题，使得，则为：，均有
B．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
C．若为假命题，则均为假命题
D．“”是“”的充分不必要条件
参考答案：
C
略
6. 函数的定义域是( )
A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞)D．(－1,0)参考答案：
A
略
7. 若非空集合M?N，则“a∈M且a∈N”是“a∈（M∩N）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】充要条件．
【分析】据两个集合的包含关系画出韦恩图，判断出前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：∵集合M?N，
∴两个集合的韦恩图为
∴
“a∈M且a∈N”?“a∈（M∩N）”
反之“a∈（M∩N）”?“a∈M且a∈N”
∴“a∈M且a∈N”是“a∈（M∩N）”的充要条件．
故选C
【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先化简各个命题，再利用充要条件的定义加以判断．
8. 定义A﹣B={x|x∈A且x?B}．已知A={1，2}，B={1，3，4}，则A﹣B=（）
A．{1} B．{2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
参考答案：
B
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】根据新定义求出A﹣B即可．
【解答】解：∵A﹣B={x|x∈A且x?B}，
且A={1，2}，B={1，3，4}，
∴A﹣B={2}，
故选：B．
9. 设，则这四个数的大小关系是( )参考答案：
D
10. 抛物线y2=64x的准线方程为（）
A．x=8 B．x=﹣8 C．x=﹣16 D．x=16
参考答案：
C
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线方程直接求解抛物线的准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2=64x的对称轴是x轴，开口向右，所以抛物线的准线方程为：x=﹣16．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。

在这２０名工人中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满足的不等关系．
参考答案：
16×5×（20－x）+24×4x≥1800
12. 函数是上的单调函数，则
的取值范围为
.
参考答案：
13. 已知为第三象限角,,则_____________.（原创题）
参考答案：
14. 若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；
参考答案：
15. 已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x+y
的最大值为 ．
参考答案：
8
16.
函数
的图象恒过定点， 在幂函数的图象上，则
__________．
参考答案：
17. 设球的表面积为，则该球的体积为 ． 参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）设函数f （x ）=lnx ，g （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2f （x ）． （1）当a=1时，求函数g （x ）的单调区间；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y=f （x ）图象上任意不同两点，线段AB 中点为C （x 0，y 0），直线AB 的斜率为k ．证明：k ＞f′（x 0）
（3）设F （x ）=|f （x ）|+（b ＞0），对任意x 1，x 2∈（0，2]，x 1≠x 2，都有
＜﹣1，
求实数b 的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．
【分析】（1）将a=1代入求出g （x ）的表达式，再求出g （x ）的导数，从而求出g （x ）的单调区间；
（2）将x 0=
代入f′（x 0）=
=
，问题转化为证：k （t ）lnt+
﹣2的单调性，（t ＞
1），从而证出结论；
（3）设G （x ）=F （x ）+x ，则G （x ）在（0，2]单调递减，通过讨论x 的范围，结合导数的应用，从而求出b 的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，
g （x ）=（x ﹣1）﹣2f （x ）=（x ﹣1）﹣2lnx=x ﹣1﹣2lnx ， 定义域为（0，+∞）；
g′（x ）=1﹣=
；
当x ∈（0，2）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减； 当x ∈（2，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增；
即g （x ）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．
（2）证明：k=
=
，又x 0=
，
所以f′（x 0）=
=
；
即证，
＞
，
不妨设0＜x 1＜x 2，x1，x2分别属于（0，1）和（1，2），
即证：lnx 2﹣lnx 1＞；
即证：ln
＞；
设t=
＞1，即证：lnt ＞=2﹣；
即证：lnt+
﹣2＞0，其中t ∈（1，+∞）；
事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），
则k′（t）=﹣=＞0；
所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以k（t）＞k（1）=0；
即结论成立．
（3）由题意得+1＜0，
即＜0；
设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x∈[1，2]时，G（x）=lnx++x，
G′（x）=﹣+1≤0；
b≥+（x+1）2=x2+3x++3在[1，2]上恒成立，
设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3﹣；
当x∈[1，2]，G1′（x）＞0；
∴G1（x）在[1，2]上单调递增，G1（x）≤；
故b≥．
②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx++x；
G1（x）=x2+3x++3，
G′（x）=﹣﹣+1≤0，
b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，
即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，
综上所述：b≥．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．
19. 设椭圆E： =1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M（2，），N（，1）列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，
∵，解得：，
∴，
椭圆E的方程为…
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，
设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣
8=0，
则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，…．
，
要使，需使x1x2+y1y2=0，即，
所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，
又8k2﹣m2+4＞0，
∴，
∴，即或，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为，，，
所求的圆为，
此时圆的切线y=kx+m都满足或，…
而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..∵，
∴，=，…
①当k≠0时
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当时取”=”…
②当k=0时，…．
③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…
综上，|AB|的取值范围为，
即：…
20. (本小题满分12分)设
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为求m的值.
参考答案：
（1）…………………2分
…………………2分
此时不等式的解集为：…………………2分
（2）由得：
因为不等式的解集为所以和3是对应的二次方程的两根且…………………2分
……………………2分
解之得：…………………2分
21. （12分）已知在处取得极值，
且在点处的切线斜率为.
⑴求的单调增区间；
⑵若关于的方程在区间上恰有两个不相等
的实数根，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）
由题意，得
,由得
的单调增区间是
（2）由（1）知
令
则,由得
当变化时，的变化情况如下表：
0+
当时，
关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根的充要条件
是,
22. （13分）已知集合， ,且,求实数的值。

参考答案：
M={-3，-2}
1）a=0时，N=
2）a=时,N={-3}
3）a=时，N={2}
综上所述，a=0或a=或a=略。