冀教版九年级数学上册知识点

23章 数据分析
23.1平均数和加权平均数
1、一般地，我们把n 个数n x x x ,...,
,21的和与n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，简称
平均数，记作-
x ，读作“x 拔”，即)....(1
1n x x n
x ++=-
2、已知n 个数n x x x ,...,
,21，若n w w w ,...,,21为一组正数，则把
n
n
n w w w w x w x w x ......212211+++++叫做n 个数n x x x ,...,
,21的加权平均数，n w w w ,...,,21分
别叫做这n 个数的权重，简称权。

23.2中位数和众数
1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。

一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。

23.3方差 设n
个数据n x x x ,...,,21的平均数为
-
x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是
22
22
1)(,...,)(,)(-
-----x x x x x x n 。

偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s 表示，即
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=---2
22212)(...)()(1x x x x x x n s n
当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。

因此，方差的大小
反映了数据波动（或离散程度）的大小。

23.4用样本估计总体
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。

但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。

因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。

同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。

24章 一元二次方程 24.1一元二次方程
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。

一元
二次方程的一般形式为).0(02
≠=++a c bx ax 其中，2
ax
是二次项，
a 是二次
项系数，
bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。

一元二次方程的解也叫做这个方
程的根。

24.2解一元二次方程
1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。

配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2、对于一元二次方程02=++c bx ax ： 当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根； 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； 当042<-ac b 时，方程没有实数根。

我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式。

3、当042≥-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根可以用
a
ac b b x 242-±-=求出。

这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

利用求根公式解一元
二次方程的方法叫做公式法。

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。

24.3 一元二次方程根与系数关系
如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，那么a
c x x a b x x =•-=+2121,。

24.4一元二次方程的应用 25章 图形的相似 25.1比例线段
1、如果选用同一度量单位，量得线段a 和b 的长度分别为m 和n ，我们就把m 和n 的比叫做线段a 和b 的比，记作n m b a ::=，或
n
m
b a =。

2、在四条线段d
c b a ,,,中，如果a 与b 的比等于c 与
d 的比，即
d
c
b a =，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

3、比例的基本性质
如果
d
c
b a =，那么b
c a
d =。

如果bc ad =，那么d c
b a =（0,≠d b ）
特别地，如果c
b b a =，即a
c b =2
，就把b 叫做a,c 的比例中项。

如果k n m d c b a ====...，那么k n
d b m c a =++++++......
4、黄金分割
在线段AB 上有一点C ，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足AC
BC
AB AC =
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB 的黄金分割点，
AB
AC
称为黄金比。

黄金比618.02
1
5≈-=AB AC 每条线段上的黄金分割点都有两个。

25.2 平行线分线段成比例 （1) 基本事实
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与DE 、BC 与EF 、AC 与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。

DF
EF
AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB =
==,, （2）推论1
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

AC
CE
AB BD EC AE DB AD AC AE AB AD =
==,, （3） 推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

在△ABC 中，DE ∥BC ，BC
DE
AC AE AB AD =
= 25.3相似三角形
（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

25.4 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理
(1) 两角对应相等的两个三角形相似。

(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

(3) 三条边对应成比例的两个三角形相似。

(4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

25.5 相似三角形的性质 相似三角形的性质定理
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

l 3
l 2l 1
F E D C B A
A
B C D
E
E
D
C B
A
E
D
C
B
A
25.7 相似多边形和图形的位似
（1）形状相同的图形称为相似图形。

一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。

（3）位似图形的画法
①确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；
②选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线； ③根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。

26章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°
∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即
b
a
tan =∠∠=
的邻边的对边A A A
∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即
c
a
sin =∠=
斜边的对边A A
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即
c
b
cos =∠=
斜边的邻边A A
2、一些特殊角的三角函数值
3、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。

我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。

为方便起见，今后将()()()2
2
2
tan ,cos ,sin ααα分别记作ααα2
22tan ,cos ,sin 。

30° 45° 60° sinα
12 22 32 cosα
32 2
2
12 tanα 3
3
1 3
26.3解直角三角形
1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。

由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、在Rt △ABC 中，∠C=90° 三边之间的关系是222c b a =+； 两锐角之间的关系是ο90=∠+∠B A ； 边角之间的关系是
c a
sin =∠=
斜边的对边A A
c b
cos =
∠=
斜边的邻边A A b a
tan =
∠∠=
的邻边的对边A A A
在边角之间的关系中，将∠A 换成∠B ，同时将a,b 交换，即可得到∠B 与边之间的关系式。

根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。

26.4解直角三角形的应用
我们通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比l
h
叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

显然，l
h =αtan 27章 反比例函数 27.1 反比例函数
一般地，如果变量y 和变量x 之间的函数关系可以表示成)0(≠=
k k x
k
y 为常数，且的形式，那么称y 为x 的反比例函数，k 称为比例系数，自变量x 的取值范围是不等于0的实数。

27.2 反比例函数的图像和性质 反比例函数)0(≠=
k k x
k
y 为常数，且的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。

对于反比例函数x
k
y =
，当k>0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小；当k<0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大。

27.3反比例函数的应用
28章 圆
28.1圆的概念及性质
（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。

（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。

过圆心的弦叫做这个圆的直径。

（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。

（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。

能够完全重合的两条弧叫做等弧。

28.2过三点的圆
（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

28.3圆心角和圆周角
（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。

圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。

（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。

（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（5)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

（6）直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

（7）同弧所对的圆周角相等。

（8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

（9）圆内接四边形的对角互补。

28.4 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

28.5弧长和扇形面积的计算 （1）计算公式
设ο
n 圆心角所对弧的长为l ，所对扇形的面积为S ，则180r n l π=，3602r n S π=或lr S 2
1
=
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的顶点与底面圆心之
间的线段叫做圆锥的高。

（3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长。

反过来，扇形也可以围成一个圆锥。