(整理)10控制网平差计算.

§9.1 条件平差原理
在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1
ˆ⨯n L
作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。

9.1.1基础方程和它的解
设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。

当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0
ˆˆˆ221122112211οο
οr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；
0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数
以i
i i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程
（9-2）
式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即
（9-3） 令
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A
2
1
2121
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬
⎫
=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=⨯n n L L L L 211
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2
11
⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯b a r w w W 1
⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛
=⨯n v v V 211
⎪⎪⎪⎫
⎛=⨯οοb a A o r 1
1
⨯n L n
n P ⨯1
⨯n V 1
ˆ⨯n L 1
ˆ⨯n L
⎪
⎪⎪
⎫
⎛=⨯n n p p P 000021
则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为
0ˆ0
=+A L
A （9-4） 0=+W AV （9-5）
上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。

为此，
设 ，K 称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗
日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：
)(2W AV K PV V T T +-=Φ 将Φ对V 求一阶导数，并令其为零得：
A K P V T T =
K A PV T =
K A V V T 1-= （9-6）
上式称为改正数方程，其纯量形式为
)(1
r i b i a i i i k r k b k a p v +++= （i =1、2、…n ） （9-7）
代 K A P V T 1-=入0=+W AV 得
01=+-W K A AP T
0=+W NK （9-8）
上式称为联系数法方程，简称法方程。

式中N 法方程系数距阵，为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P rr P br P ar P br P bb P ab P ar P ab p aa N
（9-9） 因N A AP A P A A AP N T T T T T T T ====---111)()( 故，N 是r 阶的对称方阵。

法方程的纯量形式为
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎫=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡000r r b a b r b a a r
b a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p aa （9-10） r n T
n n n r r
r A P A N ⨯⨯-⨯⨯=1()r b a r
T
k k k K =⨯1A
K P V V T T 22-=∂Φ∂
从法方程解出联系数K 后，将K 值代入改正数方程，求出改正数V 值，再求平差值V L L
+=ˆ，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。

9.1.2 精度评定
当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。

1.单位权中误差
条件平差中单位权中误差
t
n PV
V T -±=0ˆσ
（9-11）
或 （9-12）
从中误差计算公式可知，为了计算0ˆσ，关键是计算PV V T ()Pvv 。

下面将讨论PV V T ()
Pvv 的计算方法。

（1）、由i V 直接计算
[]2222211n n v P v P v P Pvv +++= （9-13）
（2）、由联系数K 及常数项W 计算 因 0=+W AV
K A P V T 1-= 故()K A PP V K A P P V PV V T T T T T 11--==
K A V T T =
()K W K AV T T
-== （9-14） （3）、直接在高斯——杜力特表格中解算
将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有
r r b b a a T k W k W k W PV V ++++=- 0 令 0=w W
则 r r b b a a w T k W k W k W W PV V ++++=-
[][]()[]()()[]111111-⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅--⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
=-r W r p
rr r W W p bb W W p aa W W PV V r
r b
b a a
w T
[])()(0w w r W w ⨯+=⋅= （9-15）
（2）平差值函数的权倒数
设有平差值函数为()
n
L L L f ˆ,,ˆ,ˆ21 =ϕ （9-16）
它的权函数式为：
n
n L d L L d L L d L d ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(2211∂∂++∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ []
r
Pvv ±=0ˆσ
n
n L d f L d f L d f ˆˆˆ2211+++= （9-17）
令()n T f f f f ,,21= ()
T n
L d L d L d L d ˆ,ˆ,ˆˆ21 = 则
L
d f d T ˆ=ϕ （9-18）
（9-19）
这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与[]r W w ⋅计算规律完全相同。

§9.2 条件方程列立及线性化
9.2.1 水准网
水准网平差的主要目的，是确定网中未知点的最或然高程。

例如图(9-1)的水准网中，有四个已知水准点(图中以“⊗”表示的点)，两个未知点（图中以“○”表示的点），并有六个观测值。

从图中可以看出，要确定E 和F 点的高程，必须观测两个观测值，如1h 和6h ，或4h 个数。

图（9-1）中必须观测个数2=t ， 而条件方程个数426=-=-=t n r
如果水准网中无知点，这时只能假定某点的高程为已知并此为基准，去确定其次各点的相对高程。

例如图(9-2)的水准网中，其中没有已知水准点，这时，通过平差计算，只能确定各点的相对高程。

为此，可先假定某一点高程值为已知，例如设000.50=A H m 并以此为基准，去确定B 、C 、D 等点的相对高程。

这样，只要观测三个观测值就行了，所以，在没有已知点水准网中，必须观测个数等于网中全部未知点个数减去1。

图(4-2)水准网中，必须观测个数314=-=t , 而条件方程个数为336=-=r 。

例(9-1)如图（9-3)所示的水准网中，A 、B 为已知点，21,P P 及3P 为未知点，⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=r P ff ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⋅--⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
=1111111r P rf r P rr r P rf P bf P bb P bf P
af P aa P af P ff P ϕϕ
P 1
7654321,,,,,,h h h h h h h 为观测高程，试列条件方程。

解：=t 未知点个数=3 437=-=r 按照水准闭合环平差后高差之和应等于零的关系，列出3个闭合环条件方程，又按照平差后高差与已知高差高应相等的关系，列出1个附合条件方程，它们是
0ˆˆˆ5
21=+-h h h （1）
0ˆˆˆ7
65=-+h h h
0ˆˆˆ643=--h h h ˆˆ31-+-B
A H H h h 相应的改正数条件方程为
000
431364327651521=+-=+--=+-+=++-w v v w v v v w v v v w v v v 式中
图9-3
9.2.2测角网
如图（9-4）的测角网，其中A 、B 为已知点，或者是已知A 或B 点坐标及AB 边长和方位角，C 、D 为待定点，共观测了9个水平角i i i c b a ,,（=i 1，2，3），根据两个已知点来确定一个待定点，至少需要观测两个角，或者两条边，或者一个角和一条边，因此确定一个待定点的必要观测值为两个，若网中有N 个待定点，则必要观测个数为待定点（未知点）个数的两倍。

于是，图（9-4）中，必要观测个数4222=⨯==N t ，则多余观测个数549=-=-=t n r 。

故总共应列出5个条件方程。

另外，如果网中没有已知点，或者不具备四个起算数据，则一个点的坐标（y x ,）和一条边的方位角α可以是假定或是已知的，而一条边的边长s
是必须测定的，这就等价于已知有两个已知点的测角三角网，若设网中共有N 个三角点，则必要观测个数
42)2(2-=-=N N t 。

测角网的基本条件有三种类型，现以此例说明。

一类是三角形内角和条件，通称图形条件，由该图列出三个图形条件，即
180ˆˆˆ180ˆˆˆ180ˆˆˆ33
32
2
2
11
1-++-++-++︒︒︒c b a c b a
c b a A H h h w h h h w h h h w h h h w -+-=--=-+=+-=3246
43376525211
将 i i
i c i i b i i a i i v c c
v b b v a a
+=+=+=ˆˆˆ （=i 1，2，3） 代入上式得：
02222=+++w v v v c b a 图9-4 其中 ⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
-++=-++=-++= 180180180333322221111c b a w c b a w c b a w
一类是圆周角条件或称水平条件，由图（9-4）可列出一个圆周条件，即
0360ˆˆˆ321=-++︒c c c
或 04321=+++w v v v c c c
式中 ︒
-++=3603214c c c w
一类是极条件或称边长条件
即
这个条件方程是围绕中点D 推算边长的，故称为以D 点为极的极条件方程。

此方程为非线性形式，将其线性化是按台劳公式展开取至一次项，即可得线性形式的极条件方程， 经化简得：
321321321321b b b a a a v ctgb v ctgb v ctgb v ctga v ctga v ctga ---++
)
sin sin sin sin sin sin 1(3
213
21a a a b b b -
ρ''=0
在图 表9-1 0
11
11=+++w v v v c b a 0
3333=+++w v v v c b a 1
ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 332211=⋅⋅b a b a b a
试求： （１）1P 、2P 及3P 点高程之最或然值； （２）1P 、2P 点间平差后高差的中误差。

解:(1)列条件方程式,不符值以“mm ”为单位。

已知3,7==t n ，故437=-=r ，其条件方程式为
⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=--+=-+--=-+--=++-01030707742643765521v v v v v v v v v v v v
（2）列函数式：
555v h x F +==
故 15=f 0764321======f f f f f f
（3）组成法方程式。

1）令每公里观测高差的权为1，按1/i i s p =,将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于表9-2中。

2)由表9-2数字计算法方程系数,并组成法方程式:
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------5221251021411013⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d c b a k k k k +⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1377=0 表9-2 条件方程系数表
（4）法方程式的解算。

1）解算法方程式在表9-3中进行。

2）[]pvv 计算之检核。

[][]wk pvv -= []467.35=-wk
由表9-3中解得[]47.35-=pvv ，两者完全一致，证明表中解算无误。

（5）计算观测值改正数及平差值见表9-4。

（6）计算321,,P P P 点高程最或然值。

359.3611=+=x H H A P m 012.3722=+=x H H A P m 360.3543=+=x H H B P m
表9-3 高斯-杜力特表格
表9-4 改正数与平差值计算表
（7）精度评定。

1）单位权（每公里观测高差）中误差
2）21,P P 点间平差后高差中误差
§9.4 附合导线按条件平差算例
9.4.1附合导线的条件平差方程式
如图9-6所示，符合在已知),(A A y x A ，),(C C y x C 之间的单一符合导线有n 条AB α与CD α是已知方位角。

设观测角为β、β、… …、β，测角中误差为 ，观测边长为s 、s 、… …、s ，=t 1si v 1
=i
i BA CD 01
1
=+∑+=a i n i v ω （9-2）
式中a ω—方位角条件的不符值，按
180)1(ˆ1
1+-∑+-=+=n i
n i CD BA a βααω （9-3） 若导线的A 点与C 点重合，则形成一闭合导线，由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。

2、纵、横坐标条件 设以1ˆx ∆、2ˆx ∆、…、n x
ˆ∆表示图中各导线边的纵坐标增量之平差值；1ˆy ∆、2y ∆、…、n y
ˆ∆表示图中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平差值表mm 0.34
47
.35±=±=μmm
P m F F 2.252.00.31
±=±=±=μσ
示的纵、横坐标条件。

⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫∑+∆∑+=∆∑+=∑+∆∑+=∆∑+=∆∆yi n
i n A i n A C xi n
i n A i n
A C v y y y y y v x x x x x 1111
11ˆˆ （9-4） 令 ⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
--∆∑=--∆∑=)()(11
A C i n
y A C i n
x y y y x x x ωω （9-5） 则 ⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=+∑=+∑∆∆0011y yi n
x xi n
v v ωω （9-6） 以微分量代替改正数，则有
)()()(211n xi n
x d x d x d v ∆++∆+∆=∑∆
{}ρ
α1
23121
1
)()()(cos v y y y y y y v v n C
si i n
xi n -'++-+--∑=∑∆
将上式代入式9-6得纵坐标条件式，且同理已可得横坐标的条件式即
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
=+-'∑+∑=+-'∑-
∑====0)(1sin 0)(1
cos 1111y i i C
n
i si i n i x i i C
n
i si i n
i v x x v v y y v ωραωρα （9-7）
上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程x ω、y ω为条件式的不符值，按
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
-'=-∆∑+=-'=-∆∑+=C C
C i n A y C C
C i n
A x y y y y y x x x x x 11
ωω （9-8） 式中i x 、i y 是由观测值计算的各导线点的近似坐标。

计算时一般i v 以秒为单位，si v 、x ω、y ω以cm 为单位；若x 、y 以m 为单位，则65.2062100206265==''ρ，
从而使全式单位统一。

若单一导线的A 与C 点重合形成闭合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件，以增量平差值表示为
（9-9）
9.4.2符合导线的精度评定
1、单位权中误差：单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同，按 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆∑=∆∑0ˆ0ˆ11
i n i n
y x {}ρ
ρn n C n C v y y v y y y y y y )()()()(2
3423-'---'++-+--
（9-10）
2、平差值的权函数式：为了平定平差值函数的精度，必须要列出权函数式。

一般有下列三种函数式。

（1）边长平差值权函数式由导线边si i i v s s
+=ˆ 故其权函数式为 si Fsi v v = （9-11）
（2） 坐标方位角平差值权函数式
由图9-6得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为
180ˆ1n i n
BA i -∑+=βαα
n
i i F v v 1
∑=α （9-12）
（3） 坐标平差值的权函数式
由图9-6得j 点坐标平差值的权函数式为
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫-∑+∑=-∑-∑=-=-=-=-=i i
j j i si i j i Fyi
i i
j j i si i j i Fxi v y x v v v y y v v ραρα11111
11
1sin cos （9-13）
9.4.3附合导线按条件平差算例
在图9-7所示附合导线中，B A ,为已知点，其坐标为 表9-5 近似坐标计算
[][][]r
v v P v v P r pvv s s s +±=±=βββσ0ˆ
解：（1）确定观测值的权。

测角中误差 0.3''±=βm 边长中误差按仪器给定公式为
26222
)105()5.0()(i i c s s ppm s m m i ⨯⨯+±=+±=-（cm ）
式中i s 以cm 为单位。

由上式算得 96.01±=s m cm 82.02±=s m cm 79.03±=s m cm 92.04±=s m cm
以角度观测的权为单位权，即
0.3''±==βμm
表9-6 条件方程及权函数式系数表
76.9221
1==
s
m
s m m p β 38.132=s p
42.143=s p 63.104=s p 边长权倒数为 101.011=s p 074.012=s p
070.013=s p 091.
01
4
=s p （2）计算条件方程式不符值。

由表9-4-1得
0.54.1303494.080349''-='''-'''=-'=
AB AB a w αα
9.4155.8746204.8748+=-=-'=B B x x x w cm 9.2647.6667676.6667+=-=-'=B B y y y w cm
（3）计算条件方程式系数及权函数式系数列于表9-6中。

（4）组成法方程式并解算。

根据表9-6中系数组成法方程系数，然后填于表9-7中相应行内。

法方程式的解算在表9-7中进行。

表9-7 法方程式解算表
表9-8 观测值之平差值计算
（5）计算改正数和平差值。

由法方程解算表解得的联系数和观测边加相应改正数，即得角度和边长平差值。

计算见表9-8。

（6）计算3s 边的精度。

1）单位权中误差，按 59.23
080
.26][''±=±=±
=r pvv μ 2） 计算3s 边的中误差。

cm p m s s 75.0064.095.21
3
3±=±=±=μ 3s 边边长相对中误
164000
1
12294275.033==s m s
§9.5 间接观测平差原理
间接平差又称参数平差。

水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作
为未知数（按方向平差时，还增加测站定向角未知数），平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。

9.5.1 基础方程和它的解
设平差问题中，有n 个不等精度的独立观测 ，相应权为i
p （=i 1，2, …, n ），并设需t 个必要观测，用 表示选定的未知数，按题列出n 个平差值方程为
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫++++=+=++++=+=++++=+=n t n n n n n n t t d x t x b x a v L L d x t x b x a v L L d x t x b x a v L L 212222122221
12111111ˆˆˆ (9-13)
令 i i i x x x δ+=0 则 （9-13）式为
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫++++=++++=++++=n t n n n n t t l x t x b x a v l x t x b x a v l x t x b x a v δδδδδδδδδ 2122221221121111 (9-14)
上式称为误差方程，式中，，，i i i t b a i l 为误差方程系数及常数项，且
i i i i i i i L d x t x b x a l -++++=00
201 （=i 1，2，…, n ） (9-15)
若设
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n v v v V 211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯t t x x x x δδδδ 211 ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n l l l l 211 ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n
n
t n t b a t b a
t b a B
222
111 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n n p p p P 0
0000
21
则 (9-14)的矩阵形式为
l x B V +=δ (9-16)
式中有n 个待定的改正数和t 个未知数，共t n +个待定量，而方程只有n 个，所以有无穷多组解。

为了寻求一组唯一的解，根据最小二程原理在min =PV V T 的准则下求x δ，按数学上求函数自由极值的理论，即
022==∂∂=∂∂PB V x
V
P V x PV V T T T δδ 转置后得 1
1
0⨯⨯⨯⨯=t n n n n t T V P B (9-17)
代(9-16)入(9-17)得法方程
0=+）（l x B P B T δ
0=+Pl B x PB B T T δ 令 PB B N T t
t =⨯ Pl B U T t =⨯1
1⨯n L 1
⨯t X
式(9-18)式可表示为
0=+U x N δ (9-18) 其纯量形式为
[][][][][][][][][][][][]⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫=+
+
++
=
++
+
+=++++000212121ptl x ptt x pbt x pat pbl x pbt x pbb x pab pal x pat x pab x paa t t t δδδδδδδδδ (9-19)
将上式算得的x δ代入(5-16)求出改正数向量V ，进而求出观测平差值。

9.5.2 精度评定
1单位权中误差和PV V T 的计算
同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为
t
n PV
V T -±=0ˆσ
（9-20） 或 []r
Pvv ±=0ˆσ
（9-21）
[]Pvv PV V T 的计算方法为
（1）、由i v 直接计算
[]2222211n n v p v p v p Pvv +++= （9-23） （2）、由未知数改正数x δ及法方程常数项及[]pll 计算
由误差方程l x B V +=δ 可得
()PV l PV B x PV l x B PV V T T T T
T +=+=δδ 顾及0=PV B T
()l x B P l PV l PV V T T T +==δ
PL l x PB l T T +=δ
()
Pl
l x V Pl l x Pl B T
T
T T
T +=+=δδ （9-24）
其纯量形式为
[][][][][]t x ptl x pbl x pal pll pvv δδδ++++= 21 （9-25）
（3）、在高斯——杜力特表中解算
[][][][][][][][]()[]()[]()[]111111-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=t ptl t ptt t ptl pbl pbb pbl pal paa pal pll pvv []
[]()()
l l pll t pll ⨯+=⋅= （9-26）
2未知数函数的权倒数
间接平差中，平差后得到了未知数平差值及观测值的平差值，但往往在许多平差问题中，除了得到上述结果，还需根据未知数的平差计算某些量，这些是未知数的函数，故也应作精度评定。

设某平差问题的未知数的函数为
()t x x x f ,,,21 =ϕ （9-27）
它的权函数式为
t
t t t x f x f x f x x f x x f x x f δδδδδδδϕ+++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 22112211 （9-28）
令[]t T
f f f f
21
=
[]T
t
x
x x
x δδδδ 21
=
则上式的矩阵形式为
x f T δδϕ= （9-29）
根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数
T xx T f Q f P =ϕ1
（9-30） 因为 1-=N Q xx
所以 f N f P T 11
-=ϕ （9-31）
令q f N =-1 ()T t q q q q 21= （9-32） q 称转换系数。

则 q f P T =ϕ1
（9-33）
其纯量形式为
t t q f q f q f P ++++= 221101
κ
（9-34） 将（9-32）的方程两边乘N 得
f NN Nq 1-= （9-35） 0=-f Nq (9-36)
其纯量形式为
[][][][][][][][][]⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫=-
+
++
=-
+
+
+=-+++00021221121t t t t f q ptt q pbt q pat f q pbt q pbb q pab f q pat q pab q paa （9-37） 由线性对称方程组的特性可写成
()[]()[]()[][]()()[]()()[]()[]()11111101
22
11-⋅--⋅-⋅-⋅-⋅⋅---=t f t ptt t f f pbb f f paa f P t t ϕ
()()[][][]()[]()[]()[]()()[]()()[]11111101
2211-⋅-⋅--⋅---⋅⋅-⋅-----
=-
t ptt t f t f pbb f f paa f f P t t ϕ
[]()()f f t ⨯+=⋅=00 （9-38）
由上可知：只要约化表中增加个（f ）列。

在与[]pal 、[]pbl []ptl 、[]pll 同行的位置上填入-1f ，-2f ， ，-t f ，0等数值，便可随同法方程组一起约化，利用两列规则，在（f ）
列中与[]t pll ⋅同行的位置上求出 ，反时号即为所求函数的权倒数。

3未知数的权逆阵
由间接平差中法方程式 ϕ
p 1-
0=+Pl B x PB B T T δ （9-39）
或 0=+U x N δ （9-40）
U N x 1--=δ
（9-41） 由权逆阵的传播律得
T T L T xx P B N Q P B N Q )()(11--=
1
111
11
1-------====N NN N PBN B N PBN PQ B N T L T （9-42）
即法方程系数距阵的逆阵就是未知数向量的权逆阵 ，令
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-t t t t t t x x x x x x x x x x x
x x x x x x x XX Q Q Q Q Q Q Q Q Q N Q 2
1
2221
212
1111
（9-43） 因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵，即
未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素ii Q 为未知数的权倒数，非对角
线上的元素
称为未知数i x 关于 的相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。

权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法求权系数的方法。

§9.6 误差方程的列立
按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。

为此，要确定平差问题中未知参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。

9.6.1 未知数个数的确定
在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数，在第四章中，已经对确定必要观测个数问题作了讨论，这里不再重复。

9.6.2 未知数的选取
在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差作为未知数，但一般实用上是选取待定点高程作为未知数的。

平面控制网参数平差总是选择未知点的坐标为平差参数。

9.6.3 测角网坐标平差误差方程列立
这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。

如图
ij Q j x ji
ij Q Q =0
11011)
()(PL B N PL B N L L P B N Pl B N T T T T -----+=--=-=
（9-44）为某一测角网的任一角h k j L i ,,.为三个待定点，它们的近似坐标为
00000,;,;,h h k k j j y x y x y x 改正数为h h k k j j y x y x y x δδδδδδ,;,;,，则平差值分别为
⎪⎭
⎪⎬⎫+=+=j j j j j j y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=k k k k k k y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=h h h h h h y y y x x x δδ0
0 由图（9-44）可得i
L ˆ的平差值方程为 （9-44） 令 jk jk jk δααα+=0ˆ jh jh jh δααα+=0
ˆ
误差方程为
i jh jk i L l --=0
0αα （9-45）
现求坐标改正数与坐标位角改正数的线性关系 由图可知
（9-46）
将式右端按台公式展开得
（9-47） k k jk k k jk j j jk j j jk jk y y x x y y x x δα
δαδαδαδα000
0ˆˆˆˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （9-48） k jk jk
k jk jk
j jk jk
j jk jk
jk
y s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ2
002
002
002
00)
()
()
()
(∆''+
∆''-
∆''-
∆''='' （9-49）
或
k jk
jk
k jk
jk
j jk
jk
j jk
jk
jk
y s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+
''-
''-
''='' （9-50）
同理
h jh jh
h jh jh
j jh jh
j jh jh
jh
y s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ2
002
002
002
00)
()
()
()
(∆''+
∆''-
∆''-
∆''='' （9-51）
或
h jh
jh
h jh
jh
j jh
jh
j jh
jh
jh
y s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+
''-
''-
''='' （9-52）
上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系，称为坐标方位角改正数方程，
其中δα以秒为单位。

平差计算时，可按不同的情况灵活运用。

讨论：
（1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系就是（9-51）
jh jk i
L ααˆˆˆ-=i jh jk i jh jk jh jk i l L v +-=--+-=δαδαααδαδα)(0
0)()(ˆj k j k jk x x y y arctg --=α
jk
jk
k k jk k k jk j j jk j j jk j k j k jk y y x x y y x x x x y y arctg δα
αδαδαδαδαα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--=0000
00000
ˆˆˆˆ)()(ˆj x δj y δ
式，此时 与k x δ前的系数是绝对值相等，符号相反； 与k y δ前的系数也是绝对值相等，符号相反。

（2）若测站点j 为已知点时，则j x δ=j y δ=0有，得
若照准点k 为已知点，则有k x δ=k y δ=0 ，得
（3）若某边的两个端点均为已知点，则
j x δ=j y δ=k x δ=k y δ=0 ， 0=''jk
αδ （4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系也一样。

即 kj jk
αδαδ''='' 因为：
顾及
据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可。

9.6.4 测边网坐标平差的误差方程列立
这里讨论测边网中，选待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。

如图
（9-8）为某一测边网中的任意一条边，j ，k 为两个待定点，它们的近似坐标为0
000,;,k k j j y x y x ，
改正数为k k j j y x y x δδδδ,;, 则j ，k 的坐标平差值为
00k
jk jk
k jk jk
jk
y s x x s y δρδραδ2
002
00)
()
(∆''+
∆''-=''j
jk jk
j jk jk jk y s x x s y δρδραδ2002
00)()(∆''-∆''+=''k jk jk
k jk jk j jk jk j jk jk jk
y s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)
()()()(∆''+∆''-∆''-∆''=''⎪⎭
⎪⎬⎫∆-=∆∆-=∆000
0kj jk kj jk y y x x j
kj kj j kj kj k kj kj k kj kj kj
y s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200
200
200
200)
()
()
()
(∆''+
∆''-
∆''-
∆''=''
220)()(ˆj k j k i i i y y x x v s s
-+-=+= （9-53） 按台劳公式展开， 得
k j i k j
i j k
i j k
i j k j k i i y y s x x s y y s
x x s y y x x v s δδδδ0
0002
00200ˆ
ˆˆˆ)()(⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-+-=+
（9-54）
式中 002002
00000
)
()()
(ˆ
jk
jk j
k j k
j k j i
s x y y x x x x x s ∆-=
-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂
同理： 000
000
000
ˆˆˆ
jk jk k
i jk jk k
i jk jk j i
s y y s
s x x s
s y y s ∆=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∆=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂ 将以上公式代入（9-54） 式得测边网边长误差方程为 i k jk
jk k jk
jk j jk
jk j jk
jk i l y s y x s x y s y x s x v +∆+
∆+
∆-
∆-
=δδδδ00000000 （9-55）
2002000
0)
()()(j
k j k jk
i jk i y y x x s
s s l -+-=-=
（9-55）就是测边网坐标平差的一般形式，它是假定两端点都是待定点的情况下导出的。

具体计算时，可按不同情况灵活运用。

讨论：1、若某边的两端均为待定点，则（9-55）就是该边的误差方程式。

式中j x δ与k x δ的系数是绝对值相等，符号相反。

j y δ与k y δ的系数也是绝对值相等，符相反。

2、若j 为已知点，则0==j j y x δδ
若k 为已知点，则 0==k k y x δδ i j jk
jk j jk
jk i l y s y x s x v +∆-
∆-
=δδ0000
3、若j ，k 均为知点，==j j y x δδ0==k k y x δδ则该边为固定边，不需要列误差方程。

4、某边的误差方程，按jk 方向列立与按kj 方向列立结果完全相同。

若按jk 方向，则 i k jk
jk k jk
jk j jk
jk j jk
jk i l y s y x s x y s y x s x v +∆+
∆+
∆-
∆-
=δδδδ00000000
按kj 方向，则 i k jk
jk k jk
jk i l y s y x s x v +∆+∆=δδ0000
i j kj
kj j kj
kj k kj
kj k kj
kj i l y s y x s x y s y x s x v +∆+∆+∆-∆-=δδδδ00000000
表9-10
（4）求相对高程，计算改正数和平差值。

令D点高程为零，则各点的相对高程为
精品文档
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0769.00011.0078.01=-==x H A m 0999.00009.0099.02=-==x H B m 2162.10002.0216.13=+==x H C m
改正数计算见表9-10，高程平差值为
0230.0ˆ1=h m 0769.0ˆ4
=h m 1163.1ˆ2=h m 0999.0ˆ5=h m 1393.1ˆ3
=h m 2162.1ˆ6=h m （5）精度评定
4.33
647
.35ˆ0±=-±=σ
mm 2.1127.04.3ˆˆ1101±=±==Q x σσ
mm 2.1127.04.3ˆˆ2202±=±==Q x σσ
mm 2.1127.04.3ˆˆ3303±=±==Q x σσ
mm 4.118.04.3ˆˆ01±=±==φφσσ
Q
§9.8 边角网坐标平差算例
例9 今有一边角网如图9-11所示。

网中A 、B 、C 、D 、E 是已知点，起算数据见（表9-12），1P 、2P 是待定点。

同精度观测了九个角度921,,,L L L （见表9-13），测角中误差为5.2''±；测量了五个边长141110,,,L L L ，其观测结果及中误差见表9-13。

试按间
点1P 按
013.493301=x m 702.651301=y m
283.468402
=x m 948.799202=y m
2、由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的坐标方位角改正数方程系数（见表9-14的6～9列）；计算待定边的边长改正数方程的系数（见表9-14的10～13列）。

需要指出，坐标方位角改正数方程的系数的单位是秒/厘米，而边长改正数的系数无单位。

3、计算观测角误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的1～9行。

写出观测边误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的第10～14行。

表中，每一行表示一个误差方程；s 为每个误差方程的和检核数。

设取±2.5″为单位权中误差，则测角的权为
2
2
)
(i i m P ββμ= 令 2
2
i m βμ=，则1)5.2()5.2(2
222
===i
i i m m P β
β
β（无单位） 观测边的权为 2
22
2
)(i i Li m m m P i
β
μ=
=
（秒2/cm 2）
表9-14
表9-15
精品文档
表9-16
精品文档
各观测值的权写在表9-15的p 列中。

v 为角度及边长的改正数，是在解出坐标改正数后计算的。

表9-15中，角度误差方程常数项的单位为秒，边误差方程常数项的单位为cm ，按误差方程求得观测角和观测边的改正数的单位也分别为秒和cm 。

4、法方程的组成和解算。

由表9-15取得误差方程的系数、常数项、和检核数和权组成法方程的系数、常数项、检核数，其结果和法方程的解算均见表9-16。

将解出的未知数代入法方程校核，均正确无误。

计算PV V T ，得 34.289=T PV V
将解出的未知数代入误差方程，计算观测值的改正数，结果写在表9-15的v 列。

5、平差值计算 （1） 坐标平差值
038.4333025.0013.49331011=+=+=x x x δm
767.6513065.0702.65131011=+=+=y y y δm
394.4684111.0283.468420
2
2=+=+=x x x δm 960.7992012.0948.799220
2
2=+=+=y y y δm （2） 观测值的平差值
将表9-15中的改正数与表9-8-2中的观测值相加，即得观测值的平差值，记于表9-16中。

经检核，以上平差值间消除了不符值。

检核是这样进行的：由点B 、A 和角2
ˆL 、1ˆL 计算1P 点的坐标；由点C 、B 和角5ˆL 、4ˆL 计算1P 点坐标；由点1P 和5ˆL 、7ˆL 、13ˆL 计算2P 点坐标；由点2P 和5ˆL 、7
ˆL 、8ˆL 、14ˆL 计算D 点坐标。

计算结果都和上面求得的或给定的坐标一致，此处不再列出。

（3） 待定边的坐标方位角和边长（检核）平差值。

由待定点的坐标平差值和已知点的坐标计算待定边的坐标方位角和边长平差值，结果写在表9-18中。

6、精度计算
（1） 单位权中误差，即测角中误差为
4.54
14289
''±=-±=μ
（2） 待定点坐标中误差
由表9-16的1-N 部分取得未知数的权倒数，计算待定点坐标及点位中误差
9.112.04.51±=±=x m cm 4.220.04.51±=±=y m cm 1.3)4.2()9.1(221±=+±=p M cm 9.112.04.51±=±=x m cm 6.223.04.52±=±=y m cm 2.3)6.2()8.1(222±=+±=p M cm
以上未知数的权倒数的单位为（厘米）2/（秒）2。