量子力学复习题汇总

量子力学复习题汇总
概念简答题（每小题2分，2*8=16分） 1、何为束缚态？
2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在
ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r
ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)
r t 改写为
ψ(,)
r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？
4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？
6、简述波函数的统计解释；
7、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？
8、力学量G
在自身表象中的矩阵表示有何特点？9、简述能量的测不准关系；
10、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数
=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的
几率意义。

20、厄米算符有那些特性？
23．描述氢原子状态需要几个量子数？量子数目取决于什么？1. 微观实物粒子的波粒二象性 1. Bohr 的原子量子论 3. 态迭加原理
4. 波函数的标准条件
5. 定态 6 .束缚态 7. 几率波
8 归一化波函数 9. 几率流密度矢量
10. 线性谐振子的零点能 11. 厄密算符 12. 简并度
13. 力学量的完全集合 14. 箱归一化 15. 函数的正交性 16. 角动量算符
17. 力学量算符的本征函数的正交归一性 18. 表象
19. 希耳伯特空间 20. 幺正变换
单项选择题（每小题2分）2*10=20分
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0
. B. 1.5A 0
. C. 2.1A 0
. D. 2.5A 0
.
5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）
A.E n n = ω.
B.E n n =+()1
2
ω.
C.E n n =+()1 ω.
D.E n n =2 ω. /doc/e330998102d276a200292e06.html pton 效应证实了
A.电子具有波动性.
B. 光具有波动性.
C.光具有粒子性.
D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.
14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222 ψψ+.
B. c c 112222ψψ++2*
121ψψc c .
C. c c 112
222
ψψ++2*1212ψψc c .
D. c c 112222
ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.
B.归一、正交、完全性.
C.连续、有限、完全性.
D.单值、连续、有限. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则
A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.
B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.
C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)ex p()x t i -δ是归一化的波函数.
D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实
数)
19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.
B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .
C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2
:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同. 23.几率流密度矢量的表达式为
A.
J =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. B.
J i =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. C.
J i =-?ψ2μ()**ψ?ψψ. D.
J =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为
A. J =?ψ-2()**ψψ?ψ.
B.
J i =?ψ-2()**ψψ?ψ.
C.
J i =-?ψ2()**ψ?ψψ.
D.
J =-?ψ2
()**ψ?ψψ.
25. 电流密度矢量的表达式为
A. J q =?ψ-2μ()**ψψ?ψ.
B. J iq =?ψ-2μ()*
*ψψ?ψ.
C.
J iq =-?ψ2μ()**ψ?ψψ. D.
J q =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为
A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.
B.(),(,,,....)n n +=1012
ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=112
3 ω. 35.线性谐振子的
A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是
A.[]-
+= 222222
212
μμωψψd dx x E . B.[]--= 222
22
212
μμωψψd dx x E .
C.[] 222
22
212
μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为
A.- 2222e n s μ.
B.-μ22222e n s .
C.2
42n
e s
μ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为
A.r r R nl )(2.
B.22
)(r r R nl .
C.rdr r R nl )(2.
D.dr r r R nl 22
)(.
39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为
A.),(?θlm Y .
B. 2
),(?θlm Y . C. Ωd Y lm ),(?θ. D. Ωd Y lm 2),(?θ.
40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F
为厄密算符的定义是A.ψφτφψτ*** F
d F d =??. B.ψφτφψτ*
*
( )F d F d =??. C.( ) *
*
F d F d ψφτψφτ=??. D. *
*
*
F d F d ψφτψφτ=??.
41. F
和 G 是厄密算符,则 A. FG
必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG
GF ( )+必为厄密算符. D. i FG
GF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p
i x
x =- ?
,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.
43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C.
3. D.
4.
44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)
A.1212/()/π .
B.12/()π .
C.1232/()/π .
D.122/()π
47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C.
9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是
A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.
B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.
C.能级随量子数的增大而减小.
D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.
49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.
56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为
A. k k ,-.
B. k .
C. - k .
D. 1
2
k .
64.对易关系[, ]x p
x 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .
66. 对易关系[, ]L z
y 等于 A.-i x
. B. i x . C. x . D.- x . 68. 对易关系[, ]x p
y 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .
70. 对易关系[ , ]L L x z
等于 A.i L
y
. B. -i L y
. C. L y
. D. - L y
. 72. 对易关系[ , ]L L x
2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y
( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L p
x y 等于 A.i L z
. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 76. 对易关系[ , ]L
p z
y
等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x . 80. .对易式[ ,]F
c 等于(c 为任意常数) A.cF
. B. 0. C. c . D. F ?. 81.算符 F
和G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则F 、G 的测不准关系是A.( )( )??F G k 2
2
24≥. B. ( )( )??F G k 2224
≥.
C. ( )( )??F G k 222
4≥. D. ( )( )??F G k 222
4≥. 82.已知[ , ]x
p i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )??x p x 2
2
2
≥ . B. ( )( )??x p 2
2
2
4
≥ .
C. ( )( )??x p x 222
≥ . D. ( )( )??x p x 2224
≥ .
84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是
A.[]-?+= 222
2μψψze r
E s
.
B. []-?+= 222
22μψψze r E s
.
C.[]-?-= 222
2μψψze r
.
D.[]-?-= 222
22μψψze r
E s
.
85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为
A.-μz e n s 22222
. B. -μ224
22
2z e n s . C.-μze n s 2
222 . D. -μz e n s 24
222 .
91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.
99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是
)'e x p (21)('x p i
x P
πψ=,它在动量表象中的表示是
A.δ(')p p -.
B.δ(')p p +.
C.δ()p .
D.δ(')p .
100.力学量算符 x
对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A.δ(')x x -.
B.δ(')x x +.
C.δ()x .
D.δ(')x . 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.
107.力学量算符x ?在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ??. B.i p x ??. C.-i p x 2??. D.i p x 2?
109.在 Q 表象中F =?? ??
0110,其本征值是
A. ±1.
B. 0.
C. ±i .
D. 1±i . 110.
111.幺正矩阵的定义式为
A.S S +-=.
B.S S +=*.
C.S S =-.
D.S S *=-.
113.算符 ()( )/a
x i p =+μωμω
212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a
a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a
a +=-1. D. [ , ]a a i +=. 115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.
H E E mk k
m
'()
()
001-<<. B.
H E E mk k
m
'()
()
001+<<.
C. H mk '<<1.
D. E E k m ()()
001-<<.
122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为
A. 五个子能级.
B. 四个子能级.
C. 三个子能级.
D. 两个子能级.
124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.
C. 计算体系的哈密顿的平均值.
D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了
A. 电子具有波动性.
B.光具有波动性.
C. 原子的能级是分立的.
D. 电子具有自旋.
126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S
S y
x
等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ
为Pauli 算符,则[ , ]σσx
z
等于 A.-i y σ
. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
143.下列有关全同粒子体系论述正确的是
A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.
B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.
C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.
D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.
144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性. 填空题，每小题2分，8*2=16分
/doc/e330998102d276a200292e06.html pton 效应证实了。

5.黑体辐射和光电效应揭示了。

6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有。

7.自由粒子的De Broglie 波函数为。

9.玻恩对波函数的统计解释是。

12.态迭加原理的内容是。

15.一维自由粒子的薛定谔方程是。

16.N 个粒子体系的薛定谔方程是。

21.量子力学中的质量守恒定律是。

22.量子力学中的电荷守恒定律是。

23.波函数应满足的三个标准条件是。

24.定态波函数的定义式是。

.线性谐振子的零点能为。

28.线性谐振子的两相邻能级间距为。

30.表示力学量的算符都是。

31.厄密算符的本征值必为。

33.角动量平方算符的本征值为。

34.角动量平方算符的本征值的简并度为。

38.氢原子基态的电离能为。

39.氢原子体系n =2的能量是。

48.测不准关系反映了微观粒子的。

49.若对易关系[ , ] A
B ic =成立，则 , A B 的不确定关系是。

50.如果两个力学量算符对易，则在中它们可同时具有确定值。

55.=]?,?[y p y。

57.一维自由粒子的动量本征函数是。

58.角动量平方算符的本征值方程为。

61.量子力学中，称为表象。

62.动量算符在坐标表象的表达式是。

63.角动量算符在坐标表象中的表示是。

71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是矩阵。

73.力学量算符在自身表象中的矩阵是矩阵。

75.幺正矩阵满足的条件是。

83.非简并定态微扰理论的适用条件是。

84.Stark 效应是。

计算题1*8+4*10=48分
2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令
)]
()()()([2 ]
)()()()([2 )
(2 )( )
()()(******r r r r i e r e r e r e r i i J e
r t f r t r Et i
Et i
Et i
Et i
Et
i
ψψψψμ
ψψψψμ
μ
ψψ?-?=?-?=ψ?ψ-ψ?ψ===ψ----）（）（，
可见t J 与
无关。

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：
≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14）由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2
222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'=+-'=+'==-----∞
πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
'
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函
数
)()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。

粒子能量的本征函数和本征值为
≥≤≤≤a x x a x x a
n a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(π
ψ 22
222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，
=n 动量的几率分布函数为2
)(n C E =ω ??
==
∞
∞
-a
n dx x x a
n dx x x C 0
*)(sin
)()(ψπ
ψψ 先把)(x ψ归一化，由归一化条件， ? +-=-==∞
∞
-a
a
dx x ax a x A
dx x a x A dx x 0
2222
2
2
2
)2()()(1ψ
+-=a
dx x ax x a A
43222
)2(
30
)523(5
25552
a A a a a A =+-= ∴530
a
A =
∴ ?-??=a
n dx x a x x a n a a C 0
5
)(sin 302π ]s i n s i n [1520203x xd a n x x xd a n x a a a a ??-=
ππ
a
x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 0 3
33
222
22
2323]c o s 2s i n 2 cos sin cos [152ππππππππππ-- ++-=
])1(1[1543
3n
n --=
π
∴ 2
6
62
])1(1[240)(n n
n C E --=
=π
ω === ,6 ,4 ,20
5 3 1960
66n n n ，，，，
，π
==∞
∞-a
dx x p x dx x H x E 02
)(2?)()(?)(ψμ
ψψψ ?
--?-=a
dx a x x dx d a x x a 0
22
25
)](2[)(30μ
)32(30)(303
35
20
52
a a a
dx a x x a a
-=-=
μμ 22
5a μ =
4.5 设已知在Z L L ??2和的共同表象中，算符y x L L ??和的矩阵分别为
=010******** x L
--=0000022i i i i L y 求它们的本征值和归一化的本征函数。

最后将矩阵y x L L 和对角化。

解：x L 的久期方程为
002
220223=+-?=---λλλ
λλ
-===?3210λλλ，，
∴x L ?的本征值为 -，，0 x
L ?的本征方程
=
3213210101010102a a a a a a λ
其中
=321a a a ψ设为x
L ?的本征函数Z L L ??2和共同表象中的矩阵当01=λ时，有
=????? ???????
0000101010102321a a a
0 00022132312=-=?????? ??=????? ??+a a a a a a a ，
∴
-=1100a a ψ
由归一化条件
2111*1*100
20),0,(1a a a a a =
--==+
ψψ 取 2
11=
a
-=210210ψ对应于x
L ?的本征值0 。

当=2λ时，有
=
3213210101010102a a a a a a
===?????? ??=???????
+1
3321
23212312
2221
)(2121
a a a a a a a a a a a a a ∴
=1112a a a ψ
由归一化条件
21111*
1*1*142),2,(1a a a a a a a =?????? ??= 取 2
1
1=
a ∴归一化的
=212121 ψ对应于x
L ?的本征值。

当 -=2λ时，有
-=
3213210101010102a a a a a a
=-=-=
---=?
+13
321
23212
311
2221
)(21
21a
a a a a a a a a a a a a ∴
-=-1112a a a ψ
由归一化条件
21111*
1*1*142),2,(1a a a a a a a =?????? ??--= 取 2
1
1=
a ∴归一化的
-=-212121
ψ对应于x
L ?的本征值 - 由以上结果可知，从Z L L ??2和的共同表象变到x L ?表象的变换矩阵为
--=212
12121
210
2121
21
S
∴对角化的矩阵为S L S L x x +
='
--
--
='212
121
21
21021212
1010101010212
12
1212121210212 x L
-
-
--=212
12
121
210
21212
1
2112121121
0002
-=
-= 0000000200
020
00
2
按照与上同样的方法可得
y L ?的本征值为 -，，0 y
L ?的归一化的本征函数为 ?
=210210ψ ????????? ??-=21221i ψ
--=-21221i ψ 从Z L L ??2和的共同表象变到y L ?表象的变换矩阵为
---=
---=+
212
21212
2
121021212
12
1220212121i i S i
i S 利用S 可使y
L ?对角化
-=='+
0000000S L S L y y
#
5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

解：由微扰公式得
nn
n H E '=)
1( ∑-'=m
m
n mn
n
E E H E )
0()0(2
')
2(
得 b H E b H E ='=='=22
)
1(0211)1(01 02012
0012
1'
)
2(01
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
01
022
0022
1'
)2(02
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
∴ 能量的二级修正值为
02012
011E E a b E E -++=
01022
022E E a b E E -++=
#
7.3.求
--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。

解：x
S ?的久期方程为
02
2=--λ
λ
2
0)2(22 ±=?=-λλ
∴ x
S ?的本征值为2
±。

设对应于本征值
2
的本征函数为
=112/1b a χ 由本征方程 2
/12/12?χχ =x S ，得
= ??1111201102b a b a 111111 a b b a a b =????? ??=???? ??? 由归一化条件12/12/1=+χχ，得
1),(11*1*1=
a a a a
即 122
1=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值
2 的本征函数为
=11212/1χ 设对应于本征值2
-的本征函数为 ???? ??=-222/1b a χ 由本征方程
-=--222/12/12?b a S x χχ 222222 a b b a a b -=????? ??--=???? ???
由归一化条件，得
1),(22*2*2=???? ??--a a a a 即 122
2
=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2 -的本征函数为
-=-11212/1χ 同理可求得y S ?的本征值为2
±。

其相应的本征函数分别为=
i 1212
1χ
-=-i 12121χ。