2018版高中数学人教B版必修四：第二单元 2.1.3 向量的减法

解答
规律与方法
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的 →→
定义，－AB＝BA 就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个
向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，
箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
解析 答案
→ →→→ 2.化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于
→ A.QP
→ C.SP
√B.O→Q
→ D.SQ
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答案
3.若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝__2___. →→→ →→→
解析 |AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD| →→ →
＝|AC＋CD|＝|AD|＝2.
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解析 答案
4.若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__7_，|a－b|的 最大值为__1_7__.
解析 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得.
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解析 答案
5.如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，
→
→
→
跟踪训练 3 在四边形 ABCD 中，设AB＝a，AD＝b，且AC＝a＋b，
若|a＋b|＝|a－b|，则四边形 ABCD 的形状是A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形
→ 解析 ∵AC＝a＋b，∴四边形 ABCD 为平行四边形.
→ 又∵DB＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴|A→C|＝|D→B|. ∴四边形ABCD为矩形.
解答
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
→
→
解 如图，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ 则BA＝a－b.
→
→
再作CA＝c，则BC＝a－b－c.
解答
反思与感悟
在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个 向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向 量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
题型探究
类型一 向量减法的几何作图 例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0. →→ →→
(2)(AB－CD)－(AC－BD). →→→→
解 原式＝AB－CD－AC＋BD →→ → → →→
＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.
解答
反思与感悟
向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母 必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减 向量的终点字母为终点.
→→
→→
当AD与AB同向时，|AB－AD|＝3；
→→
→→
当AD与AB反向时，|AB－AD|＝15.
∴|A→B－A→D|的取值范围为[3，15].
解答
反思与感悟
→→
→
(1)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，
→ DB＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b| ＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b| ＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
思考
在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|， |a|＋|b|三者关系是怎样的？ 答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
答案
梳理
→
→
当向量 a，b 不共线时，作OA＝a，AB＝b，
→ 则 a＋b＝OB，如图(1)，根据三角形的三边关系，
第二章 §2.1 向量的线性运算
2.1.3 向量的减法
学习目标
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减运算.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 向量的减法
思考1
向量减法的几何意义是什么？ 答案 a－b的几何意义：当向量a，b的始点相同时， 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
→
→
3.平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别为AB＝a，AD＝b，则两条对
→
→
→
角线表示的向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后
应用中非常广泛，应该加强理解并掌握.
本课结束
答案
思考2
向量减法的三角形法则是什么？ 答案 (1)两个向量a，b的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a与b)的终点； (3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点. 这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法则. 概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.
答案
梳理
→
→
→
(1)已知向量 a，b(如图)，作OA＝a，作OB＝b，则 b＋BA
→→→→→→ ＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB
→→ ＝BC＋CB＝0.
解答
类型三 向量减法几何意义的应用
→
→
→→
例 3 已知|AB|＝6，|AD|＝9，求|AB－AD|的取值范围.
解 ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|，
→
→
→→
且|AD|＝9，|AB|＝6，∴3≤|AB－AD|≤15.
解析 答案
当堂训练
1.如图所示，在▱ABCD
→
→
中，AB＝a，AD＝b，则用
a，b
→→ 表示向量AC和BD
分别是
A.a＋b和a－b
√B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a →→→
解析 由向量的加法、减法法则，得AC＝AB＋AD＝a＋b，
→→→ BD＝AD－AB＝b－a.
故选B.
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→
→
→
→→
且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，
→→→ BE，CD及CE.
解 ∵四边形ACDE是平行四边形，
→→
→→→
∴CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，
→→→
→→→
→→→
BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b，∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c.
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→ ＝a，向量BA叫做向量
a
与
b
的
差
，并记作
→ a－b，即BA
→→ ＝a－b＝OA－OB.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的
终点为 始点 ，被减向量的终点为 终点 的向量.
→
→
(3)一个向量BA等于它的终点相对于点 O 的位置向量OA减去它的始点
相对于点
O
→ 的位置向量OB，或简记“终点向量
跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解 如图所示，在平面内任取一点O，
→
→
→
→
作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d.
→
→
则 a－b＝BA，c－d＝DC.
解答
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子： →→→ →
(1)NQ－PQ－NM－MP； → → →→→→→
则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，
此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，
不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ①
→→ →→ 跟踪训练 2 化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；
→→ →→ →→ → 解 (BA－BC)－(ED－EC)＝CA－CD＝DA.
→→→ → →→ (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB).
→→→ → →→ 解 (AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)
→→→ → → →→→ → ＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)＝AC＋BA－DC＋DB
减
始点向量”.
知识点二 相反向量
思考
实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？ 答案 相反向量.
答案
梳理
(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的 相反 向量，记作－a(如图). 显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的 相反向量.
知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系